新版全國(guó)通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專(zhuān)題強(qiáng)化練 專(zhuān)題9 等差數(shù)列與等比數(shù)列含解析

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2、 1 【走向高考】（全國(guó)通用）20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專(zhuān)題強(qiáng)化練 專(zhuān)題9 等差數(shù)列與等比數(shù)列 一、選擇題 1．(文)(20xx·東北三省三校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＋a4＋a6 ＝12，則S7的值是(　　) A．21　　 　 B．24　　 　 C．28　　 　 D．7 [答案]　C [解析]　∵a2＋a4＋a6＝3a4＝12，∴a

3、4＝4， ∴2a4＝a1＋a7＝8，∴S7＝＝＝28. [方法點(diǎn)撥]　1.熟記等差、等比數(shù)列的求和公式． 2．形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系用累加法可求出通項(xiàng)； 3．形如an＋1＝anf(n)的遞推關(guān)系可考慮用累乘法求通項(xiàng)an； 4．形如an＋1＝kan＋b(k、b為常數(shù))可通過(guò)變形，設(shè)bn＝an＋構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)an. (理)在等比數(shù)列{an}中，a1＝a，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an＋1}成等差數(shù)列，則Sn等于(　　) A．a(chǎn)n＋1－a　　　　 　 　 B．n(a＋1) C．na D．(a＋1)n－1 [答案]　C [解析]　利用常數(shù)列a，a，a，…判斷，則存

4、在等差數(shù)列a＋1，a＋1，a＋1，…或通過(guò)下列運(yùn)算得到：2(aq＋1)＝(a＋1)＋(aq2＋1)，∴q＝1，Sn＝na. 2．(文)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S1＝1，＝4，則的值為(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D．4 [答案]　A [解析]　由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S2，S4－S2，S6－S4成等差數(shù)列，由＝4得＝3，則S6－S4＝5S2， 所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝. (理)(20xx·全國(guó)大綱文，8)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝(　　) A．31 B．32 C．63 D．64 [答案]　C

5、[解析]　解法1：由條件知：an>0，且 ∴∴q＝2. ∴a1＝1，∴S6＝＝63. 解法2：由題意知，S2，S4－S2，S6－S4成等比數(shù)列，即(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即122＝3(S6－15)，∴S6＝63. [方法點(diǎn)撥]　下標(biāo)成等差的等差、等比數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和的問(wèn)題，?？紤]應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解． 3．(20xx·浙江理，3)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是Sn.若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則(　　) A．a(chǎn)1d>0，dS4>0 B．a(chǎn)1d<0，dS4<0 C．a(chǎn)1d>0，dS4<0 D．a(chǎn)1d<0，dS4>0 [答案]　B

6、 [解析]　考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的概念． ∵{an}為等差數(shù)列，且a3，a4，a8成等比數(shù)列， ∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)? a1＝－d， ∴S4＝2(a1＋a4)＝2(a1＋a1＋3d)＝－d， ∴a1d＝－d2＜0，dS4＝－d2＜0，故選B. 4．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝(　　) A. B．－ C. D．－ [答案]　C [解析]　∵S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，a3＝9a1＝a1q2，∴q2＝9， 又∵a5＝9，∴9＝a3·q2＝9a3

7、，∴a3＝1， 又a3＝9a1，故a1＝. [方法點(diǎn)撥]　求基本量的問(wèn)題，熟記等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式，利用公式、結(jié)合條件，建立方程求解． 5．(20xx·江西省質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前20xx項(xiàng)的和S20xx等于(　　) A．31008－2 B．31008－3 C．320xx－2 D．320xx－3 [答案]　A [解析]　因?yàn)閍1＝1，a2＝3，＝3， 所以S20xx＝(a1＋a3＋…＋a20xx)＋(a2＋a4＋…＋a20xx)＝＋＝31008－2. 6．(文)(20xx·新鄉(xiāng)、許昌、

8、平頂山調(diào)研)設(shè){an}是等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，則S101的值為(　　) A．2 B．200 C．－2 D．0 [答案]　A [解析]　設(shè)公比為q，∵an＋2an＋1＋an＋2＝0，∴a1＋2a2＋a3＝0，∴a1＋2a1q＋a1q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1，又∵a1＝2， ∴S101＝＝＝2. (理)(20xx·哈三中二模)等比數(shù)列{an}，滿(mǎn)足a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3，a＋a＋a＋a＋a＝15，則a1－a2＋a3－a4＋a5的值是(　　) A．3 B. C．－ D．5 [答

9、案]　D [解析]　由條件知，∴＝5， ∴a1－a2＋a3－a4＋a5＝＝＝5. 7．(文)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，則此數(shù)列前20項(xiàng)的和等于(　　) A．290 B．300 C．580 D．600 [答案]　B [解析]　由a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87得， a1＋a20＝30， ∴S20＝＝300. (理)已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則＝(　　) A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2 [答案]　C [解析]　由條件知a3＝a1＋2a2， ∴a1q

