新編高中數(shù)學(xué)課本典例改編之選修2－1、2－2、2－3：專(zhuān)題六 隨機(jī)變量及其分布列、統(tǒng)計(jì)案例 Word版含解析

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1、 專(zhuān)題六 隨機(jī)變量及其分布列、統(tǒng)計(jì)案例 一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí) 1．離散型隨機(jī)變量 隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量． 2．離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì) (1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列，有時(shí)為了表

2、達(dá)簡(jiǎn)單，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列． (2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì) ①pi≥0(i＝1，2，…，n)； ②pi＝1. 3．常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)兩點(diǎn)分布： 若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則其分布列為 X 0 1 P 1－p p 其中p＝P(X＝1)稱(chēng)為成功概率． (2)超幾何分布 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱(chēng)分布列為超幾何分布列. X 0 1 …

3、m P … 4．條件概率 條件概率的定義 條件概率的性質(zhì) 設(shè)A、B為兩個(gè)事件，且P(A)>0，稱(chēng)P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率 (1)0≤P(B|A)≤1 (2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A). 5.事件的相互獨(dú)立性 (1)定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立． (2)性質(zhì)： ①若事件A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)， P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與，與B，與也相互獨(dú)立

4、． 6．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 二項(xiàng)分布 定義 在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱(chēng)p為成功概率 計(jì)算公式 用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3…An) ＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n) 7．離散型隨機(jī)變量的均值與方差 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X x1

5、 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值：稱(chēng)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平． (2)D(X)＝ (xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差． 8．均值與方差的性質(zhì) (a，b為常數(shù))． 9．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 X X服從兩點(diǎn)分布 X～B(n，p) E(X) p(p為成功概率) np D(X) p(1－p) np(1－p) 10

6、.正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn) (1)曲線(xiàn)位于x軸上方，與x軸不相交； (2)曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)； (3)曲線(xiàn)在x＝μ處達(dá)到峰值； (4)曲線(xiàn)與x軸之間的面積為1； (5)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線(xiàn)隨著μ的變化而沿x軸平移； (6)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線(xiàn)的形狀由σ確定．σ越小，曲線(xiàn)越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線(xiàn)越“矮胖”，表示總體的分布越分散． 11．變量間的相關(guān)關(guān)系 (1)常見(jiàn)的兩變量之間的關(guān)系有兩類(lèi)：一類(lèi)是函數(shù)關(guān)系，另一類(lèi)是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系． (2)從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱(chēng)為正相關(guān)，點(diǎn)分

7、布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)． 12．兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān) (1)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線(xiàn)附近，稱(chēng)兩個(gè)變量之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，這條直線(xiàn)叫回歸直線(xiàn)． (2)回歸方程為＝x＋，其中＝，＝－． (3)通過(guò)求Q＝ (yi－bxi－a)2的最小值而得出回歸直線(xiàn)的方法，即求回歸直線(xiàn)，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法． (4)相關(guān)系數(shù)： 當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)； 當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)． r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間

8、幾乎不存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)性． 13．獨(dú)立性檢驗(yàn) 假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱(chēng)為2×2列聯(lián)表)為： y1 y2 總計(jì) x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計(jì) a＋c b＋d a＋b＋c＋d K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)． 二、題之本：思想方法技巧 1.求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟 (1)明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及每個(gè)值所表示的意義，判斷一個(gè)變量是否為離散型隨機(jī)變量，主要看變量的值能否按一定的順序一一列

9、出. (2)利用概率的有關(guān)知識(shí)，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率.對(duì)于古典概率、互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有k次發(fā)生的概率等，都要能熟練計(jì)算. (3)按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證. 2.分布列的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機(jī)變量X所有可能的取值，第二行是對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量X的值的事件發(fā)生的概率.在每一列中，上為“事件”，下為事件發(fā)生的概率，只不過(guò)“事件”是用一個(gè)反映其結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的.每完成一列，就相當(dāng)于求一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率. 3.可用超幾何分布解決的題目涉及的背景多數(shù)是生活、生產(chǎn)實(shí)踐中的問(wèn)題，且往往由明顯的兩部分組成，如產(chǎn)品中的正品和次品，盒中的

