新編高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第七章】不等式、推理與證明 學(xué)案35
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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 學(xué)案35 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決. 自主梳理 1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 (1)判斷不等式Ax+By+C>0所表示的平面區(qū)域,可在直線Ax+By+C=0的某一側(cè)的半平面內(nèi)選取一個(gè)特殊點(diǎn),如選原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)來(lái)驗(yàn)證Ax+By+C的正負(fù).當(dāng)C≠0時(shí),常選用______________. 對(duì)于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0),無(wú)論B為正值還是負(fù)值,我們
2、都可以把y項(xiàng)的系數(shù)變形為正數(shù),當(dāng)B>0時(shí), ①Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0______的區(qū)域; ②Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0______的區(qū)域. (2)畫不等式Ax+By+C>0表示的平面區(qū)域時(shí),其邊界直線應(yīng)為虛線;畫不等式Ax+By+C≥0表示的平面區(qū)域時(shí),邊界直線應(yīng)為實(shí)線.畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域,常用的方法是:直線定“界”、原點(diǎn)定“域”. 2.線性規(guī)劃的有關(guān)概念 (1)線性約束條件——由條件列出一次不等式(或方程)組. (2)線性目標(biāo)函數(shù)——由條件列出一次函數(shù)表達(dá)式. (3)線性規(guī)劃問題:求線性目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最大值或最小值問題
3、. (4)可行解:滿足________________的解(x,y). (5)可行域:所有________組成的集合. (6)最優(yōu)解:使______________取得最大值或最小值的可行解. 3.利用線性規(guī)劃求最值,一般用圖解法求解,其步驟是: (1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域. (2)作出目標(biāo)函數(shù)的等值線. (3)確定最優(yōu)解:在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)等值線,從而確定__________. 自我檢測(cè) 1.(2011·北京東城1月檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)(-2,t)在直線x-2y+4=0的上方,則t的取值范圍是( ) A.(-∞,1) B.(1,+∞)
4、 C.(-1,+∞) D.(0,1) 2.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)應(yīng)是( ) 3.(2010·重慶)設(shè)變量x,y滿足約束條件則z=3x-2y的最大值為( ) A.0 B.2 C.4 D.6 4.(2010·浙江)若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組且x+y的最大值為9,則實(shí)數(shù)m等于( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.(2010·天津河西高三期中)已知實(shí)數(shù)x,y滿足則z=2x-y的最大值為________. 探究點(diǎn)一 不等式組表示的平面區(qū)域 例1 畫出不等式組表示的平面區(qū)域
5、,并回答下列問題: (1)指出x,y的取值范圍; (2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個(gè)整點(diǎn)? 變式遷移1 (2011·安慶模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,有兩個(gè)區(qū)域M、N,M是由三個(gè)不等式y(tǒng)≥0,y≤x和y≤2-x確定的;N是隨t變化的區(qū)域,它由不等式t≤x≤t+1 (0≤t≤1)所確定.設(shè)M、N的公共部分的面積為f(t),則f(t)等于( ) A.-2t2+2t B.(t-2)2 C.1-t2 D.-t2+t+ 探究點(diǎn)二 求目標(biāo)函數(shù)的最值 例2 (2010·天津)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=4x+2y的最大值為( ) A.12 B.10
6、 C.8 D.2 變式遷移2 (2010·山東)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x-4y的最大值和最小值分別為( ) A.3,-11 B.-3,-11 C.11,-3 D.11,3 探究點(diǎn)三 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 例3 某公司計(jì)劃2010年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告,廣告總費(fèi)用不超過9萬(wàn)元.甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分和200元/分.假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告能給公司帶來(lái)的收益分別為0.3萬(wàn)元和0.2萬(wàn)元.問:該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間,才能使公司的收益最大,最大收益是多少萬(wàn)元
