新編人教A版理科數(shù)學(xué)高效訓(xùn)練：34 函數(shù)y=Asinωxφ的圖象及應(yīng)用

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 [A組　基礎(chǔ)演練·能力提升] 一、選擇題 1．要得到函數(shù)y＝cos(2x＋1)的圖象，只要將函數(shù)y＝cos 2x的圖象(　　) A．向左平移1個單位　　　　 B．向右平移1個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位 解析：利用三角函數(shù)圖象的平移求解． ∵y＝cos(2x＋1)＝cos 2， ∴只要將函數(shù)y＝cos 2x的圖象向左平移個單位即可，故選C. 答案：C 2.(2014年石家莊模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象如圖所示，為了得到g(x)＝－Acos ωx的圖象，可以將f(x)的圖象(　　) A．向右

2、平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度 解析：由圖象可得A＝1，ω＝2，φ＝，則f(x)＝sin，g(x)＝－Acos ωx＝－cos 2x＝sin＝sin，故將f(x)的圖象向右平移個單位長度，可以得到g(x)的圖象． 答案：B 3.(2014年南昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋θ)的圖象如圖所示，f＝－，則f＝(　　)[來源:] A．－　　　　B．－　　　　C.　　　　D. 解析：由圖知，T＝2＝，∴f＝f＝f＝－.選A. 答案：A[來源:] 4．如果函數(shù)y＝3sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝中心對稱，則

3、|φ|的最小值為(　　) A. B. C. D. 解析：依題意得，sin＝±1，則＋φ＝kπ＋，即φ＝kπ＋，其中k∈Z，因此|φ|的最小值是，選A. 答案：A 5．(2014年哈師大附中模擬)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x＝是其圖象的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為(　　) A．y＝4sin　　　　 B．y＝2sin＋2 C．y＝2sin＋2　　　 D．y＝2sin＋2 解析：由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值為4，最小值為0，可知k＝2，A＝2，由函數(shù)的最小正周期為，可知＝，可得ω＝

4、4，由直線x＝是其圖象的一條對稱軸，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，從而φ＝kπ－，k∈Z，故滿足題意的是y＝2sin＋2. 答案：D 6．(2013年高考湖北卷)將函數(shù)y＝cos x＋sin x(x∈R)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析：y＝cos x＋sin x＝2＝2 sin的圖象向左平移m個單位后，得到y(tǒng)＝2sin的圖象，此圖象關(guān)于y軸對稱，則x＝0時，y＝±2，即2sin＝±2，所以m＋＝＋kπ，k∈Z，由于m>0，所以mmin＝，故選B. 答案：B 二、填空題 7．為了得到函數(shù)f

5、(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1的圖象，需將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向右平移φ(φ>0)個單位，則φ的最小值為________． 解析：f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1 ＝2sin xcos x－2cos 2x＋1 ＝sin 2x－cos 2x＝2sin ＝2sin 2，因此只要把函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向右平移＋2kπ(k∈Z)個單位，即可得到函數(shù)f(x)的圖象，因?yàn)棣?0，顯然平移的最小值為. 答案： 8.如圖是函數(shù)y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的一段圖象，則函數(shù)的解析式為________． 解析：由

6、圖象知，A＝1，＝－＝，即T＝π，則ω＝＝＝2.將點(diǎn)代入y＝sin (2x＋φ)得，φ＝kπ＋，k∈Z，因?yàn)?<φ<，所以φ＝，所以y＝sin.[來源:] 答案：y＝sin 9.如圖，單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動，離開平衡位置O的距離s(cm)和時間t(s)的關(guān)系式為s＝6sin，那么單擺來回?cái)[動一次所需的時間為________s. 解析：單擺來回?cái)[動一次所需的時間即為一個周期T＝＝1. 答案：1 三、解答題 10．(2013年高考安徽卷)已知函數(shù)f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期為π. (1)求ω的值； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性． 解析：(1)f

