新版一輪創(chuàng)新思維文數(shù)人教版A版練習(xí)：第五章 第五節(jié)　數(shù)列的綜合應(yīng)用 Word版含解析

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1、 1

2、 1 課時規(guī)范練 A組　基礎(chǔ)對點練 1．(20xx·嘉興調(diào)研)已知an＝(n∈N*)，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則使Sn>0的n的最小值為(　　) A．99　　　　　　　　 B．100 C．101 D．102 解析：由通項公式得a1＋a100＝a2＋a99＝a3＋a98＝…＝a50＋a51＝0，a101＝>0，故選C. 答案：C 2．(20xx·昆明七校調(diào)研)在

3、等比數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，若q＝2，且a2與2a4的等差中項為18，則S5＝(　　) A．62 B．－62 C．32 D．－32 解析：依題意得a2＋2a4＝36，q＝2，則2a1＋16a1＝36，解得a1＝2，因此S5＝＝62，選A. 答案：A 3．已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，a1＝1，且a3，a4＋，a11成等比數(shù)列．若p－q＝10，則ap－aq＝(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意分析知d>0，因為a3，a4＋，a11成等比數(shù)列，所以2＝a3a11，即2＝(1＋2d)·(1＋10d)，即

4、44d2－36d－45＝0，所以d＝，所以an＝.所以ap－aq＝(p－q)＝15. 答案：B 4．已知數(shù)列{an}滿足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝，若函數(shù)f(x)＝sin 2x＋2cos2，記yn＝f(an)，則數(shù)列{yn}的前9項和為(　　) A．0 B．－9 C．9 D．1 解析：由已知可得，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，f(x)＝sin 2x＋cos x＋1，∴f＝1. ∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin 2x－cos x＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2. ∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋

5、…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即數(shù)列{yn}的前9項和為9. 答案：C 5．等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項和Sn＝(　　) A．n(n＋1) B．n(n－1) C. D. 解析：因為a2，a4，a8成等比數(shù)列，所以a＝a2·a8，所以(a1＋6)2＝(a1＋2)·(a1＋14)，解得a1＝2.所以Sn＝na1＋×2＝n(n＋1)．故選A. 答案：A 6．已知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d≠0，Sn為其前n項和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8＝________. 解析：因為{an}為等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比

6、數(shù)列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64. 答案：64 7．對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項公式為2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝__________. 解析：∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2. 答案：2n＋1－2 8．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝_

7、_______. 解析：由3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，則3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1. 答案：3n－1 9．已知數(shù)列{an}的首項為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*. (1)若a2，a3，a2＋a3成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)雙曲線x2－＝1的離心率為en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e. 解析：(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，兩式相減得到an＋2＝qan＋1，n≥1. 又由S2＝qS1＋1得到a2＝

8、qa1，故 an＋1＝qan對所有n≥1都成立． 所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列． 從而an＝qn－1. 由a2，a3，a2＋a3成等差數(shù)列，可得2a3＝a2＋a2＋a3， 所以a3＝2a2，故q＝2， 所以an＝2n－1(n∈N*)． (2)由(1)可知，an＝qn－1. 所以雙曲線x2－＝1的離心率en＝＝ . 由e2＝ ＝2解得q＝. 所以e＋e＋…＋e＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)] ＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)] ＝n＋ ＝n＋(3n－1)． 10．(20xx·西安質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，a1

9、＝1，前n項和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，b1＝1，且b2S2＝6，b2＋S3＝8. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式； (2)求＋＋…＋. 解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，d>0，{bn}的公比為q，則an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1. 依題意有， 解得，或 (舍去)． 故an＝n，bn＝2n－1. (2)由(1)知Sn＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)， ∴＝＝2(－)， ∴＋＋…＋ ＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)] ＝2(1－) ＝. B組　能力提升練 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f(a

10、1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，則a1＋a2＋…＋a7＝(　　) A．0 B．7 C．14 D．21 解析：∵f(x)＝(x－3)3＋x－1 ＝(x－3)3＋(x－3)＋2， 而y＝x3＋x是單調(diào)遞增的奇函數(shù)， ∴f(x)＝(x－3)3＋(x－3)＋2是關(guān)于點(3,2)成中心對稱的增函數(shù)． 又∵{an}是等差數(shù)列， f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14＝7×2， ∴f(a4)＝2， 即(a4－3)3＋(a4－3)＋2＝2， ∴a4＝3， ∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝21. 答案：D 2．已知等差數(shù)列{an}的公差和首項都不等于0，且a2，a4

