新編高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前回扣10 概率與統(tǒng)計(jì)講學(xué)案 理

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 回扣10 概率與統(tǒng)計(jì) 1.牢記概念與公式 (1)概率的計(jì)算公式 ①古典概型的概率計(jì)算公式 P(A)=; ②互斥事件的概率計(jì)算公式 P(A∪B)=P(A)+P(B); ③對(duì)立事件的概率計(jì)算公式 P()=1-P(A); ④幾何概型的概率計(jì)算公式 P(A)=. (2)抽樣方法 簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣. ①從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本,則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為; ②分層抽樣實(shí)際上就是按比例抽樣,即按各層個(gè)體數(shù)占總體的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量. (3)統(tǒng)計(jì)中四個(gè)數(shù)據(jù)特征 ①眾數(shù):在樣本數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù); ②

2、中位數(shù):在樣本數(shù)據(jù)中,將數(shù)據(jù)按大小排列,位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù),就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù); ③平均數(shù):樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù), 即=(x1+x2+…xn); ④方差與標(biāo)準(zhǔn)差 方差:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. 標(biāo)準(zhǔn)差: s=. (4)八組公式 ①離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì) (ⅰ)pi≥0(i=1,2,…,n);(ⅱ)p1+p2+…+pn=1. ②期望公式 E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn. ③期望的性質(zhì) (ⅰ)E(aX+b)=aE(X)+b; (ⅱ)若X~B(n,p),則E(X)=np; (ⅲ)若

3、X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p. ④方差公式 D(X)=[x1-E(X)]2·p1+[x2-E(X)]2·p2+…+[xn-E(X)]2·pn,標(biāo)準(zhǔn)差為. ⑤方差的性質(zhì) (ⅰ)D(aX+b)=a2D(X); (ⅱ)若X~B(n,p),則D(X)=np(1-p); (ⅲ)若X服從兩點(diǎn)分布,則D(X)=p(1-p). ⑥獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式 P(AB)=P(A)P(B). ⑦獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式 Pn(k)=Cpk(1-p)n-k. ⑧條件概率公式 P(B|A)=. 2.活用定理與結(jié)論 (1)直方圖的三個(gè)結(jié)論 ①小長方形的面積=組距×=頻率; ②各小

4、長方形的面積之和等于1; ③小長方形的高=,所有小長方形高的和為. (2)線性回歸方程=x+一定過樣本點(diǎn)的中心(,). (3)利用隨機(jī)變量K2=來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).如果K2的觀測值k越大,說明“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的可能性越大. (4)如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則記為X~N(μ,σ2).滿足正態(tài)分布的三個(gè)基本概率的值是:①P(μ-σ

5、生的概率,再求和. 2.正確區(qū)別互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系:對(duì)立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情況,但互斥事件不一定是對(duì)立事件,“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件. 3.混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖,誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率,導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯(cuò). 4.要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別 (1)在P(A|B)中,事件A,B發(fā)生有時(shí)間上的差異,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同時(shí)發(fā)生. (2)樣本空間不同,在P(A|B)中,事件B成為樣本空間;在P(AB)中,樣本空間仍為Ω,因而有P(A|B)≥P(AB). 5.易忘判定隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布,盲目使

6、用二項(xiàng)分布的期望和方差公式計(jì)算致誤. 1.某學(xué)校有男學(xué)生400名,女學(xué)生600名.為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異,擬從全體學(xué)生中抽取男學(xué)生40名,女學(xué)生60名進(jìn)行調(diào)查,則這種抽樣方法是(  ) A.抽簽法 B.隨機(jī)數(shù)法 C.系統(tǒng)抽樣法 D.分層抽樣法 答案 D 解析 總體由男生和女生組成,比例為400∶600=2∶3,所抽取的比例也是2∶3,故擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,采用的抽樣方法是分層抽樣法,故選D. 2.200輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示,則時(shí)速的眾數(shù),中位數(shù)的估計(jì)值為(  ) A.62,62.5

7、B.65,62 C.65,63.5 D.65,65 答案 D 解析 選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點(diǎn)即為眾數(shù);求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)即為中位數(shù).最高的矩形為第三個(gè)矩形,所以時(shí)速的眾數(shù)為65;前兩個(gè)矩形的面積為(0.01+0.02)×10=0.3,由于0.5-0.3=0.2,則×10=5,所以中位數(shù)為60+5=65.故選D. 3.同時(shí)投擲兩枚硬幣一次,那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是(  ) A.“至少有1個(gè)正面朝上”,“都是反面朝上” B.“至少有1個(gè)正面朝上”,“至少有1個(gè)反面朝上” C.“恰有1個(gè)正面朝上”,“恰有2個(gè)正面朝上” D.“至少有

