新編高三理科數(shù)學(xué)新課標(biāo)二輪習(xí)題:專題五 立體幾何 專題能力訓(xùn)練15 Word版含答案
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1、 專題能力訓(xùn)練15 立體幾何中的向量方法 能力突破訓(xùn)練 1. 如圖,正方形ABCD的中心為O,四邊形OBEF為矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,點(diǎn)G為AB的中點(diǎn),AB=BE=2. (1)求證:EG∥平面ADF; (2)求二面角O-EF-C的正弦值; (3)設(shè)H為線段AF上的點(diǎn),且AH=23HF,求直線BH和平面CEF所成角的正弦值. 2. 如圖,在四棱錐A-EFCB中,△AEF為等邊三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O為EF的中點(diǎn).
2、 (1)求證:AO⊥BE; (2)求二面角F-AE-B的余弦值; (3)若BE⊥平面AOC,求a的值. 3. (20xx山東,理17)如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的,G是DF的中點(diǎn). (1)設(shè)P是CE上的一點(diǎn),且AP⊥BE,求∠CBP的大小; (2)當(dāng)AB=3,AD=2時(shí),求二面角E-AG-C的大小. 4. 如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1
3、,E為CD的中點(diǎn). (1)求證:B1E⊥AD1; (2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長(zhǎng);若不存在,說明理由. 5. (20xx北京,理16)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點(diǎn)M在線段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=6,AB=4. (1)求證:M為PB的中點(diǎn); (2)求二面角B-PD-A的大小; (3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值. 6. 如圖,AB是半圓O的直
4、徑,C是半圓O上除A,B外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),DC垂直于半圓O所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB=14. (1)證明:平面ADE⊥平面ACD; (2)當(dāng)三棱錐C-ADE體積最大時(shí),求二面角D-AE-B的余弦值. 思維提升訓(xùn)練 7.如圖甲所示,BO是梯形ABCD的高,∠BAD=45°,OB=BC=1,OD=3OA,現(xiàn)將梯形ABCD沿OB折起成如圖乙所示的四棱錐P-OBCD,使得PC=3,E是線段PB上一動(dòng)點(diǎn). (1)證明:DE和PC不可能垂直; (2)當(dāng)PE=2BE時(shí),求PD與平面CDE
5、所成角的正弦值. 8. 如圖,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2;E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn). (1)求證:PB∥平面EFG. (2)求異面直線EG與BD所成的角的余弦值. (3)在線段CD上是否存在一點(diǎn)Q,使得點(diǎn)A到平面EFQ的距離為45?若存在,求出CQ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由. 參考答案 專題能力訓(xùn)練15 立體幾何中的向量方法 能力突破訓(xùn)練 1.解依題意,OF⊥平面ABCD,如圖,以O(shè)為原點(diǎn),分別以AD,BA,O
6、F的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,依題意可得O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0). (1)證明依題意,AD=(2,0,0),AF=(1,-1,2). 設(shè)n1=(x,y,z)為平面ADF的法向量, 則n1·AD=0,n1·AF=0,即2x=0,x-y+2z=0. 不妨設(shè)z=1,可得n1=(0,2,1), 又EG=(0,1,-2),可得EG·n1=0, 又因?yàn)橹本€EG?平面ADF,所以EG∥平面ADF. (2)易證OA=(-1,1,0)為平面OE
7、F的一個(gè)法向量.依題意,EF=(1,1,0),CF=(-1,1,2).
設(shè)n2=(x,y,z)為平面CEF的法向量,
則n2·EF=0,n2·CF=0,即x+y=0,-x+y+2z=0.
不妨設(shè)x=1,可得n2=(1,-1,1).
因此有cos
8、=BH·n2|BH|·|n2|=-721. 所以,直線BH和平面CEF所成角的正弦值為721. 2.(1)證明因?yàn)椤鰽EF是等邊三角形,O為EF的中點(diǎn), 所以AO⊥EF. 又因?yàn)槠矫鍭EF⊥平面EFCB,AO?平面AEF, 所以AO⊥平面EFCB,所以AO⊥BE. (2)解取BC中點(diǎn)G,連接OG. 由題設(shè)知EFCB是等腰梯形, 所以O(shè)G⊥EF. 由(1)知AO⊥平面EFCB, 又OG?平面EFCB, 所以O(shè)A⊥OG. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則E(a,0,0),A(0,0,3a), B(2,3(2-a),0),EA=(-a,0,3a),BE=(a-2,3
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