新編高三數(shù)學復習 第5節(jié)　直線、平面垂直關系的判定與性質

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1、 第5節(jié)　直線、平面垂直關系的判定與性質 　　 課時訓練 練題感 提知能 【選題明細表】 知識點、方法 題號 與垂直有關命題的判斷 1、3、5、6、7、10、13 直線與平面垂直 8、9、14 平面與平面垂直 2、12 綜合問題 4、11、15 一、選擇題 1.(20xx山東德州市一模)已知直線l⊥平面α,直線m?平面β,下列命題正確的是(　C　) ①l⊥m?α∥β;②l∥m?α⊥β;③α⊥β?l∥m;④α∥β?l⊥m. (A)①② (B)③④ (C)②④ (D)①③ 解析:①α,β有可能相交,所以錯

2、誤.②正確.③當α⊥β時,l與m可能平行、相交或異面,錯誤.④正確,所以選C. 2. 如圖所示,在立體圖形DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點,則下列結論正確的是(　C　) (A)平面ABC⊥平面ABD (B)平面ABD⊥平面BDC (C)平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE (D)平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE 解析:因為AB=CB, 且E是AC的中點, 所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC, 而BE∩DE=E, 所以AC⊥平面BDE. 因為AC在平面ABC內, 所以平面ABC⊥平面BDE. 又由于AC?平面ADC,

3、所以平面ADC⊥平面BDE.故選C. 3.(20xx汕頭高三測評(一))設O是空間一點,a,b,c是空間三條直線,α,β是空間兩個平面,則下列命題中,逆命題不成立的是(　C　) (A)當a∩b=O且a?α,b?α時,若c⊥a,c⊥b,則c⊥α (B)當a∩b=O且a?α,b?α時,若a∥β,b∥β,則α∥β (C)當b?α時,若b⊥β,則α⊥β (D)當b?α時,且c?α時,若c∥α,則b∥c 解析:寫出逆命題,再逐一判斷真假.由線面垂直的定義可知選項A的逆命題成立;由面面平行的定義可知選項B的逆命題成立;命題“當b?α時,若b⊥β,則α⊥β”的逆命題是“當b?α時,若α⊥β,則b

4、⊥β”不成立;由線面平行的判定定理可知選項D的逆命題成立,故逆命題不成立的是選項C. 4. 如圖所示,已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABCDEF,PA=2AB,則下列結論正確的是(　A　) (A)PA⊥AD (B)平面ABCDEF⊥平面PBC (C)直線BC∥平面PAE (D)直線BE⊥平面PAE 解析:因為PA⊥平面ABCDEF, 所以PA⊥AD,故選項A正確; 選項B中兩個平面不垂直; 選項C中,AD與平面PAE相交,BC∥AD,故選項C錯; 選項D中,DE⊥平面PAE且BE∩DE=E,故選項D錯. 故選A. 5.(20xx山東師大附中模擬

5、)已知兩條直線a,b與兩個平面α、β,b⊥α,則下列命題中正確的是(　A　) ①若a∥α,則a⊥b,②若a⊥b,則a∥α;③若b⊥β,則α∥β; ④若α⊥β,則b∥β. (A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)②③ 解析:根據(jù)線面垂直的性質可知①正確.②中,當a⊥b時,也有可能為a?α,所以②錯誤.③垂直于同一直線的兩個平面平行,所以正確.④的結論也有可能為b?β,所以錯誤,所以命題正確的有①③,選A. 6.(20xx佛山質檢(二))下列命題中假命題是(　B　) (A)若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行 (B)垂直于同一條直線的兩條直線相互垂直 (

6、C)若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,那么這兩個平面相互垂直 (D)若一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的兩條相交直線分別平行,那么這兩個平面相互平行 解析:若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行,即選項A為真命題;垂直于同一條直線的兩條直線可以相交也可以平行或異面,即選項B為假命題;若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,那么這兩個平面相互垂直,即選項C為真命題;若一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的兩條相交直線分別平行,那么這兩個平面互相平行,即選項D為真命題,故選B. 二、填空題 7.(20xx山東兗州模擬)設l是直線,α,β是兩個不同的平面,則以下命題為真

7、命題的是　　　.(把真命題的序號都填上)? ①若l∥α,l∥β,則α∥β; ②若l∥α,l⊥β,則α⊥β; ③若α⊥β,l⊥α,則l⊥β; ④若α⊥β,l∥α,則l⊥β. 解析:對于①,α、β有可能相交,所以①不正確;對于②,根據(jù)面面垂直的判定定理知,正確;對于③,l可能與β平行或l在β內;對于④,l不一定與β垂直,綜上可知,②正確. 答案:② 8.如圖所示,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上的一點,E、F分別是點A在PB、PC上的正投影,給出下列結論: ①AF⊥PB;③EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC. 其中正確結論的序號是　　　　.? 解