10、2＝a1＋2a1q， ∵a1≠0，∴q2－2q－1＝0， ∵q>0，∴q＝1＋， ∴＝q2＝3＋2. 8．(20xx·福建理，8)若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，－2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 [答案]　D [解析]　由韋達(dá)定理得a＋b＝p，a·b＝q，因?yàn)閜>0，q>0，則a＞0，b＞0，當(dāng)a，b，－2適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時(shí)，－2必為等比中項(xiàng)，故a·b＝(－2)2＝4，故q＝4，b＝.當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時(shí)，－2必不是等差中項(xiàng)，當(dāng)a是等

11、差中項(xiàng)時(shí)，2a＝－2，解得a＝1，b＝4，；當(dāng)b是等差中項(xiàng)時(shí)，＝a－2，解得a＝4，b＝1，綜上所述，a＋b＝p＝5，所以p＋q＝9，選D. 9．已知數(shù)列{an}，{bn}滿(mǎn)足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝2，n∈N＋，則數(shù)列{ban}的前10項(xiàng)的和為(　　) A.(49－1) B.(410－1) C.(49－1) D.(410－1) [答案]　D [解析]　由a1＝1，an＋1－an＝2得，an＝2n－1， 由＝2，b1＝1得bn＝2n－1， ∴ban＝2an－1＝22(n－1)＝4n－1， ∴數(shù)列{ban}前10項(xiàng)和為＝(410－1)． 10．(文)若數(shù)列{a

12、n}為等比數(shù)列，且a1＝1，q＝2，則Tn＝＋＋…＋等于(　　) A．1－ B.(1－) C．1－ D.(1－) [答案]　B [解析]　因?yàn)閍n＝1×2n－1＝2n－1，所以an·an＋1＝2n－1·2n＝2×4n－1， 所以＝×()n－1，所以{}也是等比數(shù)列， 所以Tn＝＋＋…＋＝×＝(1－)，故選B. (理)(20xx·唐山市一模)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，則(　　) A．4n－1 B．4n－1 C．2n－1 D．2n－1 [答案]　C [解析]　設(shè)公比為q，則a1(1＋q2)＝，a2(1＋q2)＝，∴q＝，∴a1

13、＋a1＝，∴a1＝2. ∴an＝a1qn－1＝2×()n－1，Sn＝＝4[1－()n]，∴＝＝2(2n－1－) ＝2n－1. [點(diǎn)評(píng)]　用一般解法解出a1、q，計(jì)算量大，若注意到等比數(shù)列的性質(zhì)及求，可簡(jiǎn)明解答如下： ∵a2＋a4＝q(a1＋a3)，∴q＝， ∴＝＝＝＝2n－1. 11．給出數(shù)列，，，，，，…，，，…，，…，在這個(gè)數(shù)列中，第50個(gè)值等于1的項(xiàng)的序號(hào)是(　　) A．4900 B．4901 C．5000 D．5001 [答案]　B [解析]　根據(jù)條件找規(guī)律，第1個(gè)1是分子、分母的和為2，第2個(gè)1是分子、分母的和為4，第3個(gè)1是分子、分母的和為6，…，第50個(gè)1是分

14、子、分母的和為100，而分子、分母的和為2的有1項(xiàng)，分子、分母的和為3的有2項(xiàng)，分子、分母的和為4的有3項(xiàng)，…，分子、分母的和為99的有98項(xiàng)，分子、分母的和為100的項(xiàng)依次是：，，，…，，，…，，第50個(gè)1是其中第50項(xiàng)，在數(shù)列中的序號(hào)為1＋2＋3＋…＋98＋50＝＋50＝4901. [點(diǎn)評(píng)]　本題考查歸納能力，由已知項(xiàng)找到規(guī)律，“1”所在項(xiàng)的特點(diǎn)以及項(xiàng)數(shù)與分子、分母的和之間的關(guān)系，再利用等差數(shù)列求和公式即可． 二、填空題 12．(文)(20xx·廣東理，10)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________. [答案]　10 [解析]　本

15、題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及簡(jiǎn)單運(yùn)算，屬于容易題． 因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25 即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10. (理)(20xx·湖南理，14)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________. [答案]　3n－1 [解析]　考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)． ∵3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，∴4S2＝3S1＋S3，∴4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3?a3＝3a2?q＝3. 又∵{an}為等比數(shù)列，∴an＝a1qn－1＝3n－1

16、. [方法點(diǎn)撥]　條件或結(jié)論中涉及等差或等比數(shù)列中的兩項(xiàng)或多項(xiàng)的關(guān)系時(shí)，先觀(guān)察分析下標(biāo)之間的關(guān)系，再考慮能否應(yīng)用性質(zhì)解決，要特別注意等差、等比數(shù)列性質(zhì)的區(qū)別． 13．(文)(20xx·安徽理，14)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于________． [答案]　2n－1 [解析]　考查1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式． 由題意，∴解得a1＝1，a4＝8或者a1＝8，a4＝1，而數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，所以a1＝1，a4＝8，即q3＝＝8，所以q＝2，因而數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝＝2n－1. (理)(

