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1、考綱導(dǎo)讀
集合
（一）集合的含義與表示
1．了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系.
2．能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題。
（二）集合間的基本關(guān)系
1．理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.
2．在具體情境中，了解全集與空集的含義.
（三）集合的基本運算
1．理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集。
2．理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集.
3．能使用韋恩圖（Venn）表達(dá)集合的關(guān)系及運算。
無限集
知識網(wǎng)絡(luò)
有限集
分類
集合的概念
空集
2、
確定性
元素的性質(zhì)
集合
互異性
列舉法
無序性
集合的表示法
描述法
真子集
子集
包含關(guān)系
相 等
交集
集合運算
集合與集合的關(guān)系
并集
高考導(dǎo)航
補集
根據(jù)考試大綱的要求，結(jié)合2009年高考的命題情況，我們可以預(yù)測2010年集合部分在選擇、填空和解答題中都有涉及，高考命題熱點有以下兩個方面：一是集合的運算、集合的有關(guān)述語和符號、集合的簡單應(yīng)用等作基礎(chǔ)性的考查，題型多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)；二是以函數(shù)、方程、三角、不等式等知識為載體，以集合的語言和符號為表現(xiàn)形式，結(jié)合簡易邏輯知識考查
3、學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn).
第1課時 集合的概念
基礎(chǔ)過關(guān)
一、集合
1．集合是一個不能定義的原始概念，描述性定義為：某些指定的對象 就成為一個集合，簡稱 ．集合中的每一個對象叫做這個集合的 ．
2．集合中的元素屬性具有：
(1) 確定性； (2) ； (3) ．
3．集合的表示法常用的有 、 和韋恩圖法三種，有限集常用 ，無限集常用 ，圖示法常用于表示集合之間的相互關(guān)系．
4、
二、元素與集合的關(guān)系
4．元素與集合是屬于和 的從屬關(guān)系，若a是集合A的元素，記作 ，若a不是集合B的元素，記作 ．但是要注意元素與集合是相對而言的．
三、集合與集合的關(guān)系
5．集合與集合的關(guān)系用符號 表示．
6．子集：若集合A中 都是集合B的元素，就說集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），記作 ．
7．相等：若集合A中 都是集合B的元素，同時集合B中 都是集合A的元素，就說集合A等于集合B，記作 ．
5、
8．真子集：如果 就說集合A是集合B的真子集，記作 ．
9．若集合A含有n個元素，則A的子集有 個，真子集有 個，非空真子集有 個．
10．空集是一個特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的 ，是任何非空集合的 ，解題時不可忽視．
典型例題
例1. 已知集合，試求集合的所有子集.
解：由題意可知是的正約數(shù)，所以 可以是；相應(yīng)的為
，即.
∴的所有子集為.
變式訓(xùn)練1.若a,bR,集合求b-a的值.
解：由可知a≠0，
6、則只能a+b=0，則有以下對應(yīng)關(guān)系：
①或 ②
由①得符合題意；②無解.所以b-a=2.
例2. 設(shè)集合，，，求實數(shù)a的值.
解：此時只可能，易得或。
當(dāng)時，符合題意。
當(dāng)時，不符合題意，舍去。
故。
變式訓(xùn)練2：（1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值？
（2）A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，BA,求m。
解：（1）a＝0,S＝，P成立 a0，S，由SP，P＝{3，－1}
得3a＋2＝0，a＝－或－a＋2＝0，a＝2； ∴a值為0或－或2.
（2）B＝，即m＋1>2m－1,m<
7、2 ∴A成立.
??? B≠，由題意得得2≤m≤3
∴m<2或2≤m≤3 即m≤3為取值范圍.
注：（1）特殊集合作用，常易漏掉
例3. 已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.
（1）若A是空集，求m的取值范圍；
（2）若A中只有一個元素，求m的值；
（3）若A中至多只有一個元素，求m的取值范圍.
解： 集合A是方程mx2-2x+3=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解集.
(1)∵A是空集，∴方程mx2-2x+3=0無解.
∴Δ=4-12m<0,即m>.
（2）∵A中只有一個元素，
∴方程mx2-2x+3=0只有一個解.
若m=0，方程為
8、-2x+3=0，只有一解x=;
若m≠0，則Δ=0，即4-12m=0,m=.