8、1個(gè)反面朝上”,“都是反面朝上” 答案 C 解析 同時(shí)投擲兩枚硬幣一次,在A中,“至少有1個(gè)正面朝上”和“都是反面朝上”不能同時(shí)發(fā)生,且“至少有1個(gè)正面朝上”不發(fā)生時(shí),“都是反面朝上”一定發(fā)生,故A中兩個(gè)事件是對(duì)立事件;在B中,當(dāng)兩枚硬幣恰好一枚正面朝上,一枚反面朝上時(shí),“至少有1個(gè)正面朝上”,“至少有1個(gè)反面朝上”能同時(shí)發(fā)生,故B中兩個(gè)事件不是互斥事件;在C中,“恰有1個(gè)正面朝上”,“恰有2個(gè)正面朝上”不能同時(shí)發(fā)生,且其中一個(gè)不發(fā)生時(shí),另一個(gè)有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生,故C中的兩個(gè)事件是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件;在D中,當(dāng)兩枚硬幣同時(shí)反面朝上時(shí),“至少有1個(gè)反面朝上”,“都是反面朝上”能同時(shí)

9、發(fā)生,故D中兩個(gè)事件不是互斥事件.故選C. 4.采用系統(tǒng)抽樣方法從學(xué)號(hào)為1到50的50名學(xué)生中選取5名參加測試,,則所選5名學(xué)生的學(xué)號(hào)可能是(  ) A.1,2,3,4,5 B.5,26,27,38,49 C.2,4,6,8,10 D.5,15,25,35,45 答案 D 解析 采用系統(tǒng)抽樣的方法時(shí),即將總體分成均衡的若干部分,分段的間隔要求相等,間隔一般為總體的個(gè)數(shù)除以樣本容量,據(jù)此即可得到答案.采用系統(tǒng)抽樣間隔為=10,只有D答案中的編號(hào)間隔為10.故選D. 5.道路交通法規(guī)定:行人和車輛路過十字路口時(shí)必須按照交通信號(hào)指示通行,綠燈行,紅燈停,遇到黃燈時(shí),如已超過停車線

10、須繼續(xù)行進(jìn),某十字路口的交通信號(hào)燈設(shè)置時(shí)間是:綠燈48秒,紅燈47秒,黃燈5秒,小張是個(gè)特別守法的人,只有遇到綠燈才通過,則他路過該路口不等待的概率為(  ) A.0.95 B.0.05 C.0.47 D.0.48 答案 D 解析 由題意得小張路過該路口不等待的概率為=0.48. 6.A是圓上固定的一定點(diǎn),在圓上其他位置任取一點(diǎn)B,連接A,B兩點(diǎn),它是一條弦,它的長度大于等于半徑長度的概率為(  ) A. B. C. D. 答案 A 解析 在圓上其他位置任取一點(diǎn)B,設(shè)圓的半徑為R,則B點(diǎn)位置所有情況對(duì)應(yīng)的弧長為圓的周長2πR,其中滿足條件AB的長度大于等于半徑長度的對(duì)

11、應(yīng)的弧長為·2πR,則弦AB的長度大于等于半徑長度的概率P==.故選A. 7.有5張卡片,上面分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5.從這5張卡片中隨機(jī)抽取2張,那么取出的2張卡片上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為(  ) A.B. C. D. 答案 C 解析 從5張卡片中隨機(jī)抽2張的結(jié)果有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10種,2張卡片上的數(shù)字之積為偶數(shù)有7種,故所求概率P=. 8.在如圖所示的電路圖中,開關(guān)a,b,c閉合與斷開的概率都是,且是相互獨(dú)立的,則燈亮的概率是(  ) A.B. C.D. 答

12、案 B 解析 設(shè)開關(guān)a,b,c閉合的事件分別為A,B,C,則燈亮事件D=ABC∪AB∪AC,且A,B,C相互獨(dú)立,ABC,AB,AC互斥,所以P(D)=P(ABC∪AB∪AC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)=××+××+××=,故選B. 9.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表 收入x(萬元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(萬元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得線性回歸方程=x+,其中=0.76,=-.據(jù)此估計(jì),該社區(qū)一