10、白球和黑球，同學(xué)中的男生和女生等.注意弄清楚超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系. 4.“獨(dú)立”與“互斥”的區(qū)別 兩事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響(如有放回的抽取模型).兩事件相互獨(dú)立通常不互斥，兩事件互斥通常不獨(dú)立. 5.條件概率的求法 (1)利用定義，分別求出P(A)，P(AB)，得P(B|A)＝； (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB)，即P(B|A)＝. (3)為了求一些復(fù)雜事件的條件概率，往往可以先把它分解為兩個(gè)(或若干個(gè))互斥

11、事件的和，利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)進(jìn)行計(jì)算，其中B，C互斥. 6.對(duì)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的理解 (1)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，其中p是一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的概率.實(shí)際上，Cpk(1－p)n－k正好是二項(xiàng)式(1－p)＋p]n的展開(kāi)式中的第k＋1項(xiàng).這也是二項(xiàng)分布名稱(chēng)的由來(lái). (2)要弄清n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率與第k次才發(fā)生的概率計(jì)算公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k與Pk＝(1－p)k－1p的區(qū)別. 7.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的求法 (1)利用相互獨(dú)立事件

12、的概率乘法公式直接求解； (2)正面計(jì)算較繁或難于入手時(shí)，可以從其對(duì)立事件入手進(jìn)行計(jì)算. 8.正確理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與獨(dú)立事件間的關(guān)系 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在同樣條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果(即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生)，并且在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率均相等.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特例(概率公式也是如此)，就像對(duì)立事件是互斥事件的特例一樣.一般地，有“恰好”等字眼的用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算更簡(jiǎn)單，就像有“至少”或“至多”等字眼的題目用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算更簡(jiǎn)單一樣. 9.均值與方差的常用性質(zhì) 掌握下述有關(guān)性質(zhì)，會(huì)給解題帶來(lái)方便：

13、(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)； D(aX＋b)＝a2D(X). (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 10.計(jì)算均值與方差的基本方法 (1)已知隨機(jī)變量的概率分布求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用定義或公式求； (2)已知隨機(jī)變量X的均值、方差，求X的線(xiàn)性函數(shù)Y＝aX＋b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用均值及方差的性質(zhì)求； (3)如能分析所給隨機(jī)變量服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，則可直接利用它們的均值、方差公式來(lái)求. 11.(1)在實(shí)際中經(jīng)常用均值來(lái)比較平均水平，當(dāng)平均水平相近時(shí)，再用方差比

14、較穩(wěn)定程度；(2)注意離散型隨機(jī)變量的均值、方差與樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的區(qū)別與聯(lián)系. 12.正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)特點(diǎn)可用來(lái)求其數(shù)學(xué)期望μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ：正態(tài)曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)，據(jù)此結(jié)合圖象可求μ；正態(tài)曲線(xiàn)在x＝μ處達(dá)到峰值，據(jù)此結(jié)合圖象可求σ. 13.能熟練應(yīng)用正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性解題，并注意以下幾點(diǎn)： (1)正態(tài)曲線(xiàn)與x軸之間的面積為1； (2)正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上概率相等； (3)幾個(gè)常用公式： P(X0，則 P(X<μ－b)＝. 14.無(wú)論是

15、正態(tài)分布的正向或逆向的應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵都是先確定μ，σ，然后利用對(duì)稱(chēng)性，將所求概率轉(zhuǎn)化到三個(gè)特殊區(qū)間. 15．在研究?jī)蓚€(gè)變量之間是否存在某種關(guān)系時(shí)，必須從散點(diǎn)圖入手．對(duì)于散點(diǎn)圖，可以做出如下判斷： (1)如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線(xiàn)上，就用該函數(shù)來(lái)描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系． (2)如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線(xiàn)附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系． (3)如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線(xiàn)附近，變量之間就有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系． 16．分析兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的常用方法： (1)利用散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷； (2)利用相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行判斷． 17． (1)回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)