8、析:由題設知,PA⊥BC,BC⊥AC,所以BC⊥平面PAC,從而BC⊥AF,又AF⊥PC,所以AF⊥平面PBC,而PB?平面PBC,所以AF⊥PB,①正確;由于PB⊥AE,PB⊥AF,所以PB⊥平面AEF,因此EF⊥PB,故②正確;③正確,由于AF⊥平面PBC,所以④不正確. 答案:①②③ 9.已知平面α,β和直線m,給出條件:①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α∥β.當滿足條件　　　時,有m⊥β.(填所選條件的序號).? 解析:當m⊥α,α∥β時,m⊥β. 依據(jù)是:若一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則它也垂直于另一個. 答案:②④ 10.(20xx天津一中月考)在三棱錐PABC中

9、,底面ABC是正三角形,且PA=PB=PC,D,E分別是AB,AC的中點,有下列三個論斷: ①AC⊥PB;②AC∥平面PDE;③AB⊥平面PDE,其中正確論斷的個數(shù)為　　　　.? 解析:過P作PO⊥平面ABC于O,則PO⊥AC,又正三角形ABC中BE⊥AC,所以AC⊥平面PBE,所以AC⊥PB,所以①正確,②錯誤.因為DE∥BC,所以∠ADE=60°,所以③不正確,所以正確的論斷有1個. 答案:1 三、解答題 11. 如圖所示,在四棱錐PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,已知BD=2AD=4,AB=2DC=25. (1)求證:BD⊥平面

10、PAD; (2)求三棱錐APCD的體積. (1)證明:在△ABD中, 由于AD=2,BD=4,AB=25, ∴AD2+BD2=AB2, ∴AD⊥BD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD. BD?平面ABCD, ∴BD⊥平面PAD. (2)解:過P作PO⊥AD交AD于O. 又平面PAD⊥平面ABCD, ∴PO⊥平面ABCD. ∵△PAD是邊長為2的等邊三角形, ∴PO=3. 由(1)知,AD⊥BD,在Rt△ABD中, 斜邊AB邊上的高為 h=AD×BDAB=455. ∵AB∥DC, ∴S△ACD=12CD×h=12×5×455=2

11、. ∴VAPCD=VPACD=13S△ACD×PO=13×2×3=233. 12.在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD, PA=AD=4,AB=2.以AC的中點O為球心,AC為直徑的球面交PD于點M. 求證:平面ABM⊥平面PCD. 證明:依題設知,AC是所作球面的直徑,則AM⊥MC. 又因為PA⊥平面ABCD, 則PA⊥CD, 又CD⊥AD,PA∩AD=A, 所以CD⊥平面PAD,則CD⊥AM, 又MC∩CD=C,所以AM⊥平面PCD. 因為AM?平面ABM, 所以平面ABM⊥平面PCD. B組 13.對于四面體ABCD,給出下列四個命

12、題: ①若AB=AC,BD=CD,則BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,則BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,則BC⊥AD;④若AB⊥CD,AC⊥BD,則BC⊥AD. 其中正確的是(　B　) (A)①③ (B)①④ (C)僅④ (D)②③ 解析:如圖(1)所示,取線段BC的中點E,連接AE,DE, ∵AB=AC,BD=CD, ∴BC⊥AE,BC⊥DE, ∴BC⊥平面ADE, ∵AD?平面ADE, ∴BC⊥AD,故①正確. 如圖(2)所示,上、下底面不為正方形的長方體中,四面體ABCD滿足AB=CD,AC=BD, 則BC⊥AD不成立,故②錯誤; 如圖(3)

13、所示,上、下底面不為正方形的長方體中,四面體ABCD中,AB⊥AC,BD⊥CD, 則BC⊥AD不成立,若成立,則BC⊥AD,與底面不是正方形矛盾,故③錯誤; 設點O為點A在平面BCD上的射影,如圖(4)所示, 連接OB,OC,OD, ∵AB⊥CD,AC⊥BD, ∴OB⊥CD,OC⊥BD, ∴點O為△BCD的垂心, ∴OD⊥BC, ∴BC⊥AD, 故④正確, 故選B. 14. 如圖所示,矩形ABCD的邊AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,現(xiàn)有數(shù)據(jù): ①a=12;②a=1;③a=3;④a=2;⑤a=4.當在BC邊上存在點Q(Q不在端點B、C處),使PQ⊥Q

14、D時,a可以取　　　　(填上一個你認為正確的數(shù)據(jù)序號即可).? 解析:當PQ⊥QD時,有QD⊥平面PAQ,所以QD⊥AQ. 在矩形ABCD中,設BQ=x(0

15、1)求證:AB⊥平面PCD; (2)若PC=PD=1,CD=2,試判斷平面α與平面β是否垂直,并證明你的結論. (1)證明:因為PC⊥α,AB?α,所以PC⊥AB, 同理PD⊥AB, 又PC∩PD=P,故AB⊥平面PCD. (2)解:平面α與平面β垂直. 證明:設AB與平面PCD的交點為H,連接CH、DH, 因為PC⊥α,所以PC⊥CH. 在△PCD中,PC=PD=1,CD=2, 所以CD2=PC2+PD2, 即∠CPD=90°, 在平面四邊形PCHD中,PC⊥PD,PC⊥CH, 所以PD∥CH, 又PD⊥β,所以CH⊥β, 所以平面α⊥平面β.