新編高三數(shù)學(xué)理,山東版一輪備課寶典 第一章　集合與常用邏輯用語

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第一章　集合與常用邏輯用語 第一節(jié)　集合的概念與運(yùn)算 [考情展望]　1.給定集合，直接考查集合的交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算.2.與方程、不等式等知識(shí)相結(jié)合，考查集合的交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算.3.利用集合運(yùn)算的結(jié)果，考查集合間的基本關(guān)系.4.以新概念或新背景為載體，考查對(duì)新情境的應(yīng)變能力． 一、集合的基本概念 1．集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性． 2．元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，表示符號(hào)分別為∈和?. 3．常見數(shù)集的符號(hào)表示： 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集 表示 N N＋(N*) Z Q R 4.集合的

2、三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法． 描述法的一般形式的結(jié)構(gòu)特征 在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范圍，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，豎線不可省略． 二、集合間的基本關(guān)系 1．子集：若對(duì)?x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A. 2．真子集：若A?B，但?x∈B，且x?A，則AB或BA. 3．相等：若A?B，且B?A，則A＝B. 4．空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 子集與真子集的快速求解法 一個(gè)含有n個(gè)元素的集合有2n個(gè)子集，有2n－1個(gè)真子集，有2n－2個(gè)非空真子

3、集． 三、集合的基本運(yùn)算 并集 交集 補(bǔ)集 符號(hào) 表示 A∪B A∩B 若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA 圖形 表示 意義 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 1．集合間的兩個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)換關(guān)系 (1)A∩B＝A?A?B； (2)A∪B＝A?B?A. 2．集合間運(yùn)算的兩個(gè)常用結(jié)論： (1)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)； (2)?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)． 1．已知集合A＝{0,1}，則下列式子錯(cuò)誤的是(　　) A．0∈A　　　　　　　　 B．{1

4、}∈A C．??A D．{0,1}?A 【解析】　∵{1}?A，∴{1}∈A錯(cuò)誤，其余均正確． 【答案】　B 2．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，則A∩B＝(　　) A．{x|－1＜x＜2} B．{x|x＞－1} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2} 【解析】　∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}， ∴如圖所示，A∩B＝{x|1＜x＜2}． 【答案】　D 3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1＜x＜4}，則(　　) A．M?N B．N＝M C．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝(1,4) 【解

5、析】　∵N＝{x∈Z|1＜x＜4}＝{2,3}， ∴M∩N＝{2,3}． 【答案】　C 4．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，則a的值為(　　) A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．4 【解析】　∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}， ∴∴a＝4，故選D. 【答案】　D 5．(2013·山東高考)已知集合A，B均為全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，則A∩(?UB)＝(　　) A．{3} B．{4} C．{3,4} D．? 【解析】　∵

6、U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}， ∴A∪B＝{1,2,3}． 又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}． 又?UB＝{3,4}，∴A∩(?UB)＝{3}． 【答案】　A 6．(2013·江蘇高考)集合{－1,0,1}共有________個(gè)子集． 【解析】　由于集合中有3個(gè)元素，故該集合有23＝8(個(gè))子集． 【答案】　8 考向一 [001]　集合的基本概念 　(1)(2013·山東高考)已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　　B．3　　　　C．5　　　　D．9 (2)(2014·柳州

7、模擬)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m，－3}，若3∈A，則m的值為________． 【思路點(diǎn)撥】　(1)用列舉法把集合B中的元素一一列舉出來． (2)先由m＋2＝3或2m2＋m＝3求得m的值，再檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性． 【嘗試解答】　(1)方法一： 當(dāng)x＝0，y＝0時(shí)，x－y＝0； 當(dāng)x＝0，y＝1時(shí)，x－y＝－1； 當(dāng)x＝0，y＝2時(shí)，x－y＝－2； 當(dāng)x＝1，y＝0時(shí)，x－y＝1； 當(dāng)x＝1，y＝1時(shí)，x－y＝0； 當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，x－y＝－1； 當(dāng)x＝2，y＝0時(shí)，x－y＝2； 當(dāng)x＝2，y＝1時(shí)，x－y＝1； 當(dāng)x＝2，y＝2時(shí)，x－y＝0.根據(jù)

