新編高考數(shù)學(xué)考點分類自測 曲線與方程 理

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1、 高考理科數(shù)學(xué)考點分類自測:曲線與方程 一、選擇題 1.已知| |=3,A、B分別在y軸和x軸上運動,O為原點, = + ,則動點P的軌跡方程是 (  ) A.+y2=1        B.x2+=1 C.+y2=1 D.x2+=1 2.已知兩個定點A(-2,0),B(1,0),如果動點P滿足|PA|=2|PB|,則點P的軌跡所圍成的圖形的面積等于 (  ) A.π B.4π C.8π

2、 D.9π 3.平面直角坐標(biāo)系中,已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C滿足 =λ1 +λ2 (O為原點),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,則點C的軌跡是 (  ) A.直線 B.橢圓 C.圓 D.雙曲線 4.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C為一個焦點作過A、B的橢圓,橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是 (  ) A.y2-=1(y≤-1) B.y2-=1(y≥1) C.x2-=1(x≤-1)

3、 D.x2-=1(x≥1) 5.給出以下方程: ①2x+y2=0;②3x2+5y2=1;③3x2-5y2=1;④|x|+|y|=2;⑤|x-y|=2,則其對應(yīng)的曲線可以放進一個足夠大的圓內(nèi)的方程的個數(shù)是 (  )A. 1 B.2 C.3 D.4 6.圓O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)為兩個定點.直線l是圓O的一條切線,若經(jīng)過A、B兩點的拋物線以直線l為準(zhǔn)線,則拋物線焦點所在的軌跡是 (  ) A.雙曲線    

4、   B.橢圓 C.拋物線 D.圓 二、填空題 7.直線+=1與x、y軸交點的中點的軌跡方程是____________. 8.△ABC的頂點A(-5,0),B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,則頂點C的軌跡方程是________. 9.曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(-1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點的軌跡.給出下列三個結(jié)論: ①曲線C過坐標(biāo)原點; ②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱; ③若點P在曲線C上,則△F1PF2的面積不大于a2. 其中,所有正確結(jié)論的序號是____. 三、解答題 10.已知A、B分別是直

5、線y=x和y=-x上的兩個動點,線段AB的長為2,P是AB的中點. 求動點P的軌跡C的方程. 11.已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點,焦點在x軸上,它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1. (1)求橢圓C的方程; (2)若P為橢圓C上的動點,M為過P且垂直于x軸的直線上的點,=λ,求點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線. 12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:x=-2交x軸于點A,設(shè)P是l上一點,M是線段OP的垂直平分線上一點,且滿足∠MPO=∠AOP. 當(dāng)點P在l上運動時,求點M的軌跡E的方程.

6、 詳解答案 一、選擇題 1.解析:設(shè)A(0,y0),B(x0,0),P(x,y),則由| |=3得x+y=9,又因為 = (x,y), =(0,y0), =(x0,0),由 = + 得x=,y=,因此x0=,y0=3y,將其代入x+y=9得+y2=1. 答案:A 2.解析:設(shè)P(x,y),則|PA|2=(x+2)2+y2,|PB|2=(x-1)2+y2,又|PA|=2|PB|, ∴(x+2)2+y2=4(x-1)2+4y2, ∴(x-2)2+y2=4,表示圓,∴S=πr2=4π. 答案:B 3.解析:設(shè)C(x,y),則 =(x,y), =(3,1), =(-1,3),

7、 ∵=λ1 +λ2 ,∴,又λ1+λ2=1, ∴x+2y-5=0,表示一條直線. 答案:A 4.解析:由題意知|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14, 又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, ∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2, 故點F的軌跡是以A,B為焦點,實軸長為2的雙曲線的下支,又c=7,a=1,b2= 48,∴點F的軌跡方程為y2-=1(y≤-1). 答案:A 5.解析:所給出的方程中,①2x+y2=0是拋物線,②3x2+5y2=1是橢圓,③3x2-5y2=1是雙曲線,④|x|+|y|=2是一個正方形,⑤|x-y|=2是兩條平行直線,只有②④兩

8、個方程對應(yīng)的曲線是封閉曲線,可以放進一個足夠大的圓內(nèi). 答案:B 6.解析:設(shè)拋物線的焦點為F,因為A、B在拋物線上,所以由拋物線的定義知,A、B到F的距離AF、BF分別等于A、B到準(zhǔn)線l的距離AM、BN,于是|AF|+|BF|=|AM|+|BN|. 過O作OP⊥l,由于l是圓O的一條切線,所以四邊形AMNB是直角梯形,OP是中位線,故有|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|OP|=8>4=|AB|. 根據(jù)橢圓的定義知,焦點F的軌跡是一個橢圓. 答案:B 二、填空題 7.解析:(參數(shù)法)設(shè)直線+=1與x、y軸交點為A(a,0),B(0,2-a),A、B中點為M(x,y),則

9、x=,y=1-,消去a,得x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0,x≠1.答案:x+y=1(x≠0,x≠1) 8.解析:如圖,|AD|=|AE|=8, |BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以A、B為焦點,實軸長為6的雙曲線的右支, 方程為-=1(x>3). 答案:-=1(x>3). 9.解析:因為原點O到兩個定點F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)的距離的積是1,而a>1,所以曲線C不過原點,即①錯誤;因為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)關(guān)于原點對稱,所以|PF1||PF2|=a2對應(yīng)的軌跡關(guān)于原點對稱,即②正

10、確;因為S△F1PF2=|PF1||PF2|sinF1PF2≤|PF1||PF2|=a2,即面積不大于a2,所以③正確. 答案:②③ 三、解答題 10.解:設(shè)P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2). ∵P是線段AB的中點,∴ ∵A、B分別是直線y=x和y=-x上的點, ∴y1=x1,y2=-x2. ∴ 又|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12. ∴12y2+x2=12. ∴動點P的軌跡C的方程為+y2=1. 11.解:(1)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為a、c, 由已知得解得a=4,c=3. b2=a2-c2=16-9=7. 所以橢圓C的方

11、程為+=1. (2)設(shè)M(x,y),其中x∈[-4,4]. 由已知=λ2及點P在橢圓C上可得 =λ2, 整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中x∈[-4,4]. ①λ=時,化簡得9y2=112,所以點M的軌跡方程為y=±(-4 ≤x≤4),軌跡是兩條平行于x軸的線段. ②λ≠時,方程變形為+=1, 其中x∈[-4,4]; 當(dāng)0<λ<時,點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足-4≤x≤4的部分; 當(dāng)<λ<1時,點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足-4≤x≤4的部分; 當(dāng)λ≥1時,點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓. 12.解:如

12、圖,可得直線l:x=-2與x軸交于點A(-2,0),設(shè)P(-2,m), (1)當(dāng)m=0時,點P與點A重合,這時OP的垂直平分線為x=-1,由∠AOP=∠MPO=0°,得M(-1,0); (2)當(dāng)m≠0時,設(shè)M(x0,y0), ①若x0>-1,由∠MPO=∠AOP得MP∥OA,有y0=m, 又kOP=-,OP的中點為(-1,), ∴OP的垂直平分線為y-=(x+1),而點M在OP的垂直平分線上, ∴y0-=(x0+1),又m=y(tǒng)0, 于是y0-=(x0+1),即y=4(x0+1)(x0>-1). ②若x0<-1,如圖,由∠MPO=∠AOP得點M為OP的垂直平分線與x軸的交點,在y-=(x+1)中,令y=0,有x=--1<-1,即M(- -1,0), ∴點M的軌跡E的方程為y2=4(x+1)(x≥-1)和y=0(x<-1).

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