17、20xx·江蘇，11)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為_(kāi)_______． [答案]　 [解析]　考查數(shù)列通項(xiàng)，裂項(xiàng)求和． 由題意得：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝，所以＝2(－)，Sn＝2(1－)＋2(－)＋…＋2(－)＝2(1－)＝，S10＝. 三、解答題 14．(文)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝4an－p(n∈N*)，其中p是不為零的常數(shù)． (1)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列； (2)當(dāng)p＝3時(shí)，若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＋1＝an＋bn(n

18、∈N*)，b1＝2，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式． [解析]　(1)證明：因?yàn)镾n＝4an－p(n∈N*)， 則Sn－1＝4an－1－p(n∈N*，n≥2)， 所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1， 整理得an＝an－1. 由Sn＝4an－p，令n＝1，得a1＝4a1－p，解得a1＝. 所以{an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列． (2)因?yàn)閍1＝1，則an＝()n－1， 由bn＋1＝an＋bn(n＝1,2，…)，得bn＋1－bn＝()n－1， 當(dāng)n≥2時(shí)，由累加法得 bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1) ＝2＋＝3()n－1－1

19、， 當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立．∴bn＝3·()n－1－1. [方法點(diǎn)撥]　證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列時(shí)，應(yīng)用定義分析條件，結(jié)合性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化． (理)(20xx·河南高考適應(yīng)性測(cè)試)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1＝2，an＝a＋4an＋1＋2. (1)令bn＝log2(an＋2)，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列． (2)設(shè)cn＝nbn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn. [解析]　(1)由an＝a＋4an＋1＋2，得an＋2＝a＋4an＋1＋4＝(an＋1＋2)2. 因?yàn)閍n>0，所以＝an＋1＋2. 因?yàn)椋剑剑剑? 又b1＝log2(a1＋2)＝2， 所以數(shù)列{bn}是首

20、項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列． (2)由(1)知，bn＝2·n－1，則cn＝2nn－1. Sn＝2×0＋4×1＋…＋2(n－1)n－2＋2nn－1，① Sn＝2×1＋4×2＋…＋2(n－1)n－1＋2nn.② ①－②得：Sn＝2×0＋2×1＋2×2＋…＋2×n－1－2n·n ＝－2n·n＝4－(4＋2n)n. 所以Sn＝8－(n＋2)n－2. 15．(20xx·南昌市一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，S3＝6，正項(xiàng)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1·b2·b3·…·bn＝2Sn. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若λbn>an對(duì)n∈N*均成立，求實(shí)數(shù)λ的取

21、值范圍． [解析]　(1)等差數(shù)列{an}，a1＝1，S3＝6，∴d＝1，故an＝n ，(1)÷(2)得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)， b1＝2S1＝21＝2，滿(mǎn)足通項(xiàng)公式，故bn＝2n (2) 設(shè)λbn>an恒成立?λ>恒成立，設(shè)cn＝?＝ 當(dāng)n≥2時(shí)，cn<1，{cn}單調(diào)遞減， ∴(cn)max＝c1＝，故λ>. 16．(文)(20xx·湖北理，18)已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值

22、；若不存在，說(shuō)明理由． [分析]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到a＝a1·a5，并用a1、d表示a2、a5，列等式求解公差d，進(jìn)而求出通項(xiàng)，注意對(duì)公差d分類(lèi)討論；(2)利用(1)的結(jié)論，對(duì)數(shù)列{an}的通項(xiàng)分類(lèi)討論，分別利用通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解Sn，然后根據(jù)Sn>60n＋800列不等式求解． [解析]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題意，2,2＋d,2＋4d成等比數(shù)列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)． 化簡(jiǎn)得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4. 當(dāng)d＝0時(shí)，an＝2； 當(dāng)d＝4時(shí)，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2， 從而得數(shù)列{an}

23、的通項(xiàng)公式為an＝2或an＝4n－2. (2)當(dāng)an＝2時(shí)，Sn＝2n，顯然2n<60n＋800， 此時(shí)不存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800成立， 當(dāng)an＝4n－2時(shí)，Sn＝＝2n2， 令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0， 解得n>40或n<－10(舍去)． 此時(shí)存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值為41. 綜上，當(dāng)an＝2時(shí)，不存在滿(mǎn)足題意的n； 當(dāng)an＝4n－2時(shí)，存在滿(mǎn)足題意的n，其最小值為41. [方法點(diǎn)撥]　存在型探索性問(wèn)題解答時(shí)先假設(shè)存在，依據(jù)相關(guān)知識(shí)(概念、定理、公式、法則、性質(zhì)等)，結(jié)合所給條件進(jìn)行推理或運(yùn)算，直到得出結(jié)

24、果或一個(gè)明顯成立或錯(cuò)誤的結(jié)論，從而斷定存在與否． (理)(20xx·新課標(biāo)Ⅰ理，17)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)． (1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由． [分析]　(1)利用an＋1＝Sn＋1－Sn用配湊法可獲證；(2)假設(shè)存在λ，則a1，a2，a3應(yīng)成等差數(shù)列求出λ的值，然后依據(jù)an＋2－an＝λ推證{an}為等差數(shù)列． [解析]　(1)由題設(shè)：anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)由題設(shè)，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1， 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 故an＋2－an＝4，由此可得 {a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3； {a2n}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2. 因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.