8、集合中元素的互異性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5個(gè)． 方法二：如下表所示： x y　　 0 1 2 0 0 1 2 1 －1 0 1 2 －2 －1 0 ∴x－y的值只有－2，－1,0,1,2，共5個(gè)． (2)∵3∈A，∴m＋2＝3或2m2＋m＝3，解得m＝1或m＝－. 當(dāng)m＝1時(shí)，m＋2＝2m2＋m＝3，不滿足集合元素的互異性，當(dāng)m＝－時(shí)，A＝滿足題意．故m＝－. 【答案】　(1)C　(2)－ 規(guī)律方法1　1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明確集合類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其它的集合. 2.對(duì)于

9、含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿足互異性. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(2014·深圳模擬)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為(　　) A．3　　　B．6　　　C．8　　　D．10 (2)已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 【解析】　(1)因?yàn)锳＝{1,2,3,4,5}，所以集合A中的元素都為正數(shù)，若x－y∈A，則必有x－y＞0，即x＞y. 當(dāng)y＝1時(shí)，x可取2,3,4,5，共有4個(gè)數(shù)； 當(dāng)y＝2時(shí)，x可取3,4,5，共有3個(gè)數(shù)； 當(dāng)y

10、＝3時(shí)，x可取4,5，共有2個(gè)數(shù)； 當(dāng)y＝4時(shí)，x只能取5，共有1個(gè)數(shù)； 當(dāng)y＝5時(shí)，x不能取任何值． 綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)為4＋3＋2＋1＝10，即集合B中的元素共有10個(gè)，故選D. (2)∵A＝?，∴方程ax2－3x＋2＝0無實(shí)根， 當(dāng)a＝0時(shí)，x＝不合題意， 當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝9－8a＜0，∴a＞. 【答案】　(1)D　(2) 考向二 [002]　集合間的基本關(guān)系 　(1)已知a∈R，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，則a2 014＋b2 014＝________. (2)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A

11、∪B＝A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 【思路點(diǎn)撥】　(1)0∈，則b＝0,1∈{a2，a,0}，則a2＝1，a≠1，從而a，b可求． (2)A∪B＝A?B?A，分B＝?和B≠?兩種情況求解． 【嘗試解答】　(1)由已知得＝0及a≠0，所以b＝0， 于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應(yīng)舍去，因此a＝－1， 故a2 014＋b2 014＝(－1)2 014＝1. (2)A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}， 又A∪B＝A，所以B?A. ①若B＝?，則2m－1＜m＋1，此時(shí)m＜2. ②若B≠?，則解得2≤m≤3. 由

12、①、②可得，符合題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤3. 【答案】　(1)1　(2)(－∞，3] 規(guī)律方法2　1.解答本例(2)時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是A∪B＝A?B?A；二是B?A時(shí)，應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況討論. 2.已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.解決這類問題常常合理利用數(shù)軸、Venn圖化抽象為直觀. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

13、2＋x－6＝0}，N＝{x|ax＋2＝0，a∈R}，且M∩N＝N，則實(shí)數(shù)a的取值集合是________． 【解析】　(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2， ∴A＝{1,2}． 由題意知B＝{1,2,3,4}，∴滿足條件的C可為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)因?yàn)镸∩N＝N，所以N?M.又M＝{－3,2}， 若N＝?，則a＝0. 若N≠?，則N＝{－3}或N＝{2}． 所以－3a＋2＝0或2a＋2＝0，解得a＝或a＝－1. 所以a的取值集合是. 【答案】　(1)D　(2) 考向三 [003]　集合的基本運(yùn)算 　(1)(2014·