16、變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線(xiàn)性時(shí)，求出的回歸直線(xiàn)方程才有實(shí)際意義，否則無(wú)意義． (2)根據(jù)回歸方程進(jìn)行的估計(jì)僅是一個(gè)預(yù)測(cè)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值． (3)用最小二乘法求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)，，由于，的計(jì)算量較大，計(jì)算時(shí)應(yīng)仔細(xì)小心． 18．線(xiàn)性回歸分析的方法、步驟 (1)畫(huà)出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖； (2)求相關(guān)系數(shù)r，并確定兩個(gè)變量的相關(guān)程度的高低； (3)用最小二乘法求回歸直線(xiàn)方程＝x＋， (4)利用回歸直線(xiàn)方程進(jìn)行預(yù)報(bào)． 注：①對(duì)于非線(xiàn)性(可線(xiàn)性化)的回歸分析，一般是利用條件及我們熟識(shí)的函數(shù)模型，將題目中的非線(xiàn)性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性關(guān)系進(jìn)行分析，最后還原．②

17、利用相關(guān)指數(shù)R2＝1－刻畫(huà)回歸效果時(shí)，R2越大，意味著殘差平方和越小，模型的擬合效果越好. 19．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟 (1)假設(shè)兩個(gè)分類(lèi)變量x與y沒(méi)有關(guān)系； (2)計(jì)算出K2的觀(guān)測(cè)值，其中 K2＝； (3)把K2的值與臨界值比較，作出合理的判斷． 20．獨(dú)立性檢驗(yàn)的注意事項(xiàng) (1)在列聯(lián)表中注意事件的對(duì)應(yīng)及相關(guān)值的確定，不可混淆． (2)在實(shí)際問(wèn)題中，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系表述，得到的結(jié)論有一定的概率出錯(cuò)． (3)對(duì)判斷結(jié)果進(jìn)行描述時(shí)，注意對(duì)象的選取要準(zhǔn)確無(wú)誤，應(yīng)是對(duì)假設(shè)結(jié)論進(jìn)行的含概率的判斷，而非其他． 三、題之變：課本典例改編 1.原題（選修2-3第八十

18、六頁(yè)例2）一只紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù) 和溫度 有關(guān)，現(xiàn)收集了 7 組觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)列于表中，試建立 與 之間的回歸方程。 溫度 21 23 25 27 29 32 35 產(chǎn)卵數(shù)個(gè) 7 11 21 24 66 115 325 改編 為了對(duì)佛山市中考成績(jī)進(jìn)行分析，在60分以上的全體同學(xué)中隨機(jī)抽出8位，他們的數(shù)學(xué)(已折算為百分制)、物理、化學(xué)分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)如下表， 學(xué)生編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分?jǐn)?shù)y 72 77 80 84 88 90 93 9

19、5 化學(xué)分?jǐn)?shù)z 67 72 76 80 84 87 90 92 (1) 若規(guī)定85分(包括85分)以上為優(yōu)秀，求這8位同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率； (2) 用變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)說(shuō)明物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的相關(guān)程度； (3) 求y與x、z與x的線(xiàn)性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并用相關(guān)指數(shù)比較所求回歸模型的效果. 參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，. (3) 設(shè)y與x、z與x的線(xiàn)性回歸方程分別是、. 根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出， . 所以y與x和z與x的回歸方程分別是、. 又y與x、z與x的相關(guān)指數(shù)是、.　 故回歸模型比回歸模型

20、的擬合的效果好. 2.原題（選修2-3第九十五頁(yè)例1）改編 甲乙兩個(gè)學(xué)校高三年級(jí)分別有1100人，1000人，為了了解兩個(gè)學(xué)校全體高三年級(jí)學(xué)生在該地區(qū)二?？荚嚨臄?shù)學(xué)成績(jī)情況，采用分層抽樣方法從兩個(gè)學(xué)校一共抽取了 105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，并作出了如下的頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表，規(guī)定考試成績(jī)?cè)?20，150]內(nèi)為優(yōu)秀，甲校： 乙校： (I )計(jì)算的值; (II)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)右面列聯(lián)表，若按是否優(yōu)秀來(lái)判斷，是否有97.5% 的把握認(rèn)為兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差異. (III)根據(jù)抽樣結(jié)果分別估計(jì)甲校和乙校的優(yōu)秀率；若把頻率作為概率，現(xiàn)從乙校學(xué)生中任取3人，求優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望; 附： (III)甲校優(yōu)秀率為乙校優(yōu)秀率為 ， 0 1 2 3 分布列： 期望：