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高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類自測:立體幾何體中的向量方法
一、選擇題
1.若平面α,β的法向量分別為a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且α⊥β,則x的值為 ( )
A.10 B.-10
C. D
3、.-
2.已知=(1,5,-2), =(3,1,z),若 ⊥ , =(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則實(shí)數(shù)x,y,z分別為 ( )
A.,-,4 B.,-,4
C.,-2,4 D.4,,-15
3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1C1的中點(diǎn),則異面直線CE與BD所成的角為 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長
4、為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是 ( )
A.相交 B.平行
C.垂直 D.不能確定
5.如圖所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn),則直線EF和BC1所成的角是 ( )
A.45° B.60°
C.90° D.1
5、20°
6.如圖,平面ABCD⊥平面ABEF,四邊形ABCD是正方形,四邊形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中點(diǎn),則GB與平面AGC所成角的正弦值為 ( )
A. B.
C. D.
二、填空題
7.已知 =(2,2,1), =(4,5,3),則平面ABC的單位法向量是________.
8.在如右圖所示的正方體A1B1C1D1-ABCD中,E是C1D1的中點(diǎn),正方體的棱長為2,則異面直線DE與AC所成角的余弦值為________.
6、
9.正四棱錐S-ABCD中,O為頂點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角是________.
三、解答題
10.如圖,在△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°.
(1)證明:平面ADB⊥平面BDC;
(2)設(shè)E為BC的中點(diǎn),求 與 夾角的余弦值.
11.已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=,AB=1, M是PB的中點(diǎn).
(1)證明:平面PAD⊥平面PCD;
(2)
7、求AC與PB所成的角;
(3)求平面AMC與平面BMC所成二面角的余弦值.
12.如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD.四邊形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=,∠CDA=45°.
(1)求證:平面PAB⊥平面PAD;
(2)設(shè)AB=AP.
(ⅰ)若直線PB與平面PCD所成的角為30°,求線段AB的長;
(ⅱ)在線段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到點(diǎn)P、B、C、D的距離都相等?說明理由.
詳解答案
一、選擇題
1.解析:∵α⊥β,∴a·b=0
∴x=-10.
答案:B
2.解析: ⊥ ? · =3+5-2z=0,∴
8、z=4.
又BP⊥平面ABC,
∴·=x-1+5y+6=0,①
·=3x-3+y-3z=0,②
由①②得x=,y=-.
答案:B
3. 解析:以D點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)正方體棱長為1,則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為C(0,1,0),E(,,1),B(1,1,0),D(0,0,0),∴ =(,-,1), =(-1,-1,0).
∴ · =-++0=0.
∴ ⊥ ,即CE⊥BD.
答案:D
4. 解析:分別以C1B1,C1D1,C1C所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
∵A1M=AN=a,
∴M(a,a,),N(a,a, a).
∴ =(-,0,a).
又C1
9、 (0,0,0),D1(0,a,0),
∴ =(0,a,0).
∴ · =0,∴⊥ .
∵ 是平面BB1C1C的法向量,
且MN?平面BB1C1C,∴MN∥平面BB1C1C.
答案:B
5. 解析:以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC、BA、BB1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=BC=AA1=2,
則B(0,0,0),C1(2,0,2),E(0,1,0),F(xiàn)(0,0,1),∴ =(0,-1,1), =(2,0,2)
∴cos〈 , 〉=
==.∴EF與BC1所成角為60°.
答案:B
6. 解析:如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,
10、0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(xiàn)(a,0,0), =(a,a,0), =(0,2a,2a),
=(a,-a,0), =(0,0,2a),
設(shè)平面AGC的法向量為n1=(x1,y1,1),
由???
n1=(1,-1,1).
sinθ===.
答案:C
二、填空題
7.解析:設(shè)平面ABC的法向量n=(x,y,1),
則n⊥ 且n⊥ ,
即n· =0,且n·=0.
即即
∴n=(,-1,1),單位法向量為
±=±(,-,).