14、湖南師大附中模擬)設(shè)集合A＝{1,2,3,5,7}，B＝{x∈Z|1＜x≤6}，全集U＝A∪B，則A∩(?UB)等于(　　) A．{1,4,6,7}　　　　　　　 B．{2,3,7} C．{1,7} D．{1} (2)(2014·煙臺(tái)模擬)設(shè)全 圖1－1－1 集U＝R，M＝{x|x2＋3x＜0}，N＝{x|x＜－1}，則圖1－1－1中陰影部分表示的集合為(　　) A．{x|x≥－1} B．{x|－3＜x＜0} C．{x|x≤－3} D．{x|－1≤x＜0} 【思路點(diǎn)撥】　(1)求B→求A∪B→求?UB→求A∩(?UB)． (2)求M→分析陰影區(qū)域表示的集合→借

15、助數(shù)軸求該集合． 【嘗試解答】　(1)∵B＝{x∈Z|1＜x≤6}＝{2,3,4,5,6}． 又A＝{1,2,3,5,7} . ∴A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7}． ∴?UB＝{1,7}．∴A∩(?UB)＝{1,7}． (2)∵M(jìn)＝{x|x2＋3x＜0}＝{x|－3＜x＜0}，N＝{x|x＜－1} ∴?UN＝{x|x≥－1}． 又由Venn圖可知，該陰影部分表示的集合為M∩(?UN)． 所以M∩(?UN)＝{x|－1≤x＜0}． 【答案】　(1)C　(2)D 規(guī)律方法3　1.求解本例(2)的關(guān)鍵是明確陰影區(qū)域元素的屬性. 2.在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn

16、圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化.一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(2013·浙江高考)設(shè)集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，則(?RS)∪T＝(　　) A．(－2,1]　　　　　 B．(－∞，－4] C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 圖1－1－2 (2)如圖1－1－2，已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列舉法寫出圖中陰影部分表示的集合為________．

17、 【解析】　(1)因?yàn)镾＝{x|x＞－2}，所以?RS＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(?RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}． (2)由圖可知，該陰影部分表示的集合為A∩C∩(?UB)． 又A∩C＝{2,4,5,8}，?UB＝{2,6,8,9,10}， 故A∩C∩(?UB)＝{2,8}． 【答案】　(1)C　(2){2,8} 思想方法之一　數(shù)形結(jié)合思想在集合中的妙用 數(shù)形結(jié)合思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維相結(jié)合，使問題化難為易、化抽象為具體． 數(shù)形結(jié)合思想在集合中的應(yīng)用具體體現(xiàn)在以下

18、三個(gè)方面： (1)利用Venn圖，直觀地判斷集合的包含或相等關(guān)系． (2)利用Venn圖，求解有限集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算． (3)借助數(shù)軸，分析無限集合的包含或相等關(guān)系或求解集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算結(jié)果及所含參變量的取值范圍問題． ————　[1個(gè)示范例]　————　[1個(gè)對(duì)點(diǎn)練]　———— 　　　(2012·天津高考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝________，n＝________. 【解析】　∵A＝{x|－5＜x＜1}，B＝{x|(x－m)(x－2)＜0}， 且A∩B＝{x|－1＜x＜n}

19、． 如圖所示 由圖可知A∩B＝{x|－1＜x＜1}，故n＝1，m＝－1.,　設(shè)A＝{x|－2＜x＜－1，或x＞1}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}．已知A∪B＝{x|x＞－2}，A∩B＝{x|1＜x≤3}，則a＝________，b＝________. 【解析】　如圖所示． 設(shè)想集合B所表示的范圍在數(shù)軸上移動(dòng)，顯然當(dāng)且僅當(dāng)B覆蓋住集合{x|－1≤x≤3}時(shí)符合題意． 根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，可知－1與3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根， ∴a＝－(－1＋3)＝－2，b＝(－1)×3＝－3. 【答案】　－2?。? 第二節(jié)　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

