4、足cos πx的值介于與之間的x∈∪，區(qū)間長度為，由幾何概型概率公式得P＝＝.
答案：D
7．為了測量某陰影部分的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲600個點(diǎn)，已知恰有200個點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此可以估計陰影部分的面積是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：由投擲的點(diǎn)落在陰影部分的個數(shù)與投擲的點(diǎn)的個數(shù)比得到陰影部分的面積與正方形的面積比為，所以陰影部分的面積約為9×＝3.
答案：B
8.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝的圖像上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率
5、等于( )
A. B.
C. D.
解析：因為f(x)＝B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，故矩形ABCD的面積為2×3＝6，陰影部分的面積為×3×1＝，故P＝＝.
答案：B
9．(20xx·商丘模擬)已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＋＋2＝0，現(xiàn)將一粒豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：如圖所示，設(shè)點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，因為＋＋2＝0，所以點(diǎn)P是中線AM的中點(diǎn)，所以黃豆落在△PBC內(nèi)的概率P＝＝，故選C.
答案：C
10．設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋
6、yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為( )
A.＋ B.＋
C.－ D.－
解析：復(fù)數(shù)|z|≤1對應(yīng)的區(qū)域是以(1,0)為圓心，以1為半徑的圓及其內(nèi)部，圖中陰影部分表示在圓內(nèi)(包括邊界)且滿足y≥x的區(qū)域，該區(qū)域的面積為π－×1×1＝π－，故滿足y≥x的概率為＝－，故選D.
答案：D
11．(20xx·鄭州模擬)若不等式x2＋y2≤2所表示的平面區(qū)域為M，不等式組表示的平面區(qū)域為N，現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域N內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域M內(nèi)的概率為 ．
解析：作出不等式組與不等式表示的可行域如圖所示，平面區(qū)域N的面積為×3×(6＋2)＝12
7、，區(qū)域M在區(qū)域N內(nèi)的面積為π()2＝，故所求概率P＝＝.
答案：
12．在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝ .
解析：由幾何概型知＝，解得m＝3.
答案：3
13．利用計算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1>0”發(fā)生的概率為 ．
解析：由題意知0≤a≤1，事件“3a－1>0”發(fā)生時，a>且a≤1，取區(qū)間長度為測度，由幾何概型的概率公式得其概率P＝＝.
答案：
14．若在區(qū)間[－4,4]內(nèi)隨機(jī)取一個數(shù)m，在區(qū)間[－2,3]內(nèi)隨機(jī)取一個數(shù)n，則使得方程x2＋2mx－n2＋
8、4＝0有兩個不相等的實數(shù)根的概率為 ．
解析：∵方程x2＋2mx－n2＋4＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ>0，即(2m)2－4(－n2＋4)>0，m2＋n2>4，總的事件的集合Ω＝{(m，n)|－4≤m≤4，－2≤n≤3}，∴Ω所表示的平面區(qū)域(如圖中矩形)的面積S＝8×5＝40，而滿足條件的事件的集合是{(m，n)|m2＋n2>4，－4≤m≤4，－2≤n≤3}，∴圖中陰影部分的面積S′＝40－π×22＝40－4π，由幾何概型的概率計算公式得所求事件的概率P＝＝＝1－.
答案：1－
B組——能力提升練
1．已知A＝{(x，y)|x2＋y2≤π2}，B是曲線
9、y＝sin x與x軸圍成的封閉區(qū)域．若向區(qū)域A內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)M，則點(diǎn)M落入?yún)^(qū)域B的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：區(qū)域A表示圓及其內(nèi)部，面積為π3，正弦曲線y＝sin x與x軸圍成的區(qū)域如圖中陰影部分所示，其面積S＝2 sin xdx＝－2 cos x＝4，由幾何概型的概率計算公式可得，隨機(jī)向區(qū)域A內(nèi)投一個點(diǎn)M，則點(diǎn)M落在區(qū)域B內(nèi)的概率P＝，故選D.
答案：D
2．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則試驗的全部
10、結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為正方形ABCD及其內(nèi)部．要使函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)，則必須有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的區(qū)域為圖中陰影部分．故所求概率P＝＝＝.
答案：B
3．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是( )
A.－ B.
C．1－ D.
解析：設(shè)OA＝OB＝r，則兩個以為半徑的半圓的公共部分面積為2[π·()2－×()2]＝，兩個半圓外部的陰影部分的面積為πr2－[π()2×2－]＝，所以所求概率為＝1－.
答案：C
4．在區(qū)間[
11、0,1]上隨機(jī)取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則( )
A．p1，則p1<
12、
C. D.
解析：設(shè)矩形長為x，寬為y，則＝，y＝a－x，S矩形＝xy＝
x(a－x)≤2＝，其概率的最大值為＝.故選A.