∴m=0或m=.
(3)A中至多只有一個元素包含A中只有一個元素和A是空集兩種含義，根據(jù)（1）、（2）的結(jié)果，
得m=0或m≥.
變式訓(xùn)練3.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A，求實數(shù)a的值；
（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.
解：（1）由題意知：
a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1，
∴a=-1或-2或0，根據(jù)元素的互異性排除-1，-2,∴a=0即為所求.
（2）由題意知,或或或
根據(jù)元素的
9、互異性得或即為所求.
例4. 若集合A＝{2，4，}，B＝{1，a＋1，，、 }，且A∩B＝{2，5}，試求實數(shù)的值．
解:∵А∩В＝{2，5}，∴2∈A且5∈A，
則＝5(a－2)(a－1)(a＋1)＝0，
∴a＝－1或a＝1或a＝2．
當(dāng)a＝－1時，B＝{1，0，5，2，4}，與A∩B＝{2，5}矛盾，∴a≠－1．
當(dāng)a＝1時，B＝{1，2，1，5，12}，與集合中元素互異性矛盾，∴a≠1．
當(dāng)a＝2時，B＝{1，3，2，5，25}，滿足A∩B＝{2，5}．故所求a的值為2．
變式訓(xùn)練4.已知集合A＝{a，a＋d，a＋2d}，B＝{a，aq， }，其中a≠0，若A＝B，求q
10、的值
解：∵A＝B
∴(Ⅰ)或 (Ⅱ)
由(Ⅰ)得q＝1，由(Ⅱ)得q＝1或q＝－．
當(dāng)q＝1時，B中的元素與集合元素的互異性矛盾，
∴q＝－
歸納小結(jié)
小結(jié)歸納
1．本節(jié)的重點是集合的基本概念和表示方法，對集合的認(rèn)識，關(guān)鍵在于化簡給定的集合，確定集合的元素，并真正認(rèn)識集合中元素的屬性，特別要注意代表元素的形式，不要將點集和數(shù)集混淆．
2．利用相等集合的定義解題時，特別要注意集合中元素的互異性，對計算的結(jié)果要加以檢驗．
3．注意空集φ的特殊性，在解題時，若未指明集合非空，則要考慮到集合為空集的可能性．
4．要注意數(shù)學(xué)思想方法在解題中的運用，如化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論
11、、數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中的應(yīng)用．
第2課時 集合的運算
基礎(chǔ)過關(guān)
一、集合的運算
1．交集：由 的元素組成的集合，叫做集合A與B的交集，記作A∩B，即A∩B＝ ．
2．并集：由 的元素組成的集合，叫做集合A與B的并集，記作A∪B，即A∪B＝ ．
3．補集：集合A是集合S的子集，由 的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集，記作，即＝ ．
二、集合的常用運算性質(zhì)
1．A∩A＝ ，A∩＝ ，A∩B=
12、 ，B∩A，A∪A＝ ，
A∪＝ ，A∪B＝B∪A
2．＝ ，＝ ， ．
3． ，
，
4．A∪B＝A
A∩B＝A
典型例題
例1. 設(shè)全集，方程有實數(shù)根，方程
有實數(shù)根，求.
解：當(dāng)時，，即；
當(dāng)時，即，且 ∴，
∴
而對于，即，∴.
∴
變式訓(xùn)練1.已知集合A=B=
（1）當(dāng)m=3時，求；
（2）若AB，求實數(shù)m的值.
解： 由得∴-1＜x≤5,∴A=.
（1）當(dāng)m
13、=3時，B=，則=，
∴=.
(2)∵A=∴有42-2×4-m=0,解得m=8.
此時B=,符合題意，故實數(shù)m的值為8.
例2. 已知,或.
(1)若,求的取值范圍;
(2) 若,求的取值范圍.
解:(1), ∴，解之得.
(2) , ∴. ∴或， 或
∴若,則的取值范圍是；若,則的取值范圍是.
變式訓(xùn)練2：設(shè)集合A=B
（1）若AB求實數(shù)a的值；
（2）若AB=A，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若U=R，A（）=A.求實數(shù)a的取值范圍.
解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A=
（1）∵AB∴2B，代入B中的方程，
得a2+4a+3=0
14、,∴a=-1或a=-3;
當(dāng)a=-1時，B=滿足條件；
當(dāng)a=-3時，B=滿足條件；
綜上，a的值為-1或-3.
