新編高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I 學(xué)案7

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 學(xué)案7 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景.2.理解有理指數(shù)冪的含義,了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義,掌握冪的運(yùn)算. 3.理解指數(shù)函數(shù)的概念,并掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn).4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型. 自主梳理 1.指數(shù)冪的概念 (1)根式 如果一個(gè)數(shù)的n次方等于a(n>1且n∈N*),那么這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根.也就是,若xn=a,則x叫做________,其中n>1且n∈N*.式子叫做________,這里n叫做________,a叫做____________. (2)根式的性質(zhì) ①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次

2、方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù),這時(shí),a的n次方根用符號(hào)________表示. ②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù),這時(shí),正數(shù)的正的n次方根用符號(hào)________表示,負(fù)的n次方根用符號(hào)________表示.正負(fù)兩個(gè)n次方根可以合寫(xiě)成________(a>0). ③()n=____. ④當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),=|a|= ⑤當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),=____. ⑥負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根. ⑦零的任何次方根都是零. 2.有理指數(shù)冪 (1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的表示 ①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是 =________(a>0,m,n∈N*,n>1). ②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是 =______

3、______=______________(a>0,m,n∈N*,n>1). ③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是______,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義. (2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ①aras=________(a>0,r,s∈Q). ②(ar)s=________(a>0,r,s∈Q). ③(ab)r=________(a>0,b>0,r∈Q). 3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>1 00時(shí),______;當(dāng)x<0時(shí),______ (5)當(dāng)x

4、>0時(shí),________;當(dāng)x<0時(shí),______ (6)在(-∞,+∞) 上是______ (7)在(-∞,+∞) 上是______ 自我檢測(cè) 1.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 (  ) ①當(dāng)a<0時(shí),=a3; ②=|a|; ③函數(shù)y=-(3x-7)0的定義域是(2,+∞); ④若100a=5,10b=2,則2a+b=1. A.0 B.1 C.2 D.3 2.函數(shù)y=(a2-3a+3)ax是指數(shù)函數(shù),則有 (  

5、) A.a(chǎn)=1或a=2 B.a(chǎn)=1 C.a(chǎn)=2 D.a(chǎn)>0且a≠1 3.如圖所示的曲線C1,C2,C3,C4分別是函數(shù)y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的圖象,則a,b,c,d的大小關(guān)系是 (  ) A.a(chǎn)1,b>0,且ab+a-b=2,則ab-a-b的值等于 (  ) A.

6、 B.2或-2 C.-2 D.2 5.(2011·六安模擬)函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖,其中a、b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是(  ) A.a(chǎn)>1,b<0 B.a(chǎn)>1,b>0 C.00 D.00)的結(jié)果是 (  ) A. B.a(chǎn)b C. D.a(chǎn)2

7、b 探究點(diǎn)二 指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用 例2 已知函數(shù)y=()|x+1|. (1)作出函數(shù)的圖象(簡(jiǎn)圖); (2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間; (3)由圖象指出當(dāng)x取什么值時(shí)有最值,并求出最值. 變式遷移2 (2009·山東)函數(shù)y=的圖象大致為 (  ) 探究點(diǎn)三 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 例3 如果函數(shù)y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在區(qū)間[-1,1]上的最大值是14,求a的值. 變式遷移3 (2011·龍巖月考)已知函數(shù)f(x)=(+)x3. (1)求f(x)的定義域; (2)證明:f(-x)

8、=f(x); (3)證明:f(x)>0. 分類討論思想的應(yīng)用 例 (12分)已知f(x)=(ax-a-x)(a>0且a≠1). (1)判斷f(x)的奇偶性; (2)討論f(x)的單調(diào)性; (3)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)f(x)≥b恒成立,求b的取值范圍. 【答題模板】 解 (1)函數(shù)定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 又因?yàn)閒(-x)=(a-x-ax)=-f(x), 所以f(x)為奇函數(shù).[3分] (2)當(dāng)a>1時(shí),a2-1>0, y=ax為增函數(shù),y=a-x為減函數(shù),從而y=ax-a-x為增函數(shù), 所以f(x)為增函數(shù).[5分] 當(dāng)0