答案:(,-,)或(-,,-)
8.解析:分別以DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0
11、,2,0),E(0,1,2),A(2,0,0),
=(-2,2,0), =(0,1,2),
∴cos〈 , 〉=.
答案:
9.解析:如圖,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a,
則A(a,0,0),B(0, a,0),
C(-a,0,0),P(0,-,),
則 =(2a,0,0) =(-a,-,), =(a,a,0),
設(shè)平面PAC的法向量為n,可求得n=(0,1,1),
則cos〈 ,n〉===,
∴〈 ,n〉=60°.∴直線BC與平面PAC所成的角為90°-60°=30°.
答案:30°
三、解答題
10.解:(1)證明:∵
12、折起前AD是BC邊上的高,
∴當(dāng)△ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB.
又DB∩DC=D,
∴AD⊥平面BDC.
∵AD?平面ABD,
∴平面ABD⊥平面BDC.
(2)由∠BDC=90°及(1)知DA,DB,DC兩兩垂直,不妨設(shè)|DB|=1,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以 , , 所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,易得D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(,,0),
∴ =(,,-), =(1,0,0),
∴ 與 夾角的余弦值為
cos〈,〉===.
11.解:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD長為單位長度,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)
13、坐標(biāo)為A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).
(1)證明:因 =(0,0,1), =(0,1,0),故 · =0,所以AP⊥DC.
由題設(shè)知AD⊥DC,且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線,由此得DC⊥平面PAD.
又DC在平面PCD上,故面PAD⊥面PCD.
(2)因 =(1,1,0), =(0,2,-1),
故| |=,| |=, · =2,
所以cos< , >==.
(3)在MC上取一點(diǎn)N(x,y,z),則存在λ∈R,使 =λ ,
=(1-x,1-y,-z), =(1,0,-),
∴x=1-λ,y
14、=1,z=λ.
要使AN⊥MC,只需 · =0即x-z=0,
解得λ=.
可知當(dāng)λ=時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)為(,1,),
能使 · =0.
此時(shí),=(,1,), =(,-1,),
有 · =0
由 · =0, · =0得AN⊥MC,BN⊥MC.
所以∠ANB為所求二面角的平面角.
∵| |=,| |=, · =-.
∴cos〈, 〉==-.
∴平面AMC與平面BMC所成角的余弦值為-.
12.解:(1)證明:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,
AB?平面ABCD,
所以PA⊥AB.
又AB⊥AD,PA∩AD=A,
所以AB⊥平面PAD.
又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面P
15、AD.
(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz(如圖).
在平面ABCD內(nèi),作CE∥AB交AD于點(diǎn)E,
則CE⊥AD.
在Rt△CDE中,DE=CD·cos 45°=1,
CE=CD·sin 45°=1.
設(shè)AB=AP=t,則B(t,0,0),P(0,0, t).
由AB+AD=4得AD=4-t,
所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),=(-1,1,0), =(0,4-t,-t).
(ⅰ)設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
由n⊥ ,n⊥ ,得
取x=t,得平面PCD的一個(gè)法向量n=(t,t,4-t).
又 =(t
16、,0,-t),
故由直線PB與平面PCD所成的角為30°得
cos 60°=||,
即=,
解得t=或t=4(舍去,因?yàn)锳D=4-t>0),
所以AB=.
(ⅱ)假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到P,B,C,D的距離都相等,
設(shè)G(0,m,0)(其中0≤m≤4-t),
則 =(1,3-t-m,0),
=(0,4-t-m,0),
=(0,-m,t).
由| |=| |得
12+(3-t-m)2
=(4-t-m)2,即t=3-m;(1)
由| |=| |得(4-t-m)2=m2+t2.(2)
由(1)、(2)消去t,化簡得m2-3m+4=0.(3)
由于方程(3)沒有實(shí)數(shù)根,所以在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到點(diǎn)P、C、D的距離都相等.從而,在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到點(diǎn)P、B、C、D的距離都相等.