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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
第1講 平面向量的概念及其線(xiàn)性運(yùn)算
一、選擇題
1. 已知兩個(gè)非零向量a,b滿(mǎn)足|a+b|=|ab|,則下面結(jié)論正確的是( )
A.a∥b B. a⊥b
C.{0,1,3} D.a+b=ab
答案 B
2.對(duì)于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析 若a+b=
2、0,則a=-b.
∴a∥b;
若a∥b,則a=λb,a+b=0不一定成立.
答案 A
3.已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),D為BC邊的中點(diǎn),且2++=0,那么 ( ).
A.= B.=2
C.=3 D.2=
解析 由2++=0可知,O是底邊BC上的中線(xiàn)AD的中點(diǎn),故=.
答案 A
4.設(shè)A1,A2,A3,A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn),若=λ(λ∈R),=μ(μ∈R),且+=2,則稱(chēng)A3,A4調(diào)和分割A(yù)1,A2.已知平面上的點(diǎn)C,D調(diào)和分割點(diǎn)A,B,則下列說(shuō)法正確的是 ( ).
A.C可能是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)
B.D可能是
3、線(xiàn)段AB的中點(diǎn)
C.C、D可能同時(shí)在線(xiàn)段AB上
D.C、D不可能同時(shí)在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上
解析 若A成立,則λ=,而=0,不可能;同理B也不可能;若C成立,則0<λ<1,且0<μ<1,+>2,與已知矛盾;若C,D同時(shí)在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),λ>1,且μ>1,+<2,與已知矛盾,故C,D不可能同時(shí)在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,故D正確.
答案 D
5.已知A,B,C 是平面上不共線(xiàn)的三點(diǎn),O是△ABC的重心,動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足=,則點(diǎn)P一定為三角形ABC的 ( ).
A.AB邊中線(xiàn)的中點(diǎn)
B.AB邊中線(xiàn)的三等分點(diǎn)(非重心)
C.重心
D.AB邊的中點(diǎn)
解析 設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則+=,∴=
4、(+2)=+,即3=+2,也就是=2,∴P,M,C三點(diǎn)共線(xiàn),且P是CM上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).
答案 B
6.在四邊形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,則四邊形ABCD的形狀是( ).
A.矩形 B.平行四邊形
C.梯形 D.以上都不對(duì)
解析 由已知=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2.
∴∥,又與不平行,
∴四邊形ABCD是梯形.
答案 C
二、填空題
7.設(shè)a,b是兩個(gè)不共線(xiàn)向量,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn),則實(shí)數(shù)p的值為_(kāi)____
5、___.
解析 ∵=+=2a-b,又A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn),
∴存在實(shí)數(shù)λ,使=λ.
即∴p=-1.
答案?。?
8. 如圖,在矩形ABCD中,||=1,||=2,設(shè)=a,=b,=c,則|a+b+c|=________.
解析 根據(jù)向量的三角形法則有|a+b+c|=|++|=|++|=|+|=2||=4.
答案 4
9.若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿(mǎn)足|-|=|+-2|,則△ABC的形狀為_(kāi)_______.
解析?。?=-+-=+,
-==-,∴|+|=|-|.
故A,B,C為矩形的三個(gè)頂點(diǎn),△ABC為直角三角形.
答案 直角三角形
10.若M為△ABC內(nèi)一點(diǎn),
6、且滿(mǎn)足=+,則△ABM與△ABC的面積之比為_(kāi)_______.
解析 由題知B、M、C三點(diǎn)共線(xiàn),設(shè)=λ,則:-=λ(-),
∴=(1-λ)+λ,
∴λ=,
∴=.
答案
三、解答題
11.如圖所示,△ABC中,=,DE∥BC交AC于E,AM是BC邊上的中線(xiàn),交DE于N.設(shè)=a,=b,用a,b分別表示向量,,,,,.
解?。絙,=b-a,=(b-a),=(b-a),
=(a+b),=(a+b).
12. (1)設(shè)兩個(gè)非零向量e1,e2不共線(xiàn),如果=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2,求證:A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn).
(2)設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共
7、線(xiàn)的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn),求k的值.
(1)證明 因?yàn)椋?e1+23e2,=4e1-8e2,
所以=+=10e1+15e2.
又因?yàn)椋?e1+3e2,得=5,即∥,
又因?yàn)?,有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn).
(2)解 D=-=e1+3e2-2e1+e2=4e2-e1,
=2e1+ke2,
若A,B,D共線(xiàn),則∥D,
設(shè)D=λ,所以?k=-8.
13. 如圖所示,在△ABC中,在AC上取一點(diǎn)N,使得AN=AC,在AB上取一點(diǎn)M,使得AM=AB,在BN的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)P,使得NP=BN,在CM的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)Q,使得=λ
8、時(shí),=,試確定λ的值.
解 ∵=-=(-)=(+)=,=-=+λ,
又∵=,∴+λ=,
即λ=,∴λ=.
14.已知O,A,B三點(diǎn)不共線(xiàn),且=m+n,(m,n∈R).
(1)若m+n=1,求證:A,P,B三點(diǎn)共線(xiàn);
(2)若A,P,B三點(diǎn)共線(xiàn),求證:m+n=1.
證明 (1)m,n∈R,且m+n=1,
∴=m+n=m+(1-m),
即-=m(-).
∴=m,而≠0,且m∈R.
故與共線(xiàn),又,有公共點(diǎn)B.
∴A,P,B三點(diǎn)共線(xiàn).
(2)若A,P,B三點(diǎn)共線(xiàn),則與共線(xiàn),故存在實(shí)數(shù)λ,使=λ,∴-=λ(-).
即=λ+(1-λ).
由=m+n.
故m+n=λ+(1-λ).
又O,A,B不共線(xiàn),∴,不共線(xiàn).
由平面向量基本定理得
∴m+n=1.