新編人教A版理科數(shù)學(xué)高效訓(xùn)練：81 直線的傾斜角與斜率、直線的方程

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 [A組　基礎(chǔ)演練·能力提升] 一、選擇題 1．(2014年山西四校第二次聯(lián)考)直線xsin α＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是(　　) A．[0，π)　　　　　　　　 B.∪ C. D.∪ 解析：設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π. 答案：B 2．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(－2,5)，且斜率為－，則直線l的方程為(　　) A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0 解析：由點(diǎn)斜式知y－5＝－(x＋2)

2、， 即3x＋4y－14＝0.[來源:] 答案：A 3．(2014年泰安一模)過點(diǎn)A(2,3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線方程為(　　) A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0 解析：由題意可設(shè)所求直線方程為：x－2y＋m＝0，將A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0， 即m＝4，所以所求直線方程為x－2y＋4＝0. 答案：A 4．“a＝0”是“直線l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0與直線l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條

3、件 解析：當(dāng)a＝0時(shí)， l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此時(shí)l1∥l2， 所以“a＝0”是“直線l1與l2平行”的充分條件； 當(dāng)l1∥l2時(shí)，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1. 當(dāng)a＝1時(shí)，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0， 此時(shí)l1與l2重合，所以a＝1不滿足題意，即a＝0. 所以“a＝0”是“直線l1∥l2”的必要條件．[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 答案：C 5．若直線l：y＝kx－與直線2x＋3y－6＝0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：∵直線l恒過定點(diǎn)(0，－)． 作出兩直線的圖象

4、，如圖所示， ∴從圖中看出，直線l的傾斜角的取值范圍應(yīng)為. 答案：B 6．在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：ax＋y＋b＝0和直線l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　) 解析：l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a. 可知l1的斜率是l2的縱截距，l1的縱截距是l2的斜率．在選項(xiàng)A中，l1的縱截距為正，而l2的斜率為負(fù)，不合題意，排除選項(xiàng)A.同理可排除選項(xiàng)C、D，故選B. 答案：B 二、填空題 7．若直線l的斜率為k，傾斜角為α，而α∈∪，則k的取值范圍是________． 解析：當(dāng)α∈時(shí)， k＝tan α∈； 當(dāng)α∈ 時(shí)，k＝tan α∈[－，0)． 綜上

5、k∈[－，0)∪. 答案：[－，0)∪ 8．一條直線經(jīng)過點(diǎn)A(－2,2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為________． 解析：設(shè)直線方程為＋＝1，則由題意知， ＋＝1.① 又|a|·|b|＝1， ∴|a|·|b|＝2.② 由①②可解得或. ∴所求直線方程為＋y＝1或x＋＝－1. 即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0 答案：x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0 9．(2014年皖南八校聯(lián)考)已知直線a2x＋y＋2＝0與直線bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，則|ab|的最小值為________． 解析：∵兩直線互相垂直， ∴a2b－(a2＋1

6、)＝0且a≠0， ∴a2b＝a2＋1， ∴ab＝＝a＋， ∴|ab|＝＝|a|＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝±1時(shí)取等號(hào))． 答案：2 三、解答題 10．求適合下列條件的直線方程： (1)經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等； (2)過點(diǎn)A(－1，－3)，斜率是直線y＝3x的斜率的－； (3)過點(diǎn)A(1，－1)與已知直線l1：2x＋y－6＝0相交于B點(diǎn)且|AB|＝5. 解析：(1)設(shè)直線l在x、y軸上的截距均為a， 若a＝0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)， ∴l(xiāng)的方程為y＝x， 即2x－3y＝0. 若a≠0，則設(shè)l的方程為＋＝1， ∵l過點(diǎn)(3,2)，∴＋＝1，

7、 ∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0， 綜上可知，所求直線的方程為 2x－3y＝0或x＋y－5＝0.[來源:] (2)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意 k＝－×3＝－. 又直線經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)， 因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0. (3)由題意，可設(shè)點(diǎn)B(x，－2x＋6)， 則|AB|＝＝5， 解得x＝1或x＝5. 故點(diǎn)B(1,4)或B(5，－4)．[來源:] 當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,4)時(shí)， 直線AB的方程為x＝1； 當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為(5，－4)時(shí)，[來源:] 直線AB的方程為3x＋4y＋1＝0. 故所求直線的方程為x＝1或3x＋4y

8、＋1＝0. 11．已知兩點(diǎn)A(－1,2)，B(m,3)． (1)求直線AB的方程； (2)已知實(shí)數(shù)m∈，求直線AB的傾斜角α的取值范圍． 解析：(1)當(dāng)m＝－1時(shí)， 直線AB的方程為x＝－1， 當(dāng)m≠－1時(shí)， 直線AB的方程為y－2＝(x＋1)． 即x－(m＋1)y＋2m＋3＝0. (2)①當(dāng)m＝－1時(shí)，α＝； ②當(dāng)m≠－1時(shí)， m＋1∈∪(0，]， ∴k＝∈(－∞，－) ∪， ∴α∈∪. 綜合①②知， 直線AB的傾斜角α∈. 12.(能力提升)為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪(如圖所示)，另外△EFA內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測量|AB

9、|＝100 m，|BC|＝80 m，|AE|＝30 m，|AF|＝20 m，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大？ 解析：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則E(30,0)、F(0,20)， ∴EF的方程為＋＝1(0≤x≤30)． 易知當(dāng)矩形草坪的一個(gè)頂點(diǎn)在EF上時(shí)，可取最大值， 在線段EF上取點(diǎn)P(m，n)， 作PQ⊥BC于點(diǎn)Q， PR⊥CD于點(diǎn)R，設(shè)矩形PQCR的面積為S， 則S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)． 又＋＝1(0≤m≤30)， ∴n＝20－m. ∴S＝(100－m)(80－20＋m) ＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)． ∴當(dāng)m＝5時(shí)，S取

10、最大值，這時(shí)＝5∶1. 所以當(dāng)矩形草坪的兩邊在BC、CD上，一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，且這個(gè)頂點(diǎn)分有向線段EF成5∶1時(shí)，草坪面積最大． [B組　因材施教·備選練習(xí)] 1．(2014年山師大附中模擬)函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny－1＝0(mn>0)上，則＋的最小值為________． 解析：∵函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象過定點(diǎn)A(1,1)． ∴把A(1,1)代入直線方程得m＋n＝1.(mn>0) ∴＋＝·(m＋n)＝2＋＋≥4.(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)取等號(hào))． ∴＋的最小值為4. 答案：4 2．(2014年銀川聯(lián)考)已知直線x＋2y＝2與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為________． 解析：由題意知A(2,0)，B(0,1)，所以線段AB的方程可表示為＋y＝1，x∈[0,2]，又動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在線段AB上，所以＋b＝1，a∈[0,2]，又＋b≥2，所以1≥2，解得0≤ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)＝b＝，即P時(shí)，ab取得最大值. 答案：