新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第12章學(xué)案1

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 總體分布及特征數(shù)的估計(jì) 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點(diǎn).2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并給出合理的解釋.4.會用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想.5.會用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題． 自主梳理 1．在頻率分布直方圖中，縱軸表示____________________，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用___

2、_____________表示，所有長方形面積之和________． 2．作頻率分布直方圖的步驟 (1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)； (2)決定組距與組數(shù)； (3)將數(shù)據(jù)分組； (4)列頻率分布表； (5)畫頻率分布直方圖． 3．頻率分布折線圖和總體密度曲線 (1)頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的________順次連結(jié)起來，就得頻率分布折線圖，簡稱頻率折線圖． (2)總體密度曲線：如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，那么相應(yīng)的頻率折線圖將趨于一條光滑曲線，我們稱這條光滑曲線為總體分布的密度曲線． 4．當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，莖葉

3、圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，一是統(tǒng)計(jì)圖上沒有原始數(shù)據(jù)丟失，二是方便記錄與表示，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)很多時(shí)，莖葉圖的效果就不是很好了． 5．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) (1)在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)________的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． (2)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在________位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)． (3)如果有n個(gè)數(shù)a1，a2，……，an，那么＝____________________叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)． 6．標(biāo)準(zhǔn)差和方差 (1)標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種__________． (2)標(biāo)準(zhǔn)差：s＝_____________________

4、_________________________________________ ________________________________________________________________________. (3)方差：s2＝_________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ (xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本平均數(shù))． 自我檢測 1．在抽

5、查產(chǎn)品的尺寸過程中，將其尺寸分成若干組，[a，b)是其中的一組，抽查出的個(gè)體在該組上的頻率為m，該組在頻率分布直方圖的高為h，則|a－b|＝________. 2．(2010·福建改編)若某校高一年級8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是________和________． 8 9 7 9 3 1 6 4 0 2 3.(2010·濱州一模)在樣本的頻率分布直方圖中，共有11個(gè)小長方形，若中間一個(gè)小長方形的面積等于其他10個(gè)小長方形的面積和的，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為

6、________． 4．(2010·山東改編)樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為______________． 5．(2010·江蘇)某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽測了100根棉花纖維的長度(棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo))，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的100根中，有______根棉花纖維的長度小于20 mm. 探究點(diǎn)一　頻率分布直方圖 例1　(2010·福州調(diào)研)如圖是某市有關(guān)部門根據(jù)該市干部的月收入情況，作抽樣調(diào)查后畫出的樣本頻率分布直方圖，已知圖中第一組的頻數(shù)為

7、4 000，請根據(jù)該圖提供的信息解答下列問題：(圖中每組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在[1 000,1 500))． (1)求樣本中月收入在[2 500,3 500)的人數(shù)； (2)為了分析干部的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須從樣本的各組中按月收入再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步分析，則月收入在[1 500,2 000)的這段應(yīng)抽多少人？ (3)試估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)． 變式遷移1　為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但

8、知道前4組頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為b，則a，b值分別為________和________． 探究點(diǎn)二　用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征 例2　甲、乙、丙三名射箭運(yùn)動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)绫硭荆? 甲的成績 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 5 5 5 5 乙的成績 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 6 4 4 6 丙的成績 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 4 6 6 4 s1、s2、s

9、3分別表示甲、乙、丙三名運(yùn)動員這次測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則有s1，s2，s3的大小關(guān)系為______________，三名運(yùn)動員中________成績最穩(wěn)定． 變式遷移2　甲、乙兩名射擊運(yùn)動員參加某大型運(yùn)動會的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))： 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是________． 探究點(diǎn)三　用莖葉圖分析數(shù)據(jù) 例3　隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測量他們的身高(單位：cm)，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖． (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均身高較高；