20、[考情展望]　1.直接考查“若p，則q”形式的四種命題及其真假性的判定.2.以函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)為載體，考查充分必要條件的判定方式.3.借助充要條件探索命題成立的依據(jù)． 一、四種命題及其關(guān)系 1．四種命題間的相互關(guān)系： 2．四種命題的真假關(guān)系 (1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； (2)兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 二、充分條件與必要條件 1．如果p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件． 2．如果p?q，那么p與q互為充要條件． 3．如果pD/?q，且qD/?p，則p是q的既不充分又不必要條件． 充分

21、條件與必要條件的兩個(gè)特征 (1)對(duì)稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p?q”?“q?p”； (2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件． 注意區(qū)分“p是q的充分不必要條件”與“p的一個(gè)充分不必要條件是q”兩者的不同，前者是“p?q”而后者是“q?p”． 1．已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是(　　) A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2＜3 B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2＜3 C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，

22、則a＋b＋c＝3 【解析】　命題“若p，則q”的否命題是“若綈p，則綈q”，將條件與結(jié)論進(jìn)行否定． ∴否命題是：若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2＜3. 【答案】　A 2．命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是(　　) A．若α≠，則tan α≠1　　 B．若α＝，則tan α≠1 C．若tan α≠1，則α≠ D．若tan α≠1，則α＝ 【解析】　由命題與其逆否命題之間的關(guān)系可知，原命題的逆否命題是：若tan α≠1，則α≠. 【答案】　C 3．命題“若a＞－3，則a＞－6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中假命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　 B．2　　　

23、 C．3　　　 D．4 【解析】　原命題正確，從而其逆否命題正確；其逆命題為“若a＞－6，則a＞－3”是假命題，從而其否命題也是假命題，故選B. 【答案】　B 4．下列命題正確的有________． ①“a＞b”是“a2＞b2”的充分條件； ②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的充要條件； ③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要條件； ④“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要條件． 【解析】　由于|a|＞|b|?a2＞b2，a＞b?a＋c＞b＋c，故②③正確．由于a＞bD/?a2＞b2，且a2＞b2D/?a＞b，故①錯(cuò)；當(dāng)c2＝0時(shí)，a＞bD/?ac2＞bc2，故④錯(cuò)． 【答案

24、】　②③ 5．(2013·安徽高考)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　當(dāng)x＝0時(shí)，顯然(2x－1)x＝0；當(dāng)(2x－1)x＝0時(shí)，x＝0或x＝，所以“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分條件． 【答案】　B 6．(2013·湖南高考)“1

25、∈B，反之不一定成立．因此“1

26、0”的否命題是“若a≠0，則ab≠0”； ③命題“正多邊形都相似”的逆命題為真命題； ④命題“若a∈M，則b?M”與命題“若b∈M，則a?M”等價(jià)． 【思路點(diǎn)撥】　(1)直接根據(jù)逆否命題的定義寫出，但應(yīng)注意“都是”的否定是“不都是”． (2)借助命題真假的判斷方式逐一辨析即可． 【嘗試解答】　(1)“x＋y是偶數(shù)”的否定為“x＋y不是偶數(shù)”，“x，y都是偶數(shù)”的否定為“x，y不都是偶數(shù)”．因此其逆否命題為“若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”．故選C. (2)①由log2a＞0可知a＞1，故函數(shù)f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，故①錯(cuò)誤． ②正確．

27、③的逆命題為“相似的多邊形是正多邊形”是假命題，故③錯(cuò)誤． ④正確．原命題與其逆否命題是等價(jià)命題． 【答案】　(1)C　(2)②④ 規(guī)律方法1　1.(1)在判斷四種命題之間的關(guān)系時(shí)，首先要分清命題的條件與結(jié)論，再考查每個(gè)命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系．(2)當(dāng)一個(gè)命題有大前提而需寫出其他三種命題時(shí)，必須保留大前提不變． 2．判定命題為真，必須推理證明；若說明為假，只需舉出一個(gè)反例．互為逆否命題是等價(jià)命題，根據(jù)需要，可相互轉(zhuǎn)化． 考向二 [005]　充分條件與必要條件的判定 　(1)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標(biāo)原點(diǎn)”的(　　) A．充分而不必要條

