新編高三數(shù)學 第18練 用導數(shù)研究函數(shù)的單調性練習

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1、 第18練 用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 訓練目標 (1)函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；(2)函數(shù)單調性的應用． 訓練題型 (1)求函數(shù)單調區(qū)間；(2)利用函數(shù)單調性求參數(shù)值；(3)利用函數(shù)單調性比較函數(shù)值大小． 解題策略 (1)函數(shù)的單調性可通過解不等式f′(x)>0或f′(x)<0判斷；(2)若f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，則f′(x)≥0在D上恒成立；(3)已知條件中含f(x)的不等式，可構造函數(shù)，利用單調性求解. 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝lnx－x2的單調減區(qū)間是(　　) A．(－∞，] B．(0，] C．[1，＋∞) D．[，＋∞) 2．已知函

2、數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是(　　) 3．“a>1”是“函數(shù)f(x)＝ax＋cosx在R上單調遞增”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 4．已知a≥0，函數(shù)f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是單調減函數(shù)，則a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 5．(20xx·臨沂月考)已知f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負可導函數(shù)，且滿足xf′(x)＋f(x)≤0，對任意的0

3、) B．bf(a)≤af(b) C．a(chǎn)f(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a) 二、填空題 6．已知函數(shù)f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)， (1)若函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(0,4)，則實數(shù)k的值為____________； (2)若在(0,4)上為減函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是____________． 7．已知函數(shù)y＝－x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是單調減函數(shù)，則b的取值范圍是________________． 8．(20xx·蘭州一模)若函數(shù)f(x)＝x2－ex－ax在R上存在單調遞增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是______

4、________________． 9．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋ax，若g(x)＝，對任意x1∈[，2]，存在x2∈[，2]，使f′(x1)≤g(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是______________． 三、解答題 10．已知函數(shù)f(x)＝lnx－，g(x)＝f(x)＋ax－6ln x，其中a∈R. (1)當a＝1時，判斷函數(shù)f(x)的單調性； (2)若g(x)在其定義域內為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍．  答案精析 1．D　[由題意知，函數(shù)f(x)＝lnx－x2的定義域為(0，＋∞)，求導可得f′(x)＝－2x＝，令f′(x)＝≤0，可得

5、x≥.故選D.] 2．B　[在(－1,0)上，f′(x)單調遞增，所以f(x)圖象的切線斜率呈遞增趨勢；在(0,1)上，f′(x)單調遞減，所以f(x)圖象的切線斜率呈遞減趨勢，故選B.] 3．A　[若函數(shù)f(x)＝ax＋cosx在R上單調遞增，則f′(x)＝a－sin x≥0在R上恒成立， ∴a≥sinx，∵－1≤sin x≤1，∴a≥1，則“a>1”是“函數(shù)f(x)＝ax＋cosx在R上單調遞增”的充分不必要條件，故選A.] 4．C　[f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由題意知當x∈[－1,1]時，f′(x)≤0恒成立，即x2

6、＋(2－2a)x－2a≤0恒成立． 令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a， 則有 即 解得a≥.] 5．A　[因為xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，所以′＝≤≤0， 則函數(shù)在(0，＋∞)上單調遞減．由于00，故0

7、≤0恒成立，所以Δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，所以－1≤b≤3，故使該函數(shù)在R上不是單調減函數(shù)的b的取值范圍是b<－1或b>3. 8．(－∞，2ln 2－2] 解析　因為f(x)＝x2－ex－ax，所以f′(x)＝2x－ex－a， 因為函數(shù)f(x)＝x2－ex－ax在R上存在單調遞增區(qū)間， 所以f′(x)＝2x－ex－a≥0， 即a≤2x－ex有解，設g(x)＝2x－ex，則g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0， 解得x＝ln 2，則當x0，g(x)單調遞增， 當x>ln 2時，g′(x)<0，g(x)單調遞減， 所以當x＝l

8、n 2時，g(x)取得最大值，g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－2， 所以a≤2ln 2－2. 9．(－∞，－8] 解析　求導可得f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1?f′(x)在[，2]上是增函數(shù)?f′(x)max＝f′(2)＝8＋a，由g(x)＝在[，2]上是減函數(shù)?g(x)max＝g()＝，又原命題等價于f′(x)max≤g(x)max?8＋a≤?a∈(－∞，－8]． 10．解　(1)由f(x)＝lnx－得定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝， 當a＝1時，f′(x)＝>0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調遞增． (2)由已知得，g′(x)＝， 因為g(x)在其定義域內為增函數(shù)， 所以?x∈(0，＋∞)，g′(x)≥0， 即ax2－5x＋a≥0，即a≥， 而≤＝，當且僅當x＝1時，等號成立，所以a≥.