9、0, y=ax為減函數(shù),y=a-x為增函數(shù),從而y=ax-a-x為減函數(shù), 所以f(x)為增函數(shù). 故當(dāng)a>0,且a≠1時(shí),f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.[7分] (3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù), ∴在區(qū)間[-1,1]上為增函數(shù), ∴f(-1)≤f(x)≤f(1), ∴f(x)min=f(-1)=(a-1-a)=· =-1.[10分] ∴要使f(x)≥b在[-1,1]上恒成立,則只需b≤-1, 故b的取值范圍是(-∞,-1].[12分] 【突破思維障礙】 本例第(2)(3)問(wèn)是難點(diǎn),討論f(x)的單調(diào)性對(duì)參數(shù)a如何分類,分類的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)是思維障礙之一. 【易錯(cuò)點(diǎn)

10、剖析】 在(2)中,函數(shù)的單調(diào)性既與ax-a-x有關(guān),還與的符號(hào)有關(guān),若沒(méi)考慮的符號(hào)就會(huì)出錯(cuò),另外分類討論完,在表達(dá)單調(diào)性的結(jié)論時(shí),要綜合討論分類的情況,如果沒(méi)有一個(gè)總結(jié)性的表達(dá)也要扣分,在表達(dá)時(shí)如果不呈現(xiàn)a的題設(shè)條件中的范圍也是錯(cuò)誤的. 1.一般地,進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí),化負(fù)指數(shù)為正指數(shù),化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算,便于用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算,可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的. 2.比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí),盡量化同底數(shù)或同指數(shù),當(dāng)?shù)讛?shù)相同,指數(shù)不同時(shí),構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù),然后比較大?。划?dāng)指數(shù)相同,底數(shù)不同時(shí),構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù),利用圖象比較大小. 3.指數(shù)函數(shù)在同一

11、直角坐標(biāo)系中的圖象的相對(duì)位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示,則0

12、1)的圖象的大致形狀是 (  ) 3.(2010·重慶)函數(shù)f(x)=的圖象 (  ) A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于直線y=x對(duì)稱 C.關(guān)于x軸對(duì)稱 D.關(guān)于y軸對(duì)稱 4.定義運(yùn)算ab=則函數(shù)f(x)=12x的圖象是(  ) 5.若關(guān)于x的方程|ax-1|=2a(a>0,a≠1)有兩個(gè)不等實(shí)根,則a的取值范圍是(  ) A.(0,1)∪(1,+∞) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(0,) 題號(hào)

13、 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分,共12分) 6.(2011·嘉興月考)函數(shù)f(x)=(a>0且a≠1)是R上的減函數(shù),則a的取值范圍是________. 7.(2010·江蘇)設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x),x∈R是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a=________. 8.若函數(shù)f(x)=ax-1(a>0且a≠1)的定義域和值域都是[0,2],則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______. 三、解答題(共38分) 9.(12分)(2011·衡陽(yáng)模擬)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù). (1)求a,b的值; (2)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t2

14、-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍. 10.(12分)(2010·北京豐臺(tái)區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)=3x,f(a+2)=18,g(x)=λ·3ax-4x的定義域?yàn)閇0,1]. (1)求a的值. (2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞減函數(shù),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍. 11.(14分)(2011·東莞模擬)函數(shù)y=1+2x+4xa在x∈(-∞,1]上y>0恒成立,求a的取值范圍. 答案 自主梳理 1.(1)a的n次方根 根式 根指數(shù) 被開(kāi)方數(shù) (2)① ②?。 馈、踑?、輆 2.(1)① ② ?、? (2)①ar+s

15、 ②ars?、踑rbr 3.(1)R (2)(0,+∞) (3)(0,1) (4)y>1 01 (6)增函數(shù) (7)減函數(shù) 自我檢測(cè) 1.B [只有④正確.①中a<0時(shí),>0,a3<0,所以≠a3;②中,n為奇數(shù)時(shí)且a<0時(shí),=a;③中定義域?yàn)閇2,)∪(,+∞).] 2.C [∵y=(a2-3a+3)ax是指數(shù)函數(shù),∴a2-3a+3=1,解得a=2或a=1(舍去).] 3.D [y軸左、右的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的底數(shù)按逆時(shí)針?lè)较蛟龃螅詂>d>1,1>a>b>0.] 4.D [(ab-a-b)2=(ab+a-b)2-4=4, ∵a>1,b>0,∴ab>1

16、,0

17、1=,x2=9,且a

18、y=()|x|可知函數(shù)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故先作出y=()x的圖象,保留x≥0的部分,當(dāng)x<0時(shí),其圖象是將y=()x(x≥0)圖象關(guān)于y軸對(duì)折,從而得出y=()|x|的圖象. ②將y=()|x|向左移動(dòng)1個(gè)單位,即可得y=()|x+1|的圖象,如圖所示. (2)由圖象知函數(shù)在(-∞,-1]上是增函數(shù),在[-1,+∞)上是減函數(shù). (3)由圖象知當(dāng)x=-1時(shí),有最大值1,無(wú)最小值. 變式遷移2 A [y==1+,當(dāng)x>0時(shí),e2x-1>0,且隨著x的增大而增大,故y=1+>1且隨著x的增大而減小,即函數(shù)y在(0,+∞)上恒大于1且單調(diào)遞減.又函數(shù)y是奇函數(shù),故只有A正確.]