28、件　　　 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(2013·山東高考)給定兩個(gè)命題p，q.若綈p是q的必要而不充分條件，則p是綈q的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【思路點(diǎn)撥】　(1)根據(jù)曲線y＝sin(2x＋φ)過原點(diǎn)時(shí)sin φ＝0以及舉反例法求解． (2)借助原命題與逆否命題的等價(jià)判斷． 【嘗試解答】　(1)當(dāng)φ＝π時(shí)，y＝sin(2x＋φ)＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，此時(shí)曲線y＝sin(2x＋φ)必過原點(diǎn)，但曲線y＝sin(2x＋φ)過原點(diǎn)時(shí)，φ可以取其他

29、值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標(biāo)原點(diǎn)”的充分而不必要條件． (2)若綈p是q的必要不充分條件，則q?綈p但綈pD/?q，其逆否命題為p?綈q但綈qD/?p，∴p是綈q的充分不必要條件． 【答案】　(1)A　(2)A 規(guī)律方法2　充分、必要條件的三種判斷方法 1．定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件． 2．等價(jià)法：利用p?q與綈q?綈p，q?p與綈p?綈q，p?q與綈q?綈p的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法． 3．集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A

30、的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件． 考向三 [006]　充分條件與必要條件的應(yīng)用 　(2014·保定模擬)設(shè)命題p：2x2－3x＋1≤0； 命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【思路點(diǎn)撥】　思路一：求綈p及綈q，由綈q?綈p，但綈pD/?綈q建立實(shí)數(shù)a的不等關(guān)系，解不等式便可． 思路二：由先解不等式把命題p、q具體化，再由互為逆否命題的等價(jià)性確定p、q之間的關(guān)系，最后根據(jù)集合的關(guān)系列不等式求解． 【嘗試解答】　方法一：由2x2－3x＋1≤0得≤x≤1， 即命題p：≤x≤1， 所以命題綈p：

31、x＜或x＞1. 由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0得a≤x≤a＋1， 即命題q：a≤x≤a＋1. 所以命題綈q：x＜a或x＞a＋1 因?yàn)榻恜是綈q的必要不充分條件，所以綈q?綈p，但綈pD/?綈q. 如圖所示： 故，即0≤a≤. 方法二：由2x2－3x＋1≤0得≤x≤1， 由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0得 a≤x≤a＋1，由綈p是綈q的必要不充分條件知，p是q的充分不必要條件，即{x|a≤x≤a＋1}， ∴∴0≤a≤. 【答案】　 規(guī)律方法3　1.借助命題間的等價(jià)關(guān)系直接建立參數(shù)a的不等關(guān)系，避免了繁瑣轉(zhuǎn)換計(jì)算，將失誤降到最低. 2.解決此類問題

32、一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式求解. 3.注意利用轉(zhuǎn)化的方法理解充分必要條件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)條件，則p是q的必要不充分(充分不必要、充要)條件. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　已知命題p：命題q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的必要而不充分條件，則m的取值范圍為________． 【解析】　命題p：－2≤x≤10，由q是p的必要不充分條件知， {x|－2≤x≤10}{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}， ∴或， ∴m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞)． 【答案】　[9，＋∞) 易錯(cuò)易誤之一