（2）對于集合B，
=4（a+1）2-4(a2-5)=8(a+3).
∵AB=A，∴BA,
①當(dāng)＜0,即a＜-3時，B=，滿足條件；
②當(dāng)=0，即a=-3時，B，滿足條件；
③當(dāng)＞0，即a＞-3時，B=A=才能滿足條件，
則由根與系數(shù)的關(guān)系得
即矛盾；
綜上，a的取值范圍是a≤-3.
（3）∵A（）=A，∴A，∴A
①若B=，則＜0適合；
②若B≠，則a=-3時，B=，AB=，不合題意；
a＞-3，此時需1B且2B，將2代入B的方程得
15、a=-1或a=-3（舍去）；
將1代入B的方程得a2+2a-2=0
∴a≠-1且a≠-3且a≠-1
綜上，a的取值范圍是a＜-3或-3＜a＜-1-或-1-＜a＜-1或-1＜a＜-1+或a＞-1+.
例3. 已知集合A=B，試問是否存在實數(shù)a，使得AB 若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.
解:方法一 假設(shè)存在實數(shù)a滿足條件AB=則有
（1）當(dāng)A≠時，由AB=，B，知集合A中的元素為非正數(shù)，
設(shè)方程x2+(2+a)x+1=0的兩根為x1,x2,則由根與系數(shù)的關(guān)系，得
（2）當(dāng)A=時，則有=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a＜0.
綜上（1）、（2），知存在
16、滿足條件AB=的實數(shù)a,其取值范圍是（-4，+∞）.
方法二 假設(shè)存在實數(shù)a滿足條件AB≠，則方程x2+(2+a)x+1=0的兩實數(shù)根x1，x2至少有一個為正，
因為x1·x2=1＞0，所以兩根x1,x2均為正數(shù).
則由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得
又∵集合的補集為
∴存在滿足條件AB=的實數(shù)a,其取值范圍是（-4，+∞）.
變式訓(xùn)練3.設(shè)集合A={（x,y）|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*}，問是否存在非零整數(shù)a,使A∩B≠？若存在，請求出a的值；若不存在，說明理由.
解：假設(shè)A∩B≠，則方程組
有正整數(shù)解，消去y,得ax2-(a+
17、2)x+a+1=0.
由Δ≥0，有（a+2）2-4a(a+1)≥0,解得-.因a為非零整數(shù)，∴a=±1，
當(dāng)a=-1時，代入（*），解得x=0或x=-1,
而x∈N*.故a≠-1.當(dāng)a=1時，代入（*）,
解得x=1或x=2，符合題意.故存在a=1,使得A∩B≠,
此時A∩B={（1，1），（2，3）}.
小結(jié)歸納
例4. 已知A＝{x｜x2－2ax＋(4a－3)＝0，x∈R}，又B＝{x｜x2－2ax＋a2＋a＋2＝0，x∈R}，是否存在實數(shù)a，使得AB＝?若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，說明理由．
解：1
18、定義域,集合為函數(shù)的值域,集合為不等式的解集.（1）求；（2）若,求的取值范圍．
解：（1）解得A=（-4，2）， B= 。 所以
歸納小結(jié)
（2）a的范圍為<0
1．在解決有關(guān)集合運算題目時，關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題目中符號語言的含義，善于轉(zhuǎn)化為文字語言．
2．集合的運算可以用韋恩圖幫助思考，實數(shù)集合的交、并運算可在數(shù)軸上表示，注意在運算中運用數(shù)形結(jié)合思想．
3．對于給出集合是否為空集，集合中的元素個數(shù)是否確定，都是常見的討論點，解題時要有分類討論的意識.
集合單元測試題
一、選擇題
1．設(shè)全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x 2+ x－6=
19、0}，則下圖中陰影表示的集合為（ ）
A．{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3}
2．當(dāng)xR，下列四個集合中是空集的是（ ）
A. {x|x2-3x+2=0} B. {x|x2＜x}
C. {x|x2-2x+3=0} C. {x|sinx+cosx=}
3．設(shè)集合，集合，若, 則等于（ ）
A. B.
C. D.
4．設(shè)集合，，則下列關(guān)系中正
20、確的是（ ）
A． B． C． D．
5．設(shè)M，P是兩個非空集合，定義M與P的差集為M-P={x|xM且xp},則M-（M-P）等于（ ）
A. P B. MP C. MP D. M
6．已知, 若, 則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
7.集合M＝{x｜x＝sin，n∈Z}，N＝{ x｜x＝cos，n∈Z }，M∩N＝ （ ）
A． B．
C．{0} D．
8.