7、? 變式遷移3 (2010·四川)某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品,由乙車間加工出B產(chǎn)品,甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小時(shí),可加工出7千克A產(chǎn)品,每千克A產(chǎn)品獲利40元,乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)6小時(shí),可加工出4千克B產(chǎn)品,每千克B產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙兩車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過480小時(shí),甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為( ) A.甲車間加工原料10箱,乙車間加工原料60箱 B.甲車間加工原料15箱,乙車間加工原料55箱 C.甲車間加工原料18箱,乙車間加工原料50箱
8、 D.甲車間加工原料40箱,乙車間加工原料30箱 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 例 (12分)變量x、y滿足 (1)設(shè)z=4x-3y,求z的最大值; (2)設(shè)z=,求z的最小值; (3)設(shè)z=x2+y2,求z的取值范圍. 【答題模板】 解 由約束條件 作出(x,y)的可行域如圖所示. 由,解得A. 由,解得C(1,1).由, 解得B(5,2).[4分] (1)由z=4x-3y,得y=x-. 當(dāng)直線y=x-過點(diǎn)B時(shí),-最小,z最大. ∴zmax=4×5-3×2=14.[6分] (2)∵z==,∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率. 觀察圖形可知zmin=
9、kOB=.[9分] (3)z=x2+y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方.結(jié)合圖形可知,可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中, dmin=|OC|=,dmax=|OB|=.∴2≤z≤29.[12分] 【突破思維障礙】 1.求解目標(biāo)函數(shù)不是直線形式的最值的思維程序是: →→→ 2.常見代數(shù)式的幾何意義主要有以下幾點(diǎn): (1)表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)的距離; 表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(a,b)的距離. (2)表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率; 表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(a,b)連線的斜率. 這些代數(shù)式的幾何意義能使所求問題得以轉(zhuǎn)化,往往是解決問題的關(guān)鍵. 【易錯(cuò)
10、點(diǎn)剖析】 本題會(huì)出現(xiàn)對(duì)(2)(3)無(wú)從下手的情況,原因是學(xué)生沒有數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識(shí),不知道從目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義入手解題. 1.在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),已知直線l:Ax+By+C=0與點(diǎn)P(x0,y0),若Ax0+By0+C>0,則點(diǎn)P在直線l上方,若Ax0+By0+C<0,則點(diǎn)P在直線l下方. 2.在直線l:Ax+By+C=0外任意取兩點(diǎn)P(x1,y1)、Q(x2,y2),若P、Q在直線l的同一側(cè),則Ax1+By1+C 與Ax2+By2+C同號(hào);若P、Q在直線l異側(cè),則Ax1+By1+C與Ax2+By2+C異號(hào),這個(gè)規(guī)律可概括為“同側(cè)同號(hào),異側(cè)異號(hào)”. 3.線性規(guī)劃解決實(shí)際
11、問題的步驟:①分析并將已知數(shù)據(jù)列出表格;②確定線性約束條件;③確定線性目標(biāo)函數(shù);④畫出可行域;⑤利用線性目標(biāo)函數(shù)(直線)求出最優(yōu)解;⑥實(shí)際問題需要整數(shù)解時(shí),應(yīng)適當(dāng)調(diào)整,以確定最優(yōu)解. (滿分:75分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2011·龍巖月考)下面給出的四個(gè)點(diǎn)中,位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是( ) A.(0,2) B.(-2,0) C.(0,-2) D.(2,0) 2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知平面區(qū)域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},則平面區(qū)域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面積為( ) A.2
12、 B.1 C. D. 3.(2011·廣東)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定,若M(x,y)為D上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,1),則z=·的最大值為( ) A.4 B.3 C.4 D.3 4.(2011·安徽)設(shè)變量x,y滿足|x|+|y|≤1,則x+2y的最大值和最小值分別為( ) A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1 5.(2011·四川)某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人,有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車.某天需送往A地至少72噸的貨物,派用的每輛車需滿載且