33、　“條件”與“結(jié)論”顛倒黑白釀失誤 ————　[1個(gè)示范例]　————　[1個(gè)防錯(cuò)練]　———— 　　　(2014·濟(jì)南模擬)下面四個(gè)條件中，使a＞b成立的充分而不必要的條件是(　　) A．a(chǎn)＞b＋1　　　　　　　 B．a(chǎn)＞b－1 C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3 【解析】　要求a＞b成立的充分不必要條件，必須滿足 由選項(xiàng)能推出a＞b，而由a＞b推不出選項(xiàng)． 此處在求解中，常誤認(rèn)為“由a＞b推出選項(xiàng)，而由選項(xiàng)推不出a＞b”而錯(cuò)選B.出錯(cuò)的原因是“分不清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論”．在選項(xiàng)A中，a＞b＋1能使a＞b成立，而a＞b時(shí)a＞b＋1不一定成立，故A正確；在選項(xiàng)B中a＞b－

34、1時(shí)a＞b不一定成立，故B錯(cuò)誤；在選項(xiàng)C中，a2＞b2時(shí)a＞b也不一定成立，因?yàn)閍，b不一定均為正值，故C錯(cuò)誤；在選項(xiàng)D中，a3＞b3是a＞b成立的充要條件，故D也錯(cuò)誤． 【防范措施】　充分條件、必要條件是相對(duì)的概念，在進(jìn)行判斷時(shí)一定要注意哪個(gè)是“條件”，哪個(gè)是“結(jié)論”，如“A是B成立的……條件”，其中A是條件；“A成立的……條件是B”，其中B是條件. 　設(shè)集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，則B是A的真子集的一個(gè)充分不必要條件是________． 【解析】　A＝{－3,2}，當(dāng)B＝?時(shí)，BA，此時(shí)m＝0， 當(dāng)B≠?時(shí)，B＝，則－＝－3或－＝2， ∴m＝或m

35、＝－. 故B是A的真子集的一個(gè)充分不必要條件是m＝0(答案不唯一)． 【答案】　m＝0(答案不唯一) 第三節(jié)　簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 [考情展望]　1.以選擇題的形式考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假.2.以選擇題或填空題的形式考查含有一個(gè)量詞的命題的否定.3.與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)相結(jié)合，考查全稱命題或特稱命題的真假． 一、命題p∧q，p∨q，綈p的真假判斷 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 常見詞語的否定形式 正面

36、詞語 ＝ ＞ ＜ 是 都是 至多有一個(gè) 至少有一個(gè) 任意 所有的 否定 ≠ ≤ ≥ 不是 不都是 至少兩個(gè) 一個(gè)也沒有 某個(gè) 某些 二、全稱量詞與存在量詞 1．全稱量詞與全稱命題 (1)短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“?”表示． (2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題． (3)全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M，p(x)． 2．存在量詞與特稱命題 (1)短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“?”表示． (2)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題． (

37、3)特稱命題“存在M中的一個(gè)x0，使p(x0)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x0∈M，p(x0)． 三、含有一個(gè)量詞的命題的否定 命題 命題的否定 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，綈p(x0) ?x0∈M，p(x0) ?x∈M，綈p(x) 1．已知命題p：?x∈R，sin x≤1，則(　　) A．綈p：?x0∈R，sin x0≥1 B．綈p：?x∈R，sin x≥1 C．綈p：?x0∈R，sin x0＞1 D．綈p：?x∈R，sin x＞1 【解析】　全稱命題的否定是特稱命題，“sin x≤1”的否定是“sin x＞1”，故選C. 【答案】　C 2．若p是真命題，q是

38、假命題，則(　　) A．p∧q是真命題　　　　 B．p∨q是假命題 C．綈p是真命題 D．綈q是真命題 【解析】　由真值表知，綈q是真命題，故選D. 【答案】　D 3．下列命題中為真命題的是(　　) A．?x∈R，x2＋2x＋1＝0 B．?x0∈R，－≥0 C．?x∈N*，log2x＞0 D．?x0∈R，cos x0＞x＋2x0＋3 【解析】　對(duì)于A，當(dāng)x＝1時(shí)，x2＋2x＋1≠0，故A錯(cuò)； 對(duì)于B，當(dāng)x0＝1時(shí)，－≥0，故B正確； 對(duì)于C，當(dāng)x＝1時(shí)，log2x＝0，故C錯(cuò)； 對(duì)于D，x＋2x0＋3＝(x0＋1)2＋2≥2，故D錯(cuò)． 【答案】　B 4．命題“