21、已知集合M＝{x｜}，N＝{x│}，則 （ ）
A．M＝N B．M N
C．M N D．MN＝φ
9． 設(shè)全集∪＝{x｜1≤x <9，x∈N}，則滿足的所有集合B的個數(shù)有 （ ）
A．1個 B．4個
C．5個 D．8個
10．已知集合M＝{(x，y)︱y＝}，N＝{(x，y)︱y＝x＋b}，且M∩N＝，則實數(shù)b應(yīng)滿足的條件是
（ ）
A．︱b︱≥ B．0＜b＜
C．－3≤b≤ D．b＞或b＜－3
二、填空題
11．設(shè)集合,,且，則實數(shù)的取
22、值范圍是 .
12．設(shè)全集U=R，A=，
則右圖中陰影部分表示的集合為 .
13．已知集合A=，那么A的真子集的個數(shù)是 .
14．若集合，，則等于 .
15．滿足的集合A的個數(shù)是_______個.
16．已知集合，函數(shù)的定義域為Q.
（1）若，則實數(shù)a的值為 ；
（2）若，則實數(shù)a的取值范圍為 .
三、解答題
17．已知函數(shù)的定義域集合是A,函數(shù)的定義域集合是B
（1）求集合A、B
（2）若A∪B=B,求實數(shù)的取值范圍．
23、
18．設(shè)，集合，；
若，求的值.
19．設(shè)集合，.
(1)當(dāng)時，求A的非空真子集的個數(shù)；
(2)若B=，求m的取值范圍；
(3)若，求m的取值范圍.
20. 對于函數(shù)f(x)，若f(x)＝x，則稱x為f(x)的“不動點”，若，則稱x為f(x)的“穩(wěn)定點”，函數(shù)f(x)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即}，.
(1) 求證：AB
(2) 若，且，求實數(shù)a的取值范圍.
單元測試參考答案
一、選擇題
1．答案：A
2．答案：C
3．答案：A
4．提示：，
24、.答案： D
5．答案：B
6．答案：B
7. 由與的終邊位置知M＝{，0，}，N＝{－1，0，1}，故選C.
11．提示:, ∴,答案：
12．答案：，圖中陰影部分表示的集合為,
13．答案：15
14. 答案：
15. 答案：7
16. 答案：；
17. 解：（1）A＝…………
B＝……………
（2）由AB＝B得AB，因此……………
所以,所以實數(shù)ａ的取值范圍是……………
18. 解：，由，
當(dāng)時，，符合；
當(dāng)時，，而，∴，即
∴或.
19. 解：化簡集合A=，集合B可寫為
(1),即A中含有8個元素，A的非空真子集數(shù)為
（個）
25、.
(1)顯然只有當(dāng)m-1=2m+1即m=--2時，B=.
(2)當(dāng)B=即m=-2時，；
當(dāng)B即時
（?。┊?dāng)m<-2 時，B=(2m-1,m+1),要
只要，所以m的值不存在；
（ⅱ）當(dāng)m>-2 時,B=（m-1,2m+1）,要
只要.
綜合，知m的取值范圍是：m=-2或
20.證明(1).若A＝，則AB 顯然成立；
若A≠，設(shè)t∈A，則f(t)＝t，f(f(t))＝f(t)＝t，即t∈B，從而 AB.
解 (2)：A中元素是方程f(x)＝x 即的實根.
由 A≠，知 a＝0 或
即
B中元素是方程
即 的實根
由AB，知上方程左邊含有一個因式，即方程可化為
因此，要A＝B，即要方程
①
要么沒有實根，要么實根是方程 ②的根.
若①沒有實根，則，由此解得
若①有實根且①的實根是②的實根，則由②有 ，代入①有 2ax＋1＝0.
由此解得，再代入②得 由此解得 .
故 a的取值范圍是
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