11、，a8成等比數(shù)列，則＝(　　) A．2 B．3 C．5 D．7 解析：∵等差數(shù)列{an}中，a2，a4，a8成等比數(shù)列，∴a＝a2a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，∴d2＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1， ∴＝＝3.故選B. 答案：B 3．定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有(　　) A．18個 B．16個 C．14個 D．12個 解析：由題意可得a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3個0、3個1，且

12、滿足對任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)，利用列舉法可得不同的“規(guī)范01數(shù)列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14個． 答案：C 4．5個數(shù)依次組成等比數(shù)列，且公比為－2，則其中奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的比值為(　　) A．－ B．－2 C．－ D．－ 解析：由題意可設(shè)這5個數(shù)分別為a，－2a,4a，－8a,16a，故奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的比

13、值為＝－，故選C. 答案：C 5．若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于__________． 解析：依題意有a，b是方程x2－px＋q＝0的兩根，則a＋b＝p，ab＝q，由p＞0，q>0可知a＞0，b＞0.由題意可知ab＝(－2)2＝4＝q，a－2＝2b或b－2＝2a， 將a－2＝2b代入ab＝4可解得a＝4，b＝1，此時a＋b＝5，將b－2＝2a代入ab＝4可解得a＝1，b＝4，此時a＋b＝5，則p＝5，故p＋q＝9. 答案：9 6．已知an＝3n(n∈N

14、*)，記數(shù)列{an}的前n項和為Tn，若對任意的n∈N*，k≥3n－6恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是__________． 解析：Tn＝＝－＋，所以Tn＋＝，則原不等式可以轉(zhuǎn)化為k≥＝恒成立，令f(n)＝，當(dāng)n＝1時，f(n)＝－，當(dāng)n＝2時，f(n)＝0，當(dāng)n＝3時，f(n)＝，當(dāng)n＝4時，f(n)＝，即f(n)是先增后減，當(dāng)n＝3時，取得最大值，所以k≥. 答案：k≥ 7．為了加強環(huán)保建設(shè)，提高社會效益和經(jīng)濟(jì)效益，長沙市計劃用若干時間更換一萬輛燃油型公交車，每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，替換車為電力型和混合動力型車．今年初投入了電力型公交車128輛，混合動力型公交車400輛；計劃以后

15、電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動力型車每年比上一年多投入a輛． (1)求經(jīng)過n年，該市被更換的公交車總數(shù)S(n)； (2)若該市計劃7年內(nèi)完成全部更換，求a的最小值． 解析：(1)設(shè)an，bn分別為第n年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量． 依題意，得{an}是首項為128，公比為1＋50%＝的等比數(shù)列，{bn}是首項為400，公差為a的等差數(shù)列． 所以{an}的前n項和 Sn＝＝256， {bn}的前n項和Tn＝400n＋a. 所以經(jīng)過n年，該市被更換的公交車總數(shù)為 S(n)＝Sn＋Tn＝256＋400n＋a. (2)若計劃7年內(nèi)完成全部更換，則S

16、(7)≥10 000， 所以256＋400×7＋a≥10 000， 即21a≥3 082，所以a≥146. 又a∈N*，所以a的最小值為147. 8．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N*)在函數(shù)f(x)＝x2＋x的圖象上． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，不等式Tn>loga(1－a)對任意正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解析：(1)∵點(n，Sn)在函數(shù)f(x)＝x2＋x的圖象上，∴Sn＝n2＋n. 當(dāng)n≥2時，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)， 兩式相減得an＝n. 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝＋＝1，符合上式， ∴an＝n(n∈N*)． (2)由(1)得＝＝， ∴Tn＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ＋ ＝ ＝－. ∵Tn＋1－Tn＝>0， ∴數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增， ∴{Tn}中的最小項為T1＝. 要使不等式Tn>loga(1－a)對任意正整數(shù)n恒成立，只要>loga(1－a)，即loga(1－a)0，a>0，∴0a，∴0