13、只運(yùn)送一次,派用的每輛甲型卡車需配2名工人,運(yùn)送一次可得利潤(rùn)450元;派用的每輛乙型卡車需配1名工人,運(yùn)送一次可得利潤(rùn)350元.該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù),可得最大利潤(rùn)z等于( ) A.4 650元 B.4 700元 C.4 900元 D.5 000元 二、填空題(每小題4分,共12分) 6.(2010·北京改編)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.若指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn),則a的取值范圍是________. 7.(2011·長(zhǎng)沙一中月考)已知實(shí)數(shù)x、y同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:①x-y+2≤0;②x≥1;③x+y-7≤0,則的取值范圍是____
14、__________. 8.(2011·湖南師大月考)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸,若函數(shù)y=k(x+1)+1的圖象經(jīng)過區(qū)域M,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________. 三、解答題(共38分) 9.(12分)(2010·廣東)某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐.已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物,6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C;一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物,6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外,該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物,42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C. 如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元,那么要滿
15、足上述的營(yíng)養(yǎng)要求,并且花費(fèi)最少,應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和晚餐? 10.(12分)已知 求:(1)z=x+2y-4的最大值; (2)z=x2+y2-10y+25的最小值; (3)z=的范圍. 11.(14分)(2011·杭州調(diào)研)預(yù)算用2 000元購(gòu)買單件為50元的桌子和20元的椅子,希望使桌子和椅子的總數(shù)盡可能的多,但椅子數(shù)不少于桌子數(shù),且不多于桌子數(shù)的1.5倍,問桌子、椅子各買多少才行? 學(xué)案35 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題
16、自主梳理 1.(1)原點(diǎn)(0,0)?、偕戏健、谙路健?.(4)線性約束條件 (5)可行解 (6)目標(biāo)函數(shù) 3.(3)最優(yōu)解 自我檢測(cè) 1.B 2.C 3.C 4.C 5.7 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 在封閉區(qū)域內(nèi)找整點(diǎn)數(shù)目時(shí),若數(shù)目較小時(shí),可畫網(wǎng)格逐一數(shù)出;若數(shù)目較大,則可分x=m逐條分段統(tǒng)計(jì). 解 (1)不等式x-y+5≥0表示直線x-y+5=0上及右下方的點(diǎn)的集合.x+y≥0表示直線x+y=0上及右上方的點(diǎn)的集合,x≤3表示直線x=3上及左方的點(diǎn)的集合. 所以,不等式組 表示的平面區(qū)域如圖所示. 結(jié)合圖中可行域得x∈,y∈[-3,8]. (2)由圖形及不等式組
17、知
當(dāng)x=3時(shí),-3≤y≤8,有12個(gè)整點(diǎn);
當(dāng)x=2時(shí),-2≤y≤7,有10個(gè)整點(diǎn);
當(dāng)x=1時(shí),-1≤y≤6,有8個(gè)整點(diǎn);
當(dāng)x=0時(shí),0≤y≤5,有6個(gè)整點(diǎn);
當(dāng)x=-1時(shí),1≤y≤4,有4個(gè)整點(diǎn);
當(dāng)x=-2時(shí),2≤y≤3,有2個(gè)整點(diǎn);
∴平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有2+4+6+8+10+12=42(個(gè)).
變式遷移1 D [作出由不等式組組成的平面區(qū)域M,即△AOE表示的平面區(qū)域,
當(dāng)t=0時(shí),
f(0)=×1×1=,
當(dāng)t=1時(shí),
f(1)=×1×1=,
當(dāng)0 18、-(t+1)]2=-t2+t+,
即f(t)=-t2+t+,此時(shí)f(0)=,f(1)=,
綜上可知選D.]
例2 解題導(dǎo)引 1.求目標(biāo)函數(shù)的最值,必須先準(zhǔn)確地作出線性可行域再作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線,據(jù)題意確定取得最優(yōu)解的點(diǎn),進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最值.
2.線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by取最大值時(shí)的最優(yōu)解與b的正負(fù)有關(guān),當(dāng)b>0時(shí),最優(yōu)解是將直線ax+by=0在可行域內(nèi)向上平移到端點(diǎn)(一般是兩直線交點(diǎn))的位置得到的,當(dāng)b<0時(shí),則是向下方平移.