13、戶年收入為15萬元的家庭的年支出為(  ) A.11.4萬元 B.11.8萬元 C.12.0萬元 D.12.2萬元 答案 B 解析 由題意知,==10, ==8, ∴=8-0.76×10=0.4, ∴當(dāng)x=15時(shí),=0.76×15+0.4=11.8(萬元). 10.設(shè)X~N(1,σ2),其正態(tài)分布密度曲線(隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=95.44%)如圖所示,且P(X≥3)=0.022 8,那么向正方形OABC中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為(  ) A.6 03

14、8 B.6 587 C.7 028 D.7 539 答案 B 解析 由題意知,P(0

15、為. 12.樣本容量為1 000的頻率分布直方圖如圖所示,則樣本數(shù)據(jù)落在[6,14)內(nèi)的頻數(shù)為________. 答案 680 解析 根據(jù)給定的頻率分布直方圖可知,4×(0.02+0.08+x+0.03+0.03)=1?x=0.09,則在[6,14)之間的頻率為4×(0.08+0.09)=0.68,所以在[6,14)之間的頻數(shù)為1 000×0.68=680. 13.已知x,y的取值如表所示. x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 從散點(diǎn)圖分析,y與x線性相關(guān),且=0.95x+,則=________. 答案 2.6 解析 根據(jù)表中數(shù)據(jù)得

16、=2,=4.5,又由線性回歸方程知,其斜率為0.95,∴截距=4.5-0.95×2=2.6. 14.某商場在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動(dòng),凡在商場消費(fèi)滿100元者即可參加射擊贏玩具活動(dòng),具體規(guī)則如下:每人最多可射擊3次,一旦擊中,則可獲獎(jiǎng)且不再繼續(xù)射擊,否則一直射擊到3次為止.設(shè)甲每次擊中的概率為p(p≠0),射擊次數(shù)為η,若η的期望E(η)>,則p的取值范圍是________. 答案  解析 由已知得P(η=1)=p,P(η=2)=(1-p)p, P(η=3)=(1-p)2,則E(η)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>,解得p>或p<, 又p∈(0,1),所以p∈.

17、 15.某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表. 工人編號(hào)年齡 工人編號(hào)年齡 工人編號(hào)年齡 工人編號(hào)年齡  1  40  10  36  19  27  28  34  2  44  11  31  20  43  29  39  3  40  12  38  21  41  30  43  4  41  13  39  22  37  31  38  5  33  14  43  23  34  32  42  6  40  15  45  24  42  33  53  7  45  16  39  25  37  34  37

18、 8  42  17  38  26  44  35  49  9  43  18  36  27  42  36  39 (1)按編號(hào)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本,且在第一分段里用隨機(jī)抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44,列出樣本的年齡數(shù)據(jù); (2)計(jì)算(1)中樣本的平均值和方差s2; (3)求這36名工人中年齡在(-s,+s)內(nèi)的人數(shù)所占的百分比. 解 (1)根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法,抽取容量為9的樣本,應(yīng)分為9組,每組4人. 由題意可知,抽取的樣本編號(hào)依次為2,6,10,14,18,22,26,30,34, 對(duì)應(yīng)樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為44,40,36,43,3

19、6,37,44,43,37. (2)由(1), 得==40, s2=[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=. (3)由(2),得=40,s=, ∴-s=36,+s=43, 由表可知,這36名工人中年齡在(-s,+s)內(nèi)的共有23人, 所占的百分比為×100%≈63.89%. 16.某市文化館在春節(jié)期間舉行高中生“藍(lán)天海洋杯”象棋比賽,規(guī)則如下:兩名選手比賽時(shí),每局勝者得1分,負(fù)者得0分,比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)結(jié)束.假設(shè)選手甲與選手乙比賽時(shí),甲每局獲勝的概率皆為,且各局比賽勝負(fù)互不影響. (1)求比賽進(jìn)行4局結(jié)束,且乙比甲多得2分的概率; (2)設(shè)ξ表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù),求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望. 解 (1)由題意知,乙每局獲勝的概率皆為1-=. 比賽進(jìn)行4局結(jié)束,且乙比甲多得2分即前兩局乙勝一局,3,4局連勝,則P=C····=. (2)由題意知,ξ的取值為2,4,6, 則P(ξ=2)=2+2=, P(ξ=4)=C···2+C···2=, P(ξ=6)=2=, 所以隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 2 4 6 P 則E(ξ)=2×+4×+6×=.

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