新編高考數(shù)學(xué)理科一輪【學(xué)案13】導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算含答案

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1、 第三章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 學(xué)案13　導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，理解函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念．了解曲線的切線的概念.2.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)y＝C (C為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的導(dǎo)數(shù)．熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(c，xm (m為有理數(shù))，sin x，cos x，ex，ax，ln x，logax的導(dǎo)數(shù))，能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù)． 自主梳理 1．函數(shù)的平均變化率 一般地，已知函數(shù)y＝f(x)，x0，x1是其定義

2、域內(nèi)不同的兩點，記Δx＝x1－x0，Δy＝y(tǒng)1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，則當(dāng)Δx≠0時，商________________________＝稱作函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均變化率． 2．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) (1)定義 函數(shù)y＝f(x)在點x0處的瞬時變化率______________通常稱為f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，并記作f′(x0)，即______________________________． (2)幾何意義 函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是過曲線y＝f(x)

3、上點(x0，f(x0))的____________． 導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的值域即為__________________． 3．函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點都是可導(dǎo)的，就說f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)也是開區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)，又稱作f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作____________． 4．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)＝C f′(x)＝______ f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝______ (α∈Q*) F(x)＝sin x f′(x)＝__________ F(x)＝cos x

4、 f′(x)＝____________ f(x)＝ax (a>0，a≠1) f′(x)＝____________(a>0，a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝logax(a>0，a≠1，且x>0) f′(x)＝__________(a>0，a≠1，且x>0) f(x)＝ln x f′(x)＝__________ 5．導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝__________； (2)[f(x)g(x)]′＝______________； (3)′＝______________ [g(x)≠0]． 6．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)函

5、數(shù)u＝φ(x)在點x處有導(dǎo)數(shù)ux′＝φ′(x)，函數(shù)y＝f(u)在點x處的對應(yīng)點u處有導(dǎo)數(shù)yu′＝f′(u)，則復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))在點x處有導(dǎo)數(shù)，且y′x＝y(tǒng)′u·u′x，或?qū)懽鱢′x(φ(x))＝f′(u)φ′(x)． 自我檢測 1．在曲線y＝x2＋1的圖象上取一點(1,2)及附近一點(1＋Δx，2＋Δy)，則為 (　　) A．Δx＋＋2 B．Δx－－2 C．Δx＋2 D．2＋Δx－ 2．設(shè)y＝x2·ex，則y′等于 (　　) A．x2ex＋2x B．2xex C．(2x＋x2)ex D．(x

6、＋x2)·ex 3．(20xx·全國Ⅱ)若曲線y＝x－在點(a，a－)處的切線與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a等于 (　　) A．64 B．32 C．16 D．8 4．(20xx·臨汾模擬)若函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，并且曲線y＝f(x)的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標(biāo)是 (　　) A．－ B．－ln 2 C. D．ln 2 5．(2009·湖北)已知函數(shù)f(x)＝f′()cos x＋sin x，則f()＝________. 探究點一　利

7、用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例1　利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)f(x)＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)； (2)f(x)＝. 變式遷移1　求函數(shù)y＝在x0到x0＋Δx之間的平均變化率，并求出其導(dǎo)函數(shù)． 探究點二　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 例2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝(1－)；(2)y＝； (3)y＝xex；(4)y＝tan x. 變式遷移2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝x2sin x；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝. 探究點三　求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例3　(20xx·莆田模擬)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝(1

8、＋sin x)2；(2)y＝； (3)y＝ln；(4)y＝xe1－cos x. 變式遷移3　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝； (2)y＝sin2； (3)y＝x. 探究點四　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 例4　已知曲線y＝x3＋. (1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程； (2)求曲線過點P(2,4)的切線方程； (3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程． 變式遷移4　求曲線f(x)＝x3－3x2＋2x過原點的切線方程． 1．準(zhǔn)確理解曲線的切線，需注意的兩個方面： (1)直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)特征，若直