B
[畫出可行域如圖中陰影部分所示,目標(biāo)函數(shù)z=4x+2y可轉(zhuǎn)化為y=-2x+,
作出直線y=-2x并平移,顯然當(dāng)其過點(diǎn)A時(shí)縱截距最大.解 19、方程組
得A(2,1),∴zmax=10.]
變式遷移2 A [作出可行域如圖所示.
目標(biāo)函數(shù)y=x-z,則過B、A點(diǎn)時(shí)分別取到最大值與最小值.易求B(5,3),A(3,5).
∴zmax=3×5-4×3=3,zmin=3×3-4×5=-11.]
例3 解題導(dǎo)引 解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟是:(1)分析題意,設(shè)出未知量;
(2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù);(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解;(4)作答.
解 設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘,總收益為z元,
由題意得
目標(biāo)函數(shù)為z=3 000x+2 000y.
二元一次不等式組等價(jià)于
作 20、出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域,如圖所示.
作直線l:3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0.
平移直線l,從圖中可知,當(dāng)直線l過點(diǎn)M時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值.
由方程解得x=100,y=200.
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100,200).
所以zmax=3 000x+2 000y=700 000(元).
答 該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告,在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告,公司的收益最大,最大收益是70萬(wàn)元.
變式遷移3 B [
設(shè)甲車間加工原料x箱,乙車間加工原料y箱,
由題意可知
甲、乙兩車間每天總獲利為z=280x+200y.
畫出可行域如圖所 21、示.
點(diǎn)M(15,55)為直線x+y=70和直線10x+6y=480的交點(diǎn),由圖象知在點(diǎn)M(15,55)處z取得最大值.]
課后練習(xí)區(qū)
1.C 2.B 3.C 4.B 5.C
6.(1,3]
7.
解析 由
?A(1,6),
?B,
∴kOA=6,kOB=.
∴k∈,即∈.
8.
解析
作可行域,如圖.
因?yàn)楹瘮?shù)y=k(x+1)+1的圖象是過點(diǎn)P(-1,1),且斜率為k的直線l,由圖知,當(dāng)直線l過點(diǎn)A(1,2)時(shí),k取最大值,當(dāng)直線l過點(diǎn)B(3,0)時(shí),k取最小值-,故k∈.
9.解 設(shè)該兒童分別預(yù)訂x,y個(gè)單位的午餐和晚餐,共花費(fèi)z元,則z=2.5 22、x+4y.(2分)
可行域?yàn)椤〖?6分)
作出可行域如圖所示:
(9分)
經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),當(dāng)x=4,y=3時(shí),花費(fèi)最少,為2.5×4+4×3=22(元).故應(yīng)當(dāng)為兒童分別預(yù)訂4個(gè)單位的午餐和3個(gè)單位的晚餐.(12分)
10.解
作出可行域如圖所示,并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).
(1)易知可行域內(nèi)各點(diǎn)均在直線x+2y-4=0的上方,故x+2y-4>0,將點(diǎn)C(7,9)代入z得最大值為21.(4分)
(2)z=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)M(0,5)的距離的平方,過M作直線AC的垂線,易知垂足N在 23、線段AC上,
故z的最小值是|MN|2=.(8分)
(3)z=2×表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)Q連線的斜率的兩倍,
因此kQA=,kQB=,
故z的范圍為.(12分)
11.解 設(shè)桌子、椅子分別買x張、y把,
目標(biāo)函數(shù)z=x+y,(2分)
把所給的條件表示成不等式組,
即約束條件為(6分)
由 解得
所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為.
由 解得
所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為.(9分)
所以滿足條件的可行域是以A、B、
O(0,0)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(如圖).(12分)
由圖形可知,目標(biāo)函數(shù)z=x+y在可行域內(nèi)的最優(yōu)解為
B,但注意到x∈N*,y∈N*,故取
故買桌子25張,椅子37把是最好的選擇.(14分)
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