新版高考備考“最后30天”大沖刺 數(shù)學(xué) 專題九 圓錐曲線理 教師版

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1、 1

2、 1 0 專題九：圓錐曲線 例 題 如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F，右頂點、上頂點分別為點A，B，且|AB|＝|BF|． （1）求橢圓C的離心率； （2）若點M在橢圓C內(nèi)部，過點M的直線l交橢圓C于P，Q兩點，M為線段PQ的中點，且OP⊥OQ．求直線l的方程及橢圓C的方程． 【解析】（1）由已知|AB|＝|BF|， 即＝a，∴4a2＋4b

3、2＝5a2， ∴4a2＋4(a2－c2)＝5a2，∴e＝＝． （2）由（1）知a2＝4b2，∴橢圓C：＋＝1． 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由＋＝1，＋＝1，可得＋＝0， 即＋＝0， 即＋(y1－y2)＝0，從而kPQ＝＝2， 所以直線l的方程為y－＝2， 即2x－y＋2＝0． 由?x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0， 即17x2＋32x＋16－4b2＝0． Δ＝322＋16×17(b2－4)>0?b>， x1＋x2＝－，x1x2＝． ∵OP⊥OQ，∴·＝0，即x1x2＋y1y2＝0， ∴x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0， 即5x1x2＋4(

4、x1＋x2)＋4＝0， 從而－＋4＝0，解得b＝1， ∴橢圓C的方程為＋y2＝1． 【答案】（1）；（2）2x－y＋2＝0，＋y2＝1． 基礎(chǔ)回歸 解析幾何是高考中必考的一個題型之一，并且分值占卷面的15%左右，多數(shù)是22分，常考兩個客觀題和一個主觀題，客觀題以考查基礎(chǔ)為主，主要考查直線、圓、圓錐曲線和參數(shù)方程的基礎(chǔ)知識．解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點，往往是有一定難度的綜合題．解析幾何主要位于必修2中解析幾何初步和選修2-1中圓錐曲線． 規(guī)范訓(xùn)練 綜合題（48分/60min） 1．（12分/15min）已知橢圓C：＋＝1(

5、a>b>0)的離心率為，以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線2x－y＋6＝0相切． （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）已知點A，B為動直線y＝k(x－2)(k≠0)與橢圓C的兩個交點．問：在x軸上是否存在定點E，使得2＋·為定值？若存在，試求出點E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由． 【解析】（1）由e＝得＝，即c＝a．① 又以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2＋y2＝a2， 且與直線2x－y＋6＝0相切， 所以a＝＝，代入①得c＝2． 所以b2＝a2－c2＝2． 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1． （2）由得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝

6、0． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以x1＋x2＝，x1x2＝． 根據(jù)題意，假設(shè)x軸上存在定點E(m，0)， 使得2＋·＝(＋)·＝·為定值， 則·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2 ＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)＝． 要使上式為定值，即與k無關(guān)，則3m2－12m＋10＝3(m2－6)， 得m＝． 此時，2＋·＝m2－6＝－，所以在x軸上存在定點E，使得2＋·為定值，且定值為－． 【答案】（1）＋＝1；（2）－． 滿分規(guī)范 1.時間：你是否在限定時間內(nèi)完成？ □是 □

7、否 2.步驟：答題步驟是否與標(biāo)答一致？ □是 □否 3.語言：答題學(xué)科用語是否精準(zhǔn)規(guī)范？□是 □否 4.書寫：字跡是否工整？卷面是否整潔？□是 □否 5.得分點：答題得分點是否全面無誤？□是 □否 6.教材：教材知識是否全面掌握？ □是 □否 2．（12分/15min）已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)不過原點O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求△OPQ面積的取值范圍． 【解析】（1）由題意可設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則＝(其中c2＝a2－b2，c>

8、0)，且＋＝1，故a＝2，b＝1． 所以橢圓的方程為＋y2＝1． （2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l：y＝kx＋m(m≠0)． 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由消去y得：(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 則Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0， 且x1＋x2＝－，x1x2＝， 故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2， 因為直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列， 所以·＝＝k2， 即－＋m2＝0． 又m≠0，所以k2＝，即k＝±． 由于

9、直線OP，OQ的斜率存在，且Δ>0， 得0

10、 3．（12分/15min）如圖，已知拋物線C1：y2＝4x的焦點為F，橢圓C2的中心在原點，F(xiàn)為其右焦點，點M為曲線C1和C2在第一象限的交點，且|MF|＝． （1）求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)A，B為拋物線C1上的兩個動點，且使得線段AB的中點D在直線y＝x上，P(3，2)為定點，求△PAB面積的最大值． 【解析】（1）設(shè)橢圓C2的方程為＋＝1(a>b>0)，半焦距為c． 由已知得，點F(1，0)，則c＝1． 設(shè)點M(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，由拋物線的定義，得： |MF|＝x0＋1＝，則x0＝． 從而y0＝＝，所以點M． 設(shè)點E為橢圓的左焦點，則E(－

11、1，0)， |ME|＝＝． 根據(jù)橢圓定義，得2a＝|ME|＋|MF|＝＋＝6，則a＝3． 從而b2＝a2－c2＝8， 所以橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1． （2）設(shè)點D(m，m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y＝4x1，y＝4x2． 兩式相減，得y－y＝4(x1－x2)，即＝． 因為D為線段AB的中點，則y1＋y2＝2m． 所以直線AB的斜率k＝＝＝． 從而直線AB的方程為y－m＝(x－m)， 即2x－my＋m2－2m＝0． 聯(lián)立得y2－2my＋2m2－4m＝0，則y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－4m． 所以|AB|＝|y1－y2|＝·＝·． 設(shè)點P到直

12、線AB的距離為d，則d＝． 所以S△PAB＝|AB|d＝·|6－4m＋m2|． 由4m－m2>0，得00，得0

13、整？卷面是否整潔？□是 □否 5.得分點：答題得分點是否全面無誤？□是 □否 6.教材：教材知識是否全面掌握？ □是 □否 4．（12分/15min）設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，在x軸負(fù)半軸上有一點B，滿足＝，且AB⊥AF2． （1）求橢圓C的離心率； （2）若過A，B，F(xiàn)2三點的圓恰好與直線l：x－y－3＝0相切． ①求橢圓C的方程； ②過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在x軸上是否存在點P(m，0)，使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

14、 【解析】（1）設(shè)B(x0，0)，由F2(c，0)，A(0，b)，知＝(c，－b)，＝(x0，－b)． ∵⊥，∴cx0＋b2＝0，∴x0＝－． 由于＝，即F1為BF2的中點，故－＋c＝－2c， ∴b2＝3c2＝a2－c2，故橢圓的離心率e＝． （2）①由（1）知＝得c＝a， 于是F2，B， △ABF2的外接圓圓心為，半徑r＝|F1A|＝a，所以＝a，解得a＝2， ∴c＝1，b＝，所求橢圓方程為＋＝1． ②由①知F2(1，0)，l：y＝k(x－1)，聯(lián)立 化簡得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝，y1＋y2＝

15、k(x1＋x2－2)， ＋＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋y2)， 由于菱形對角線互相垂直，則(＋)·＝0， ∵直線MN的方向向量是(1，k)， 故k(y1＋y2)＋x1＋x2－2m＝0， 則k2(x1＋x2－2)＋x1＋x2－2m＝0， 即k2＋－2m＝0． 由已知條件知k≠0且k∈R， ∴m＝＝，∴0