7、(x)＝4cos ωx·sin＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin＋. 因?yàn)閒(x)的最小正周期為π，且ω>0，從而有＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.若0≤x≤，則≤2x＋≤. 當(dāng)≤2x＋≤，即0≤x≤時，f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)≤2x＋≤，即≤x≤時，f(x)單調(diào)遞減． 綜上可知，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．[來源:] 11．(2014年合肥模擬)將函數(shù)y＝sin x的圖象向右平移個單位，再將所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的4倍，這樣就得到函數(shù)f(x)的圖象，若g(x

8、)＝f(x)cos x＋. (1)將函數(shù)g(x)化成Asin(ωx＋φ)＋B(其中A、ω>0，φ∈)的形式； (2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值為2，試求θ0的最小值．[來源:] 解析：(1)由題意可得f(x)＝4sin， ∴g(x)＝4sincos x＋ ＝4cos x＋ ＝2(sin xcos x－cos2x)＋ ＝2sin. (2)∵x∈，∴2x－∈. 要使函數(shù)g(x)在上的最大值為2，當(dāng)且僅當(dāng)2θ0－≥， 解得θ0≥， 故θ0的最小值為. 12．(能力提升)已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx－(其中ω>0)，且函數(shù)f(x)的周期為π

9、. (1)求ω的值； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在上的單調(diào)區(qū)間． 解析：(1)因?yàn)閒(x)＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin， 又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為π，且ω>0，所以T＝＝＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝2sin，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)y＝2sin ＝2sin的圖象，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)＝2sin的圖象． 由－＋2k

10、π≤4x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－≤x≤＋(k∈Z)； 由＋2kπ≤4x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋(k∈Z)． 故函數(shù)g(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. [B組　因材施教·備選練習(xí)] 1.(2014年太原模擬)已知函數(shù)f(x)＝Mcos(ωx＋φ)(M>0，ω>0,0<φ<π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，AC＝BC＝，∠C＝90°，則f的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：依題意，△ABC是直角邊長為的等腰直角三角形，因此其邊AB上的高是，函數(shù)f(x)的最小正周期是2，故M＝，＝2，ω＝π，f(x)＝cos(πx＋φ)．又函數(shù)f

11、(x)是奇函數(shù)，于是有φ＝kπ＋，其中k∈Z.由0<φ<π得φ＝，故f(x)＝－sin πx，f＝－sin ＝－，選A. 答案：A 2．函數(shù)f(x)＝cos(x∈R)，下面結(jié)論不正確的是(　　) A．函數(shù)f(x)的最小正周期為π B．函數(shù)f(x)的對稱中心是 C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱 D．函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 解析：∵f(x)＝cos＝sin 2x(x∈R)，∴最小正周期T＝＝π，選項(xiàng)A正確； 由2x＝kπ得x＝，k∈Z，∴函數(shù)f(x)的對稱中心為， ∴取k＝1得選項(xiàng)B正確； 由2x＝kπ＋得x＝＋，k∈Z，∴取k＝0得函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝，∴選項(xiàng)C正確

12、； ∵f(x)＝sin 2x(x∈R)，∴f(－x)＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)， ∴選項(xiàng)D不正確． 答案：D 3．已知函數(shù)f(x)＝2sin sincos－ sincos. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)(x>0)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，所得的圖象與直線y＝交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大依次是x1，x2，…，xn，求數(shù)列{xn}的前200項(xiàng)的和． 解析：因?yàn)閒(x)＝2sinsin·cos－sin·cos， 所以f(x)＝sincos－cos ＝sin－cos ＝sin＝sin 2x. (1)函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π. 令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，k∈Z. (2)函數(shù)f(x)(x>0)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，所得的圖象的解析式為y＝sin x. 由正弦曲線的對稱性、周期性可知＝，＝2π＋，＝4π＋，…，＝198π＋， 所以x1＋x2＋…＋x199＋x200＝π＋5π＋…＋393π＋397π＝＝19 900π.