9、線與曲線只有一個公共點，則直線不一定是曲線的切線，同樣，若直線是曲線的切線，則直線也可能與曲線有兩個或兩個以上的公共點． (2)曲線未必在其切線的“同側(cè)”，如曲線y＝x3在其過(0,0)點的切線y＝0的兩側(cè)． 2．曲線的切線的求法： 若已知曲線過點P(x0，y0)，求曲線過點P的切線則需分點P(x0，y0)是切點和不是切點兩種情況求解． (1)點P(x0，y0)是切點的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)當(dāng)點P(x0，y0)不是切點時可分以下幾步完成： 第一步：設(shè)出切點坐標(biāo)P′(x1，f(x1))； 第二步：寫出過P′(x1，f(x1))的切線方程為y－f(x1

10、)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：將點P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程求出x1； 第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點P(x0，y0)的切線方程． 3．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本初等函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)．在求導(dǎo)過程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，對于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)變形． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．已知函數(shù)f(x)＝2ln(3x)＋8x，則 的值為 (　　) A．1

11、0 B．－10 C．－20 D．20 2．(20xx·溫州調(diào)研)如圖是函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的部分圖象，則函數(shù)g(x)＝ln x＋f′(x)的零點所在的區(qū)間是 (　　) A. B．(1,2) C. D．(2,3) 3．若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為 (　　) A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 4．(20xx·遼寧)已知點P在曲線y＝上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的

12、取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 5．(20xx·珠海模擬)在下列四個函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對于區(qū)間(1,2)上的任意x1，x2 (x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|恒成立”的只有 (　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝|x| C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2 題號 1 2 3 4 5 答案

13、 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．一質(zhì)點沿直線運(yùn)動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的位移為s＝t3－t2＋2t，那么速度為零的時刻是__________． 7．若點P是曲線f(x)＝x2－ln x上任意一點，則點P到直線y＝x－2的最小距離為________． 8．設(shè)點P是曲線y＝－x2－3x－3上的一個動點，則以P為切點的切線中，斜率取得最小值時的切線方程是__________________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)求下列函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)． (1)f(x)＝＋，x0＝2； (2)f(x)＝，x0＝1. 10．(12分)(

14、20xx·保定模擬)有一個長度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動，求當(dāng)其下端離開墻腳1.4 m時，梯子上端下滑的速度． 11．(14分)(20xx·平頂山模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－aln x(a∈R)． (1)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝2處的切線方程為y＝x＋b，求a，b的值； (2)若函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍． 自主梳理 1. 2.（1）　　(2)切線的斜率　切線斜率的取值范圍　 3.y′或f′(x) 4．0　αxα－1　cos x?。璼in x　axln a　ex　　

15、5．(1)f′(x)±g′(x)　(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (3) 自我檢測 1．C　2.C　3.A　4.D 5．1 解析　∵f′(x)＝－f′()sin x＋cos x， ∴f′()＝－1. ∴f()＝1. 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　(1)用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)導(dǎo)數(shù)必須把分式中的分母Δx這一因式約掉才可能求出極限，所以目標(biāo)就是分子中出現(xiàn)Δx，從而分子分母相約分． (2)第(1)小題中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是處理根式問題常用的方法，有時用“分母有理化”，有時用“分子有理化”． (3)注意在某點處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)定義式的區(qū)別： ； ； (4

16、)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)的步驟為： ①求函數(shù)的增量Δy；②求平均變化率；③化簡取極限． 解　(1)＝ ＝ ＝ ＝ ＝， ∴ ＝－. (2)＝ ＝ ＝ ＝， ∴ ＝－. 變式遷移1　解　∵Δy＝－ ＝ ＝， ∴＝. ∴ ∴y'= ＝＝. 例2　解題導(dǎo)引　求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)．在求導(dǎo)過程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)公式．對于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)恒等變形． 解　(1)∵y＝(1－) ＝－＝， ∴y′＝ ＝. (2)y′＝′＝ ＝.

