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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
第六章 數(shù)列
第1講 數(shù)列的概念與簡單表示法
一、填空題
1．已知數(shù)列，1，，，，…，，…，則3是它的第_______項．
解析 3＝＝.
答案 23
2．已知函數(shù)y＝anx2(an≠0，n∈N*)的圖象在x＝1處的切線斜率為2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，且當(dāng)n＝1時其圖象過點(2,8)，則a7的值為________．
解析 由題知y′＝2anx，∴2an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴an－an－1＝，又n＝1時其圖象過點(2,8)，∴a1×22＝8，得a1＝2，∴{an}是首項為2，公差為的等差數(shù)列，an＝＋，得a7＝5.
答案
2、5
3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則a2＝________；an＝________.
解析 由an＝n(an＋1－an)，可得＝，
則an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n.
答案 2；n
4．?dāng)?shù)列{an}的通項an＝，則數(shù)列{an}中的最大值是________．
解析 因為an＝，運用基本不等式得，≤，由于n∈N*，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n＝9或10時，an＝最大．
答案
5．設(shè)函數(shù)f(x)＝數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N*，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析
3、 ∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又an＝f(n)(n∈N*)，
∴?2
4、
8．在數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，則a16＝________.
解析 由題可知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，a16＝a3×5＋1＝a1＝.
答案
9．已知{an}的前n項和為Sn，且滿足log2(Sn＋1)＝n＋1，則an＝________.
解析 由已知條件可得Sn＋1＝2n＋1.
∴Sn＝2n＋1－1，
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，
n＝1時不適合an，∴an＝
答案
10．已知5×5數(shù)字方陣
中，aij＝
則3j＋i4＝_
5、_______.
解析 由條件可知a32＝－1，a33＝1，a34＝－1，a35＝－1，a24＝1，a34＝－1，a44＝1，從而原式＝－1.
答案 －1
二、解答題
11．?dāng)?shù)列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6.
(1)這個數(shù)列的第4項是多少？
(2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？
(3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？
解 (1)當(dāng)n＝4時，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是這個數(shù)列的第16項．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，
解得n>
6、6或n<1(舍)．
∴從第7項起各項都是正數(shù)．
12．設(shè)數(shù)列{an} 的前n項和為Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．
解 (1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
∴{Sn－3n}是等比數(shù)列，
因此，所求通項公式為
bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.①
(2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1
7、
＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2
＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2，
當(dāng)n≥2時，an＋1≥an?12·n－2＋a－3≥0?a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1.
綜上，所求的a的取值范圍是[－9，＋∞)．
13．設(shè)數(shù)列{bn}滿足：b1＝，bn＋1＝b＋bn，
(1)求證：＝－；
(2)若Tn＝＋＋…＋，對任意的正整數(shù)n,3Tn－log2m－5>0恒成立．求m的取值范圍．
解 (1)∵b1＝，bn＋1＝b＋bn＝bn(bn＋1)，
∴對任意的n∈N*，bn>0.
∴＝＝－，即＝－
8、.
(2)Tn＝＋＋…＋＝－＝2－.
∵bn＋1－bn＝b>0，∴bn＋1>bn，∴數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列．
∴數(shù)列{Tn}關(guān)于n遞增．∴Tn≥T1.
∵b1＝，∴b2＝b1(b1＋1)＝.∴T1＝2－＝.
∴Tn≥.∵3Tn－log2m－5>0恒成立．
∴l(xiāng)og2m<－3，∴0
9、－Sn－1＝－，即＝(n≥2)．所以是首項為＝1的常數(shù)數(shù)列，所以＝1，即an＝n(n∈N*)．
法二 同上，得(n－1)an＝nan－1.同理得
nan＋1＝(n＋1)an，所以2nan＝n(an－1＋an＋1)，即
2an＝an－1＋an＋1，所以{an}成等差數(shù)列．又由a1＝1，得a2＝S2－a1，得a2＝2，得an＝1＋(n－1)＝n(n∈N*)．
法三 同上，得＝(n≥2)，
所以an＝···…···a1＝··…···1＝n，當(dāng)n＝1時a1＝1，也滿足an＝n，所以an＝n(n∈N*)．
(2)假設(shè)存在k(k≥2，k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比數(shù)列，則bkbk＋2＝b.因為bn＝ln an＝ln n，
所以bkbk＋2＝ln k·ln(k＋2)＜2＝2＜2＝[ln(k＋1)]2＝b，這與bkbk＋2＝b矛盾．
故不存在k(k≥2，k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比數(shù)列.
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