10、 (2)計(jì)算甲班的樣本方差； (3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173 cm的同學(xué)，求身高為176 cm的同學(xué)被抽中的概率． 變式遷移3　(2010·天津漢沽模擬)某班甲、乙兩學(xué)生的高考備考成績?nèi)缦拢? 甲：512　554　528　549　536　556　534　541　522　538 乙：515　558　521　543　532　559　536　548　527　531 (1)用莖葉圖表示兩學(xué)生的成績； (2)分別求兩學(xué)生成績的中位數(shù)和平均分． 1．幾種表示頻率分布的方法的優(yōu)點(diǎn)與不足：

11、 (1)頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，但不夠直觀、形象，分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢不太方便． (2)頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到在分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式．但從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，也就是說，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了． (3)頻率分布折線圖的優(yōu)點(diǎn)是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢， 如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小，那么折線圖就趨向于總體分布的密度曲線． (4)用莖葉圖優(yōu)點(diǎn)是原有信息不會抹掉，能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)，莖葉圖就顯得不太方便了． 2．標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了

12、一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2010·陜西改編)如圖，樣本A和B分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為A和B，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為sA和sB，則A________B，sA________sB(填大小關(guān)系)． 2．(2010·寧波期末)10名工人某天生產(chǎn)同一種零件，生產(chǎn)的件數(shù)

13、分別是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則a＝________，b＝________，c＝________. 3．(2010·浙江金華十校3月模擬)為了了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后五組頻數(shù)和為62，設(shè)視力在4.6～4.8之間的學(xué)生數(shù)為a，最大頻率為0.32，則a的值為________． 4．下圖是某學(xué)校舉行的運(yùn)動會上，七位評委為某體操項(xiàng)目打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為___

14、_____和________． 5．(2011·四川改編)有一個(gè)容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： [11.5,15.5)　2　 [15.5,19.5)　4　 [19.5,23.5)　9 [23.5,27.5)　18　[27.5,31.5)　11　[31.5,35.5)　12 [35.5,39.5)　7　 [39.5,43.5)　3 根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)，數(shù)據(jù)落在[31.5,43.5)的概率約是________． 6．(2010·天津)甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個(gè)數(shù)用莖葉圖表示如下圖，中間一列的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)，則這

15、10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為______和__________________________________________． 7．(2010·福建)將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n＝________. 8．(2011·江蘇)某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為10,6,8,5,6，則該組數(shù)據(jù)的方差s2＝________. 二、解答題(共42分) 9．(14分)甲、乙兩人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖所示． (1)分別求出

16、兩人得分的平均數(shù)與方差； (2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價(jià)． 10．(14分)(2010·湖北)為了了解一個(gè)小水庫中養(yǎng)殖的魚的有關(guān)情況，從這個(gè)水庫中多個(gè)不同位置捕撈出100條魚，稱得每條魚的質(zhì)量(單位：kg)，并將所得數(shù)據(jù)分組，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)． (1)在下面表格中填寫相應(yīng)的頻率； 分組 頻率 (2)估計(jì)數(shù)據(jù)落在中的概率為多少； (3)將上面捕撈的100條魚分別作一記號后再放回水庫．幾天后再從水庫的多處不同位置捕撈出120條魚，其中帶有記號的魚有

17、6條．請根據(jù)這一情況來估計(jì)該水庫中魚的總條數(shù)． 11．(14分)(2010·安徽)某市2010年4月1日－4月30日對空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下(主要污染物為可吸入顆粒物)： 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95， 91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)完成頻率分布表． (2)作出頻率分布直方圖． (3)根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在0～50之間時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在51～100之間時(shí)，為良；在101～150之間時(shí)，為輕微污

18、染；在151～200之間時(shí)，為輕度污染． 請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn)，對該市的空氣質(zhì)量給出一個(gè)簡短評價(jià)． 學(xué)案55　總體分布及特征數(shù)的估計(jì) 答案 自主梳理 1．頻率與組距的比值　小長方形的面積　等于1　3.(1)中點(diǎn)　5.(1)最多　(2)中間　(3)　6.(1)平均距離　(2)　(3)[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] 自我檢測 1. 解析　在頻率分布直方圖中橫軸是組距，高為， 所以|a－b|＝. 2．91.5　91.5 解析　將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，得 87,89,90,91,92,93,94,96. 故平