19、 例3 解題導(dǎo)引 1.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖象與性質(zhì)與a的取值有關(guān),要特別注意區(qū)分a>1與01時(shí),t∈[a-1,a], ∴ymax=a2+2a-1=14,解得a=3,滿足 a>1; (2)當(dāng)0

20、 所以定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞). (2)證明 f(x)=(+)x3可化為f(x)=·x3, 則f(-x)=(-x)3 =x3=f(x), 所以f(-x)=f(x). (3)證明 當(dāng)x>0時(shí),2x>1,x3>0, 所以(+)x3>0. 因?yàn)閒(-x)=f(x), 所以當(dāng)x<0時(shí),f(x)=f(-x)>0. 綜上所述,f(x)>0. 課后練習(xí)區(qū) 1.B [由y=中≥0,所以y=≥20=1,即函數(shù)的值域?yàn)閇1,+∞).] 2.D [函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈R,x≠0},且y==.當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)是一個(gè)指數(shù)函數(shù),其底數(shù)a滿足0

21、象與指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,函數(shù)遞增.] 3.D [函數(shù)定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, ∵f(-x)===f(x), ∴f(x)是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.] 4.A [當(dāng)x<0時(shí),0<2x<1,此時(shí)f(x)=2x; 當(dāng)x≥0時(shí),2x≥1,此時(shí)f(x)=1. 所以f(x)=12x=] 5.D [方程|ax-1|=2a有兩個(gè)不等實(shí)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|ax-1|與函數(shù)y=2a有兩個(gè)不同交點(diǎn),作出函數(shù)y=|ax-1|的圖象,從圖象觀察可知只有0<2a<1時(shí),符合題意,即0

22、析 設(shè)g(x)=ex+ae-x,則f(x)=xg(x)是偶函數(shù). ∴g(x)=ex+ae-x是奇函數(shù). ∴g(0)=e0+ae-0=1+a=0, ∴a=-1. 8. 解析 當(dāng)a>1時(shí),f(2)=2, ∴a2-1=2,a=,經(jīng)驗(yàn)證符合題意; 當(dāng)0

23、……………………………………………(4分) (2)由(1)知f(x)==-+. 由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù).…………………………………………(6分) 又因f(x)是奇函數(shù), 從而不等式f(t2-2t)<-f(2t2-k) =f(-2t2+k).……………………………………………………………………………(8分) 因?yàn)閒(x)是減函數(shù),由上式推得t2-2t>-2t2+k. 即對(duì)一切t∈R有3t2-2t-k>0. 從而判別式Δ=4+12k<0,解得k<-.………………………………………………(12分) 10.解 方法一 (1)由已知得3a+2=18?3a=2?a=

24、log32.…………………………(4分) (2)此時(shí)g(x)=λ·2x-4x, 設(shè)0≤x10恒成立,……………………………(8分) 即λ<恒成立.由于=2,所以,實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ≤2. ……………………………………………………………………………………………(12分) 方法二 (1)由已知得3a+2=18?3a=2?a=log32. ……………………………………………………………………………………………(4分) (2)此時(shí)g(x)=λ·2x-4x, 因?yàn)間(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)

25、減函數(shù), 所以有g(shù)′(x)=λln 2·2x-ln 4·4x=2xln 2(-2·2x+λ)≤0成立,…………………………(8分) 所以只需要λ≤2·2x恒成立.所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ≤2.…………………………(12分) 11.解 由題意得1+2x+4xa>0在x∈(-∞,1]上恒成立, 即a>-在x∈(-∞,1]上恒成立.………………………………………………(6分) 又因?yàn)椋剑?)2x-()x, 設(shè)t=()x, ∵x≤1,∴t≥ 且函數(shù)f(t)=-t2-t=-(t+)2+(t≥) 在t=時(shí),取到最大值. ∴()x=即x=1時(shí),-的最大值為-,………………………………………(12分) ∴a>-.…………………………………………………………………………………(14分)

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