新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第8節(jié) 解三角形實際應(yīng)用舉例學(xué)案 理 北師大版

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1、 第八節(jié) 解三角形實際應(yīng)用舉例 [考綱傳真] (教師用書獨具)能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題. (對應(yīng)學(xué)生用書第64頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1.仰角和俯角 在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方時叫俯角.(如圖3-8-1(1)). (1)          (2) 圖3-8-1 2.方位角和方向角 (1)方位角:從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如B點的方位角為α(如圖3-8-1(2)). (2)方向角:相對于某正方向的水平角,如南偏東30

2、°等. 3.坡度 坡面與水平面所成二面角的正切值. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系為α+β=180°.(  ) (2)俯角是鉛垂線與視線所成的角,其范圍為.(  ) (3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的,均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系.(  ) (4)方位角大小的范圍是[0,2π),方向角大小的范圍一般是.(  ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.(教材改編)海面上有A,B,C三個燈塔,AB=10 n mile,從A望C和

3、B成60°視角,從B望C和A成75°視角,則BC等于(  ) A.10 n mile   B. n mile C.5 n mile D.5 n mile D [如圖,在△ABC中, AB=10,∠A=60°, ∠B=75°,∠C=45°, ∴=, ∴BC=5.] 3.若點A在點C的北偏東30°,點B在點C的南偏東60°,且AC=BC,則點A在點B的(  ) A.北偏東15°    B.北偏西15° C.北偏東10° D.北偏西10° B [如圖所示,∠ACB=90°, 又AC=BC, ∴∠CBA=45°,而β=30°,∴α=90°-45°-30°=15°,

4、∴點A在點B的北偏西15°.] 4.如圖3-8-2,已知A,B兩點分別在河的兩岸,某測量者在點A所在的河岸邊另選定一點C,測得AC=50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,則A,B兩點的距離為(  ) 圖3-8-2 A.50 m B.25 m C.25 m D.50 m D [因為∠ACB=45°,∠CAB=105°,所以∠B=30°.由正弦定理可知=,即=,解得AB=50 m.] 5.輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港C,兩船航行方向的夾角為120°,兩船的航行速度分別為25 n mile/h,15 n mile/h,則下午2時兩船之間的距離是________

5、 n mile. 70 [設(shè)兩船之間的距離為d, 則d2=502+302-2×50×30×cos 120°=4 900, 所以d=70,即兩船相距70 n mile.] (對應(yīng)學(xué)生用書第64頁) 測量距離問題  如圖3-8-3,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為67°,30°,此時氣球的高是46 m,則河流的寬度BC約等于________m.(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位.參考數(shù)據(jù):sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,≈1.73) 【導(dǎo)學(xué)號:79140136】 圖3-8-3

6、 60 [如圖所示,過A作AD⊥CB且交CB的延長線于D. 在Rt△ADC中,由AD=46 m,∠ACB=30°得AC=92 m. 在△ABC中,∠BAC=67°-30°=37°, ∠ABC=180°-67°=113°,AC=92 m, 由正弦定理=,得 =,即=, 解得BC=≈60(m).] [規(guī)律方法] 求解距離問題的一般步驟 (1)畫出示意圖,將實際問題轉(zhuǎn)化成三角形問題; (2)明確所求的距離在哪個三角形中,有幾個已知元素; (3)使用正弦定理、余弦定理解三角形(對于解答題,應(yīng)作答). [跟蹤訓(xùn)練] 如圖3-8-4所示,要測量一水塘兩側(cè)A,B兩點間的距離,其

7、方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅,用經(jīng)緯儀測出角α,再分別測出AC,BC的長b,a,則可求出A,B兩點間的距離,即AB=.若測得CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,試計算AB的長. 圖3-8-4 [解] 在△ABC中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB, ∴AB2=4002+6002-2×400×600cos 60°=280 000, ∴AB=200(m),即A,B兩點間的距離為200 m. 測量高度問題  如圖3-8-5,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600 m

8、后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=______m. 圖3-8-5 100 [由題意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°. 又AB=600 m,故由正弦定理得=, 解得BC=300 m. 在Rt△BCD中,CD=BC·tan 30°=300× =100(m).] [規(guī)律方法] 解決高度問題的注意事項 (1)在測量高度時,要準(zhǔn)確理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi),視線與水平線的夾角. (2)在實際問題中,可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題,這時最好畫兩個圖

9、形,一個空間圖形,一個平面圖形,這樣處理起來既清楚又不容易搞錯. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. [跟蹤訓(xùn)練] 如圖3-8-6,從某電視塔CO的正東方向的A處,測得塔頂?shù)难鼋菫?0°,在電視塔的南偏西60°的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°,AB間的距離為35米,則這個電視塔的高度為________米. 圖3-8-6 5 [如圖, 可知∠CAO=60°,∠AOB=150°, ∠OBC=45°,AB=35米. 設(shè)OC=x米,則OA=x米,OB=x米. 在△ABO中,由余弦定理, 得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos ∠AOB, 即3

10、52=+x2-x2·cos 150°, 整理得x=5, 所以此電視塔的高度是5米.] 測量角度問題  某漁船在航行中不幸遇險,發(fā)出呼救信號,我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測出該漁船在方位角為45°,距離A為10海里的C處,并測得漁船正沿方位角為105°的方向,以10海里/時的速度向小島B靠攏,我海軍艦艇立即以10海里/時的速度前去營救,求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間. [解] 如圖所示,設(shè)所需時間為t小時, 則AB=10t,CB=10t, 在△ABC中,根據(jù)余弦定理,則有AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 120°, 可得(10t)2=102+(10t

11、)2-2×10×10tcos 120°. 整理得2t2-t-1=0, 解得t=1或t=-(舍去), ∴艦艇需1小時靠近漁船, 此時AB=10,BC=10. 在△ABC中,由正弦定理得=, ∴sin∠CAB===. ∴∠CAB=30°. 所以艦艇航向為北偏東75°. [規(guī)律方法] 解決測量角度問題的注意事項 (1)應(yīng)明確方位角或方向角的含義. (2)分析題意,分清已知與所求,再根據(jù)題意畫出正確的示意圖,這是最關(guān)鍵、最重要的一步. (3)將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題后,注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用. [跟蹤訓(xùn)練] 如圖3-8-7,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向

12、相距40海里的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,求cos θ的值. 【導(dǎo)學(xué)號:79140137】 圖3-8-7 [解] 在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800?BC=20. 由正弦定理,得=?sin∠ACB=·sin∠BAC=. 由∠BAC=120°,知∠ACB為銳角,則cos∠ACB=. 由θ=∠ACB+30°,得cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACB cos 30°-sin∠ACB sin 30°=.

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