《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用學(xué)案 文 北師大版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用學(xué)案 文 北師大版(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、11第三節(jié)第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用考綱傳真1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式, 會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題.6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第 61 頁(yè))基礎(chǔ)知識(shí)填充1向量的夾角(1)定義:已知兩個(gè)非零向量a a和b b,如圖 431,作OAa a,OBb b,則AOB(0180)叫作a a與b b的夾角圖 431(2)當(dāng)0時(shí),a a與b
2、b共線同向當(dāng)180時(shí),a a與b b共線反向當(dāng)90時(shí),a a與b b互相垂直2平面向量的數(shù)量積(1)定義:已知兩個(gè)非零向量a a和b b,它們的夾角為,則數(shù)量|a a|b b|cos叫做a a與b b的數(shù)量積(或內(nèi)積)規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為 0.(2)幾何意義:數(shù)量積a ab b等于a a的長(zhǎng)度|a a|與b b在a a的方向上的投影|b b|cos的乘積或b b的長(zhǎng)度|b b|與a a在b b方向上射影|a a|cos的乘積3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律:a ab bb ba a;(2)數(shù)乘結(jié)合律:(a a)b b(a ab b)a a(b b);(3)分配律:a a(b b
3、c c)a ab ba aC C4平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a a(x1,y1),b b(x2,y2),a a,b b 結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a a|a aa a|a a|x21y21數(shù)量積a ab b|a a|b b|cosa ab bx1x2y1y2夾角cosa ab b|a a|b b|cosx1x2y1y2x21y21x22y22a ab ba ab b0 x1x2y1y20|a ab b|與|a a|b b|的關(guān)系|a ab b|a a|b b|x1x2y1y2|x21y21x22y22知識(shí)拓展1兩個(gè)向量a a,b b的夾角為銳角a ab b0 且a a,b b不共
4、線;兩個(gè)向量a a,b b的夾角為鈍角a ab b0 且a a,b b不共線2平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a ab b)(a ab b)a a2b b2.(2)(a ab b)2a a22a ab bb b2.(3)(a ab b)2a a22a ab bb b2.3當(dāng)a a與b b同向時(shí),a ab b|a|ba|b|;當(dāng)a a與b b反向時(shí),a ab b|a|ba|b|.基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量()(2)由a ab b0,可得a a0 或b b0.()(3)由a ab b
5、a ac c及a a0 不能推出b bC C()(4)在四邊形ABCD中,ABDC且ACBD0,則四邊形ABCD為矩形. ()答案(1)(2)(3)(4)2(20 xx全國(guó)卷)已知向量BA12,32 ,BC32,12 ,則ABC()A30B45C60D120A A因?yàn)锽A12,32,BC32,12 ,所以BABC343432.又因?yàn)锽ABC|BA|BC|cosABC11cosABC,所以 cosABC32.又 0ABC180,所以ABC30.故選 A3(20 xx全國(guó)卷)向量a a(1,1),b b(1,2),則(2a ab b)a a()A1B0C1D2C C法一:a a(1,1),b b(
6、1,2),a a22,a ab b3,從而(2a ab b)a a2a a2a ab b431.法二:a a(1,1),b b(1,2),2a ab b(2,2)(1,2)(1,0),從而(2a ab b)a a(1,0)(1,1)1,故選 C4(教材改編)已知|a a|5,|b b|4,a a與b b的夾角120,則向量b b在向量a a方向上的投影為_2由數(shù)量積的定義知,b b在a a方向上的投影為|b b|cos4cos 1202.5(20 xx全國(guó)卷)已知向量a a(1,2),b b(m,1)若向量a ab b與a a垂直,則m_.7 7a a(1,2),b b(m,1),a ab b
7、(1m,21)(m1,3)又a ab b與a a垂直,(a ab b)a a0,即(m1)(1)320,解得m7.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第 62 頁(yè))平面向量數(shù)量積的運(yùn)算(1)(20 xx天津高考)已知ABC是邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得DE2EF,則AFBC的值為()A58B18C14D118(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 1, 點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn), 則DECB的值為_;DEDC的最大值為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090135】(1)B B(2)11(1)如圖所示,AFADDF.又D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),且DE2EF,所以AD12AB,D
8、F12AC14AC34AC,所以AF12AB34AC.又BCACAB,則AFBC12AB34AC(ACAB)12ABAC12AB234AC234ACAB34AC212AB214ACAB.又|AB|AC|1,BAC60,故AFBC341214111218.故選 B(2)法一:以射線AB,AD為x軸,y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),設(shè)E(t,0),t0,1,則DE(t,1),CB(0,1),所以DECB(t,1)(0,1)1.因?yàn)镈C(1,0),所以DEDC(t,1)(1,0)t1,故DEDC的最大值為 1.法二:由圖知,無(wú)論E點(diǎn)在哪個(gè)位置