19、均數(shù)＝＝91.5， 中位數(shù)為＝91.5. 3．32 解析　∵中間一個(gè)占總面積的，即＝， ∴x＝32. 4．2 解析　由樣本平均值為1，知(a＋0＋1＋2＋3)＝1，故a＝－1. ∴樣本方差s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝(4＋1＋0＋1＋4)＝2. 5．30 解析　在頻率分布直方圖中小于20 mm的頻率是0.01×5＋0.01×5＋0.04×5＝0.3，故小于20 mm的棉花纖維的根數(shù)是0.3×100＝30(根)． 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　(1)解關(guān)于圖形信息題的關(guān)鍵是正確理解各種統(tǒng)計(jì)圖表中各個(gè)量的含義，靈活運(yùn)用這些信

20、息和數(shù)據(jù)去發(fā)現(xiàn)結(jié)論． (2)在頻率分布直方圖中，最高矩形的中點(diǎn)對應(yīng)值是眾數(shù)；而中位數(shù)的左右兩邊的直方圖面積相等；平均數(shù)是直方圖的“重心”． 解　(1)∵月收入在[1 000,1 500)的概率為0.000 8×500＝0.4，且有4 000人， ∴樣本的容量n＝＝10 000； 月收入在[1 500,2 000)的頻率為0.000 4×500＝0.2； 月收入在[2 000,2 500)的頻率為0.000 3×500＝0.15； 月收入在[3 500,4 000)的頻率為0.000 1×500＝0.05. ∴月收入在[2 500,3 500)的頻率為 1－(0.4＋0.2＋0.

21、15＋0.05)＝0.2. ∴樣本中月收入在[2 500,3 500)的人數(shù)為 0.2×10 000＝2 000. (2)∵月收入在[1 500,2 000)的人數(shù)為 0.2×10 000＝2 000， ∴再從10 000人中用分層抽樣方法抽出100人， 則月收入在[1 500,2 000)的這段應(yīng)抽取100×＝20(人)． (3)由(1)知月收入在[1 000,2 000)的頻率為0.4＋0.2＝0.6>0.5， ∴樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 1 500＋＝1 500＋250＝1 750(元)． 變式遷移1　0.27　78 解析　由頻率分布直方圖知組距為0.1. 4.3～4.

22、4間的頻數(shù)為100×0.1×0.1＝1. 4.4～4.5間的頻數(shù)為100×0.1×0.3＝3. 又前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，∴公比為3. 從而4.6～4.7間的頻數(shù)最大，且為1×33＝27. ∴a＝0.27. 根據(jù)后6組頻數(shù)成等差數(shù)列，且共有100－13＝87(人)． 設(shè)公差為d，則6×27＋d＝87. ∴d＝－5，從而b＝4×27＋×(－5)＝78. 例2　s2>s1>s3　丙 解析　由已知可得甲、乙、丙的平均成績均為8.5. 方法一　∵s＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]， ∴s1＝＝. 同理s2＝，s3＝，∴s2>s1>s3. 丙成績最穩(wěn)定． 方

23、法二　∵s＝(x＋x＋…＋x)－2， ∴s＝(5×72＋5×82＋5×92＋5×102)－8.52＝73.5－72.25＝1.25＝， ∴s1＝.同理s2＝，s3＝， ∴s2>s1>s3.丙成績最穩(wěn)定． 變式遷移2　甲 解析　甲＝乙＝9，s＝[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝， s＝[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝>s，故甲更穩(wěn)定． 例3　解題導(dǎo)引　莖葉圖在樣本數(shù)據(jù)較少，較為集中且位數(shù)不多時(shí)比較適用．由于它較好地保留了原始數(shù)據(jù)，所以可以幫助我們分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布，還可以用來分析樣本數(shù)據(jù)