39、?x0∈R,2x－3ax0＋9＜0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 【解析】　由題意可知，“?x∈R,2x2－3ax＋9≥0”是真命題，即Δ＝9a2－72≤0，解得－2≤a≤2. 【答案】　[－2，2] 5．(2013·重慶高考)命題“對(duì)任意x∈R，都有x2≥0”的否定為(　　) A．對(duì)任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0 C．存在x0∈R，使得x≥0 D．存在x0∈R，使得x<0 【解析】　因?yàn)椤?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”，故“對(duì)任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x<0”． 【答案】　D

40、 6．(2013·湖北高考)在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次．設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為(　　) A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q) C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q 【解析】　依題意得綈p：甲沒有降落在指定范圍，綈q：“乙沒有降落在指定范圍”，因此“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為(綈p)∨(綈q)． 【答案】　A 考向一 [007]　含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷 　(2014·沈陽模擬)已知命題p：?x∈R，使2x＋2－x＝1； 命題q：?x∈R都有l(wèi)g

41、(x2＋2x＋3)＞0.下列結(jié)論中正確的是(　　) A．命題“p∧q”是真命題 B．命題“p∧綈q”是真命題 C．命題“綈p∧q”是真命題 D．命題“綈p∨綈q”是假命題 【思路點(diǎn)撥】　先判斷命題p、q、綈p、綈q的真假，再根據(jù)p∧q、p∨q、綈p的真假規(guī)則進(jìn)行判斷． 【嘗試解答】　p是假命題，因?yàn)閷?duì)?x∈R,2x∈(0，＋∞)． 又由2x＋2－x≥2＝2可知，不存在x，使得2x＋2－x＝1成立． q是真命題，因?yàn)閘g(x2＋2x＋3)＝lg[(x＋1)2＋2]≥lg 2＞0 結(jié)合真值表可知，“p∧q”、“p∧綈q”是假命題，“綈p∧q”及“綈p∨綈q”均是真命題，故選C.

42、 【答案】　C 規(guī)律方法1　1.“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命題真假的判斷步驟,(1)確定命題的構(gòu)成形式； (2)判斷其中命題p、q的真假；,(3)確定“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命題的真假.,2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p則是“與p的真假相反”. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)已知命題p：??{0}，q：{1}∈{1,2}，由它們構(gòu)成的“p∨q”，“p∧q”，“綈p”形式的命題中，真命題有(　　) A．0個(gè)　　　B．1個(gè)　　　C．2個(gè)　　　D．3個(gè) (2)已知命題p：方程x2－mx＋1＝0有實(shí)數(shù)解，命題q：x2－2x＋m＞0對(duì)任

43、意x恒成立．若命題q∨(p∧q)真、綈p真，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 【解析】　(1)命題p為真命題，命題q為假命題，則p∨q為真命題，p∧q為假命題，綈p為假命題． (2)由于綈p真，所以p假，則p∧q假，又q∨(p∧q)真，故q真，即命題p假、q真．當(dāng)命題p假時(shí)，即方程x2－mx＋1＝0無實(shí)數(shù)解，此時(shí)m 2－4＜0，解得－2＜m＜2；當(dāng)命題q真時(shí)，4－4m＜0，解得m＞1.所以所求的m的取值范圍是1＜m＜2. 【答案】　(1)B　(2)1＜m＜2 考向二 [008]　全稱命題、特稱命題的真假判斷 　(2014·臨沂模擬)下列命題中是假命題的是(　　) A．?x∈，