9、,DE在CB方向上的投影都是CB1,所以DECB|CB|11,當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),DE在DC方向上的投影最大,即為DC1,所以(DEDC)max|DC|11.規(guī)律方法1.求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法:利用定義;利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算;利用數(shù)量積的幾何意義2(1)要有“基底”意識(shí),關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量(2)注意向量夾角的大小,以及夾角0,90,180三種特殊情形變式訓(xùn)練 1(1)已知AB(2,1),點(diǎn)C(1,0),D(4,5),則向量AB在CD方向上的投影為()A3 22B3 5C3 22D3 5(2)(20 xx榆林模擬)已知在矩形ABCD中,AB3,BC 3,BE2EC,點(diǎn)F在邊CD
10、上若ABAF3,則AEBF的值為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090136】A0B8 33C4D4(1)C C(2 2)C C(1)因?yàn)辄c(diǎn)C(1,0),D(4,5), 所以CD(5,5), 又AB(2,1), 所以向量AB在CD方向上的投影為|AB|cosAB,CDABCD|CD|155 23 22.(2)由ABAF3 得AB(ADDF)ABDF3,所以|DF|1,|CF|2,所以AEBF(ABBE)(BCCF)ABBCABCFBEBCBECFABCFBEBC624.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)角度 1平面向量的模(1)(20 xx合肥二次質(zhì)檢)已知不共線的兩個(gè)向量a a,b b滿足|a ab b|2 且a a
11、(a a2b b),則|b b|()A 2B2C2 2D4(2)(20 xx西安模擬)已知平面向量a a,b b的夾角為6,且|a a| 3,|b b|2,在ABC中,AB2a a2b b,AC2a a6b b,D為BC的中點(diǎn),則|AD|_.(1 1)B B(2 2)2 2(1)由a a(a a2b b)得a a(a a2b b)|a a|22a ab b0.又|a ab b|2,|a ab b|2|a a|22a ab b|b b|24,則|b b|24,|b b|2,故選 B(2)因?yàn)锳D12(ABAC)12(2a a2b b2a a6b b)2a a2b b,所以|AD|24(a ab
12、b)24(a a22b ba ab b2)4(322 3cos64)4,所以|AD|2.角度 2平面向量的夾角(1)已知單位向量e e1與e e2的夾角為,且 cos13,向量a a3e e12e e2與b b3e e1e e2的夾角為,則 cos_.(2)若向量a a(k,3),b b(1,4),c c(2,1),已知 2a a3b b與c c的夾角為鈍角,則k的取值范圍是_(1 1)2 2 2 23 3(2 2),9 92 2 9 92 2,3 3(1)因?yàn)閍 a2(3e e12e e2)2923212cos49,所以|a a|3,因?yàn)閎 b2(3e e1e e2)2923112cos18
13、,所以|b b|2 2,a ab b(3e e12e e2)(3e e1e e2)9e e219e e1e e22e e2299111328,所以 cosa ab b|a|ba|b|832 22 23.(2)2a a3b b與c c的夾角為鈍角,(2a a3b b)c c0,即(2k3,6)(2,1)0,4k660,k3.又若(2a a3b b)c c,則 2k312,即k92.當(dāng)k92時(shí),2a a3b b(12,6)6c c,即 2a a3b b與c c反向綜上,k的取值范圍為,92 92,3.角度 3平面向量的垂直(20 xx山東高考)已知向量a a(1,1),b b(6,4)若a a(t
14、a ab b),則實(shí)數(shù)t的值為_5 5a a(1,1),b b(6,4),ta ab b(t6,t4)又a a(ta ab b),則a a(ta ab b)0,即t6t40,解得t5.規(guī)律方法1.求兩向量的夾角:cosa ab b|a a|b b|,要注意0,2 兩向量垂直的應(yīng)用: 兩非零向量垂直的充要條件是:a ab ba ab b0|a ab b|a ab b|.3求向量的模:利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問題的處理方法有:(1)a a2a aa a|a a|2或|a a|a aa a.(2)|a ab b|a ab b2a a22a ab bb b2.(3)若a a(x,y),則|a a|x2y2.
15、平面向量與三角函數(shù)的綜合(20 xx佛山模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中, 已知向量m m22,22 ,n n(sinx,cosx),x0,2 .(1)若m mn n,求 tanx的值;(2)若m m與n n的夾角為3,求x的值【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090137】解(1)因?yàn)閙 m22,22 ,n n(sinx,cosx),m mn n.所以m mn n0,即22sinx22cosx0,所以 sinxcosx,所以 tanx1.(2)因?yàn)閨m m|n n|1,所以m mn ncos312,即22sinx22cosx12,所以 sinx4 12,因?yàn)?0 x2,所以4x44,所以x46,即x512.規(guī)律方
16、法平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式, 運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等,得到三角函數(shù)的關(guān)系式,然后求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo),要求的是向量的?;蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式,解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算,利用三角函數(shù)的定義域內(nèi)的有界性,求得值域等變式訓(xùn)練 2(20 xx郴州模擬)已知向量a asinx,32 ,b b(cosx,1)(1)當(dāng)a ab b時(shí),求 tan 2x的值;(2)求函數(shù)f(x)(a ab b)b b在2,0上的值域解(1)a ab b,a asinx,32 ,b b(cosx,1)sinx(1)32cosx0,即 sinx32cosx0,得 sinx32cosx,tanxsinxcosx32,tan 2x2tanx1tan2x125.(2)a asinx,32 ,b b(cosx,1),a ab bsinxcosx32,b b2cos2x(1)2cos2x1,f(x)(a ab b)b ba ab bb b2sinxcosx32cos2x112sin 2x12(1cos 2x)1222sin2x4 .x2,0,2x434,4 ,sin2x4 1,22 ,f(x)22sin2x4 22,12 .故函數(shù)f(x)(a ab b)b b在2,0上的值域?yàn)?2,12 .