答案：A
6．(20xx·太原模擬)已知圓C：x2＋y2＝1，直線l：y＝k(x＋2)，在[－1,1]上隨機(jī)選取一個數(shù)k，則事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：若直線l：y＝k(x＋2)與圓C：x2＋y2＝1相離，則圓C的圓心到直線l的距離d＝＞1，又k∈[－1,1]，所以－1≤k<－或＜k≤1，所以事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率為＝，故選C.
答案：C
7．已知A(2,1)，B(1，－2)，C，
13、動點(diǎn)P(a，b)滿足0≤·≤2，
且0≤·≤2，則動點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離大于的概率為( )
A．1－ B.
C．1－ D.
解析：依題意有目標(biāo)函數(shù)>表示以C為圓心，半徑為的圓外．畫出可行域如圖所示，可行域的面積為，可行域內(nèi)的圓外面積為－，故概率為＝1－.故選A.
答案：A
8．已知x，y都是區(qū)間[0，]內(nèi)任取的一個實數(shù)，則使得y≤sin x的取值的概率是 ( )
A. B.
C. D.
解析：事件的度量為函數(shù)y＝sin x的圖像在[0，]內(nèi)與x軸圍成的圖形的面積，即
則事件發(fā)生的概率為P＝＝，故選A.
答案：A
9．運(yùn)行如圖所示的程序框圖，如果在區(qū)間[
14、0，e]內(nèi)任意輸入一個x的值，則輸出的f(x)值不小于常數(shù)e的概率是( )
A. B．1－
C．1＋ D.
解析：由題意得f(x)＝如圖所示，當(dāng)1e，故輸出的f(x)值不小于常數(shù)e的概率是＝1－，故選B.
答案：B
10．在區(qū)間[1,5]和[2,4]分別取一個數(shù)，記為a，b，則方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：∵＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于，∴a>b>0，a<2b.
它對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示：
則方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為
15、P＝＝1－＝，故選B.
答案：B
11.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個點(diǎn)，則落入陰影部分 (曲線C的方程為x2－y＝0)的點(diǎn)的個數(shù)的估計值為( )
A．5 000 B．6 667
C．7 500 D．7 854
解析：S陰影＝S正方形－x2dx＝1－＝，所以有＝＝，解得n≈6 667，故選B.
答案：B
12．已知O，A，B三地在同一水平面內(nèi)，A地在O地正東方向2 km處，B地在O地正北方向2 km處，某測繪隊員在A，B之間的直線公路上任選一點(diǎn)C作為測繪點(diǎn)，用測繪儀進(jìn)行測繪，O地為一磁場，距離其不超過 km的范圍內(nèi)會對測繪儀等電子儀器形成干擾，使測量結(jié)果不準(zhǔn)確，
16、則該測繪隊員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是( )
A. B.
C．1－ D．1－
解析：在等腰直角三角形OAB中，以O(shè)為圓心，為半徑的圓截AB所得的線段長為2，而|AB|＝2，故該測繪隊員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是1－＝1－，故選D.
答案：D
13．一只昆蟲在邊長分別為5,12,13的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則其到三角形頂點(diǎn)的距離小于2的地方的概率為 ．
解析：如圖所示，該三角形為直角三角形，其面積為×5×12＝30，陰影部分的面積為×π×22＝2π，所以其概率為＝.
答案：
14．(20xx·南昌質(zhì)檢)在邊長為2的正方形ABCD中有一個不規(guī)則的圖
17、形M，用隨機(jī)模擬方法來估計不規(guī)則圖形的面積．若在正方形ABCD中隨機(jī)產(chǎn)生了10 000個點(diǎn)，落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的點(diǎn)數(shù)恰有2 000個，則在這次模擬中，不規(guī)則圖形M的面積的估計值為 ．
解析：由題意，因為在正方形ABCD中隨機(jī)產(chǎn)生了10 000個點(diǎn)，落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的點(diǎn)數(shù)恰有2 000個，
所以概率P＝＝.
∵邊長為2的正方形ABCD的面積為4，
∴不規(guī)則圖形M的面積的估計值為
×4＝.
答案：
15．(20xx·武漢市模擬)在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取兩個實數(shù)x，y，則滿足y≥x2－1的概率為 ．
解析：由題意可得，在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取兩個實數(shù)x，y，對應(yīng)的區(qū)域是邊長為2的正方形，如圖，面積為4，滿足y≥x2－1的區(qū)域為圖中陰影部分，面積為＝
∴滿足y≥x2－1的概率P＝＝.
答案：
16．若m∈(0,3)，則直線(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0與x軸、y軸圍成的三角形的面積小于的概率為 ．
解析：對于直線方程(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝，由題意可得·||·||<，因為m∈(0,3)，所以解得0
新編理數(shù)北師大版練習(xí)：第十章 第六節(jié) 幾何概型 Word版含解析