44、x＞sin x B．?x0∈R，sin x0＋cos x0＝2 C．?x∈R,3x＞0 D．?x0∈R，lg x0＝0 【思路點(diǎn)撥】　(1)明確命題的類型，即全稱命題還是特稱命題． (2)根據(jù)命題的條件與結(jié)論確定判斷方法． 【嘗試解答】　對(duì)于A，令f(x)＝x－sin x，則f′(x)＝1－cos x，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＞0.從而f(x)在上是增函數(shù)，則f(x)＞f(0)＝0，即x＞sin x，故A正確；對(duì)于B，由sin x＋cos x＝sin≤＜2知，不存在x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知3x＞0，故C正確；對(duì)于D，由lg 1＝0知，D正確．

45、綜上知選B. 【答案】　B 規(guī)律方法2　1.(1)要判斷一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定的集合M中的每一個(gè)元素x，證明p(x)成立.(2)要判斷一個(gè)全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可.,2.要判斷一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個(gè)x＝x0，使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題. 考向三 [009]　含有一個(gè)量詞的命題的否定 　寫出下列命題的“否定”，并判斷其真假． (1)p：?x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：?x0∈R，x＋2x0＋2≤0； (4)s：至少有一個(gè)實(shí)

46、數(shù)x0，使x＋1＝0. 【思路點(diǎn)撥】　(1)分析命題所含的量詞、明確命題類型． (2)從量詞和結(jié)論兩方面否定命題． 【嘗試解答】　(1)綈p：?x0∈R，x－x0＋<0，假命題，這是因?yàn)?x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立． (2)綈q：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，假命題． (3)綈r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命題，這是由于?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0成立． (4)綈s：?x∈R，x3＋1≠0，假命題．這是由于x＝－1時(shí)，x3＋1＝0. 規(guī)律方法3　1.弄清命題是全稱命題還是特稱命題，是正確寫出命題否定的前提. 2.要判斷“綈p”命題的真假，可以直接

47、判斷，也可以判斷p的真假，因?yàn)閜與綈p的真假相反. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(2012·湖北高考)命題“存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是(　　) A．任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) B．任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù) C．存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù) D．存在一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù) 【解析】　特稱命題的否定是全稱命題， 原命題的否定是“任意一個(gè)無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”．故選B. 【答案】　B 易錯(cuò)易誤之二　命題的否定≠否命題 ————　[1個(gè)示范例]　————　[1個(gè)防錯(cuò)練]　———— 　　 (2013·四川高考)設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B

48、是偶數(shù)集．若命題p：?x∈A,2x∈B，則(　　) A．綈p：?x∈A,2x?B　　 B．綈p：?x?A,2x?B C．綈p：?x?A,2x∈B D．綈p：?x∈A,2x?B 【解析】　由命題的否定的定義及全稱命題的否定為特稱命題可得． 命題p是全稱命題： ?x∈A,2x∈B，則綈p是 特稱命題：?x∈A,2x?B.故選D. 【防范措施】　1.命題的否定是只否定這個(gè)命題的結(jié)論；而對(duì)于“若p，則q”形式的否命題為“若綈p，則綈q”． 2．對(duì)于全(特)稱命題的否定，書寫時(shí)應(yīng)從兩方面著手：一是對(duì)量詞或?qū)α吭~符號(hào)進(jìn)行改寫；二是對(duì)命題的結(jié)論進(jìn)行否定．兩者缺一不可． 　(2014·揭陽一中聯(lián)考)已知命題p：對(duì)任意x∈R，有cos x≤1，則(　　) A．綈p：存在x∈R，使cos x≥1 B．綈p：對(duì)任意x∈R，有cos x≥1 C．綈p：存在x∈R，使cos x＞1 D．綈p：對(duì)任意x∈R，有cos x＞1 【解析】　因?yàn)槊}p是全稱命題， 故綈p是特稱命題，其形式為： 存在x∈R，使cos x＞1. 【答案】　C