24、的一些數(shù)字特征．但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時(shí)，莖葉圖就顯得不太方便了．因?yàn)閿?shù)據(jù)較多時(shí)，枝葉就會很長，需要占據(jù)較多的空間． 解　(1)由莖葉圖可知：甲班身高集中于160～179之間，而乙班身高集中于170～180之間．因此乙班平均身高高于甲班． (2)＝＝170， 甲班的樣本方差為 [(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2. (3)設(shè)身高為176 cm的同學(xué)被抽中的事件為A， 從乙班10名同學(xué)中抽中兩名身

25、高不低于173 cm的同學(xué)有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10個(gè)基本事件，而事件A含有4個(gè)基本事件，∴P(A)＝＝. 變式遷移3　解　(1)兩學(xué)生成績的莖葉圖如圖所示． (2)將甲、乙兩學(xué)生的成績從小到大排列為： 甲：512　522　528　534　536　538　541　549　554　556 乙：515　521　527　531　532　536　543　548　558　559 從以上排列可知甲學(xué)生成績的中位數(shù)

26、為 ＝537. 乙學(xué)生成績的中位數(shù)為＝534. 甲學(xué)生成績的平均分為 500＋＝537， 乙學(xué)生成績的平均分為 500＋＝537. 課后練習(xí)區(qū) 1．<　> 解析　A中的數(shù)據(jù)都不大于B中的數(shù)據(jù)，所以AsB. 2．14.7　15　17 3．54 解析　前兩組中的頻數(shù)為100×(0.05＋0.11)＝16. ∵后五組頻數(shù)和為62，∴前三組為38. ∴第三組為22.又最大頻率為0.32的最大頻數(shù)為0.32×100＝32，∴a＝22＋32＝54. 4．85　1.6 解析　去掉最高分93，最低分79， 平均數(shù)為(84＋8

27、4＋86＋84＋87)＝85， 方差s2＝[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝＝1.6. 5. 解析　由條件可知，落在[31.5,43.5)的數(shù)據(jù)有12＋7＋3＝22(個(gè))，故所求概率約為＝. 6．24　23 解析　甲＝(10×2＋20×5＋30×3＋17＋6＋7)＝24， 乙＝(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23. 7．60 解析　∵第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1，∴前三組頻數(shù)為·n＝27，故n＝60. 8．3.2 解析?。剑?， ∴s2＝[(10－7)2＋(6－7)2＋(

28、8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝＝3.2. 9．解　(1)甲、乙兩人五次測試的成績分別為： 甲　10分　13分　12分　14分　16分 乙　13分　14分　12分　12分　14分 甲、乙兩人的平均成績甲＝乙，都是13分，(6分) s＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(12分) (2)由s>s，可知乙的成績較穩(wěn)定． 從折線圖看，甲的成績基本上呈上升狀態(tài)，而乙的成績在平均線上下波動，可知甲的成績在不斷

29、提高，而乙的成績則無明顯提高．(14分) 10．解　(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，頻率＝組距×(頻率/組距)，故可得下表： 分組 頻率 0.05 0.20 0.28 0.30 0.15 0.02 (6分) (2)因?yàn)?.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以數(shù)據(jù)落在[1.15,1.30)中的概率約為0.47.(10分) (3)因?yàn)椋? 000， 所以水庫中魚的總條數(shù)約為2 000.(14分) 11．解　(1)頻率分布表： 分組 頻數(shù) 頻率 [41,51) 2 [51,61) 1 [61,71) 4 [71,81) 6 [81,91) 10 [91,101) 5 [101,111] 2 (6分) (2)頻率分布直方圖如圖所示． (10分) (3)答對下述兩條中的一條即可： ①該市有一個(gè)月中空氣污染指數(shù)有2天處于優(yōu)的水平，占當(dāng)月天數(shù)的；有26天處于良的水平，占當(dāng)月天數(shù)的；處于優(yōu)或良的天數(shù)為28，占當(dāng)月天數(shù)的.說明該市空氣質(zhì)量基本良好． ②輕微污染有2天，占當(dāng)月天數(shù)的；污染指數(shù)在80以上的接近輕微污染的天數(shù)15，加上處于輕微污染的天數(shù)2，占當(dāng)月天數(shù)的，超過50%；說明該市空氣質(zhì)量有待進(jìn)一步改善．(14分)