17、(3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)． (4)y′＝′＝ ＝＝. 變式遷移2　解　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2 ＝(ln 3＋1)(3e)x－2xln 2. (3)y′＝ ＝＝. 例3　解題導(dǎo)引　(1)求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的思路流程為： →→ (2)由復(fù)合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解這類問題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，一般

18、是從最外層開始，由外向內(nèi)，一層一層地分析，把復(fù)合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過程． 解　(1)y′＝[(1＋sin x)2]′ ＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′ ＝2(1＋sin x)·cos x ＝2cos x＋sin 2x. (2)y′＝′ (3)y′＝(ln)′ ＝·()′ ＝·(x2＋1)－·(x2＋1)′ ＝. 變式遷移3　解　(1)設(shè)u＝1－3x，y＝u－4. 則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝－4u－5·(－3) ＝. (2)設(shè)y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋， 則yx′＝y(tǒng)u′·uv′·vx′＝2u·cos v·2

19、＝4sin·cos ＝2sin. (3)y′＝(x)′ ＝x′·＋x()′ ＝＋＝. 例4　解題導(dǎo)引　(1)求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異；過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點． (2)求函數(shù)對應(yīng)曲線在某一點處的切線的斜率，只要求函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)即可． (3)解決“過某點的切線”問題，一般是設(shè)出切點坐標(biāo)解決． 解　(1)∵y′＝x2， ∴在點P(2,4)處的切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝2＝4. ∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為 y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. (2)設(shè)

20、曲線y＝x3＋與過點P(2,4)的切線相切于點A，則切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0＝x. ∴切線方程為y－＝x(x－x0)， 即y＝xx－x＋. ∵點P(2,4)在切線上，∴4＝2x－x＋， 即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0， ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， 解得x0＝－1或x0＝2， 故所求切線方程為4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. (3)設(shè)切點為(x0，y0)，則 切線的斜率為k＝x＝1，解得x0＝±1， 故切點為，(－1,1)． 故所求切線方程為y－＝x－1和y－1＝x＋1， 即3x－3y＋2＝0

21、和x－y＋2＝0. 變式遷移4　解　f′(x)＝3x2－6x＋2.設(shè)切線的斜率為k. (1)當(dāng)切點是原點時k＝f′(0)＝2，所以所求曲線的切線方程為y＝2x. (2)當(dāng)切點不是原點時，設(shè)切點是(x0，y0)，則有y0＝x－3x＋2x0，k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，① 又k＝＝x－3x0＋2，② 由①②得x0＝，k＝－. ∴所求曲線的切線方程為y＝－x. 綜上，曲線f(x)＝x3－3x2＋2x過原點的切線方程為 y＝2x或y＝－x. 課后練習(xí)區(qū) 1．C　2.C　3.A　4.D　5.A 6．1秒或2秒末 7. 8．12x＋3y＋8＝0 9．解　(1)∵f′(x

22、)＝′＝ ＝，∴f′(2)＝0.………………………………………………………………(6分) (2)∵f′(x)＝(x－)′－x′＋(ln x)′ ＝－x－－1＋，∴f′(1)＝－.……………………………………………………(12分) 10．解　設(shè)經(jīng)時間t秒梯子上端下滑s米， 則s＝5－， 當(dāng)下端移開1.4 m時，……………………………………………………………………(3分) t0＝＝，……………………………………………………………………………(5分) 又s′＝－(25－9t2)－·(－9·2t) ＝9t·，…………………………………………………………………………(10分) 所以s

23、′(t0)＝9×· ＝0.875 (m/s)． 故所求的梯子上端下滑的速度為0.875 m/s.……………………………………………(12分) 11．解　(1)因為f′(x)＝x－(x>0)，……………………………………………………(2分) 又f(x)在x＝2處的切線方程為y＝x＋b， 所以……………………………………………………………（5分） 解得a＝2，b＝－2ln 2.……………………………………………………………………(7分) (2)若函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)， 則f′(x)＝x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，……………………………………………(10分) 即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立． 所以有a≤1.……………………………………………………………………………(14分)