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1、
第39練 數(shù)列的前n項和
訓練目標
(1)求數(shù)列前n項和的常用方法；(2)數(shù)列通項求和的綜合應(yīng)用．
訓練題型
(1)一般數(shù)列求和；(2)數(shù)列知識的綜合應(yīng)用．
解題策略
數(shù)列求和的常用方法：(1)公式法；(2)分組法；(3)并項法；(4)倒序相加法；
(5)裂項相消法；(6)錯位相減法.
一、選擇題
1．(20xx·東營期中)若數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n·(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10等于( )
A．15 B．12
C．－12 D．－15
2．(20xx·山西晉中聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝，其前n項和Sn＝，
2、則項數(shù)n等于( )
A．13 B．10
C．9 D．6
3．(20xx·河南中原名校聯(lián)考二)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax的圖象在點A(0，f(0))處的切線l與直線2x－y＋2＝0平行，若數(shù)列{}的前n項和為Sn，則S20的值為( )
A. B.
C. D.
4．(20xx·衡水期中)1＋(1＋)＋(1＋＋)＋…＋(1＋＋＋…＋)的值為( )
A．18＋ B．20＋
C．22＋ D．18＋
5．數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對于任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，則＋＋…＋等于( )
A. B.
C. D.
二、填空題
6．(20xx·合肥質(zhì)檢
3、)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2an－2n，則Sn＝________.
7．設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對任意的x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是________________．
8．數(shù)列{an}的通項公式an＝ncos＋1，前n項和為Sn，則S2 012＝________.
9．(20xx·云南師大附中月考)設(shè)S＝＋＋＋…＋，則不大于S的最大整數(shù)[S]＝________.
三、解答題
10．正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n
4、)＝0.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；
(2)令bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn<.
答案精析
1．A [依題意可知a1＋a2＝3，a3＋a4＝3，…，a9＋a10＝3，
∴a1＋a2＋…＋a10＝5×3＝15.
故選A.]
2．D [∵數(shù)列{an}的通項公式是an＝＝1－，
∴Sn＝(1－)＋(1－)＋(1－)＋…＋(1－)
＝n－(＋＋＋…＋)
＝n－
＝n－1＋.
由Sn＝＝n－1＋，可得n＝6.故選D.]
3．A [因為f(x)＝x2＋ax，所以f′(x)
5、＝2x＋a，
又函數(shù)f(x)＝x2＋ax的圖象在點A(0，f(0))處的切線l與直線2x－y＋2＝0平行，
所以f′(0)＝a＝2，
所以f(x)＝x2＋2x，
所以＝＝
＝(－)，
所以S20＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1＋－－)＝.
故選A.]
4．B [設(shè)an＝1＋＋＋…＋
＝＝2(1－)
＝2－，
∴Sn＝2n－
＝2n－2(1－)＝2n－2＋，
∴S11＝20＋，故選B.]
5．B [因為an＋1＝a1＋an＋n＝1＋an＋n，
所以an＋1－an＝n＋1.
用累加法：an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋n
6、＝，
所以＝＝2.
所以＋＋…＋
＝2(1－＋－＋－＋…＋－)
＝2＝，故選B.]
6．n·2n
解析 ∵Sn＝2an－2n＝2(Sn－Sn－1)－2n，
即Sn＝2Sn－1＋2n(n≥2)，
∴＝＋1＝＋1，
∴－＝1，且S1＝a1＝2，∴＝1，
∴數(shù)列{}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，∴＝n，∴Sn＝n·2n.
7．[，1)
解析 由已知可得a1＝f(1)＝，
a2＝f(2)＝[f(1)]2＝()2，
a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝()3，…，
an＝f(n)＝[f(1)]n＝()n，
所以Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n＝＝1－(
7、)n，
因為n∈N*，所以≤Sn<1.
8．3 018
解析 由于f(n)＝cos的值具有周期性，所以可從數(shù)列的周期性及從頭開始連續(xù)四項的和為定值入手解決．
當n＝4k＋1(k∈N)時，an＝(4k＋1)cosπ＋1＝1，
當n＝4k＋2(k∈N)時，
an＝(4k＋2)cosπ＋1＝－(4k＋2)＋1＝－4k－1，
當n＝4k＋3(k∈N)時，an＝(4k＋3)cosπ＋1＝1，
當n＝4k＋4(k∈N)時，an＝(4k＋4)cosπ＋1＝(4k＋4)＋1＝4k＋5，
∴a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝1－4k－1＋1＋4k＋5＝6.
∴S2 012＝a1
8、＋a2＋a3＋a4＋a5＋…＋a2 012
＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a2 009＋a2 010＋a2 011＋a2 012)
＝6×503＝3 018.
9．2 014
解析 ∵
＝
＝＝1＋(－)，
∴S＝1＋(－)＋1＋(－)＋…＋1＋(－)＝2 015－，故[S]＝2 014.
10．(1)解 由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0，
由于{an}是正項數(shù)列，所以Sn＋1>0.
所以Sn＝n2＋n(n∈N*)．
n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n，
n＝1時，a1＝S1＝2適合上式．
所以an＝2n(n∈N*)．
(2)證明 由an＝2n(n∈N*)，
得bn＝＝
＝，
Tn＝[＋＋＋…＋
＋]
＝
<＝(n∈N*)．
即對于任意的n∈N*，都有Tn<.
新編高三數(shù)學 第39練 數(shù)列的前n項和練習
