《人教版高中數(shù)學(xué)選修11:2.3 拋 物 線 課時(shí)提升作業(yè)十五 2.3.1 Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《人教版高中數(shù)學(xué)選修11:2.3 拋 物 線 課時(shí)提升作業(yè)十五 2.3.1 Word版含解析(10頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2019版數(shù)學(xué)精品資料(人教版)
課時(shí)提升作業(yè)(十五)
拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
(25分鐘 60分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.(2014·安徽高考)拋物線y=14x2的準(zhǔn)線方程是 ( )
A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2
【解題指南】將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式即可得出.
【解析】選A.由y=14x2得x2=4y,所以拋物線的準(zhǔn)線方程是y=-1.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2014·陜西高考)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為 .
【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)得拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1.
答案:x=-1
2.(2015·陜西高考
2、)已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,1),則拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( )
A.(-1,0) B.(1,0)
C.(0,-1) D.(0,1)
【解題指南】利用拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,1),求得p2=1,即可求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】選B.因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,1),所以p2=1,所以該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).
3.(2015·長(zhǎng)沙高二檢測(cè))過(guò)點(diǎn)F(0,3)且和直線y+3=0相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 ( )
A.y2=12x B.y2=-12x
C.x2=12y D.x
3、2=-12y
【解析】選C.由題意知?jiǎng)訄A圓心到點(diǎn)F(0,3)的距離等于到定直線y=-3的距離,故動(dòng)圓圓心的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn),直線y=-3為準(zhǔn)線的拋物線.故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為x2=12y.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)滿足(x-1)2+(y-2)2=|3x+4y-10|5,則P點(diǎn)的軌跡是( )
A.直線 B.圓 C.橢圓 D.拋物線
【解析】選D.由題意知,動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)(1,2)和定直線3x+4y-10=0的距離相等,又點(diǎn)(1,2)不在直線3x+4y-10=0上,所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線.
4.拋物線x2=4y上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為 (
4、)
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】選D.拋物線的準(zhǔn)線為y=-1,所以點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為5,又因?yàn)辄c(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離相等,所以距離為5.
【一題多解】選D.因?yàn)閥=4,所以x2=4·y=16,
所以x=±4,所以取A(4,4),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),
所以所求距離為42+(4-1)2=25=5.
5.(2015·山師附中高二檢測(cè))已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 ( )
A.172 B.2 C.5 D.92
【解析】選A.如圖,由拋物線定義知|P
5、A|+|PQ|=|PA|+|PF|,則所求距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PF|的最小值,則當(dāng)A,P,F三點(diǎn)共線時(shí),|PA|+|PF|取得最小值.
又A(0,2),F12,0,
所以(|PA|+|PF|)min=|AF|
=0-122+(2-0)2=172.
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.對(duì)于拋物線y2=4x上任意一點(diǎn)Q,點(diǎn)P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|,則a的取值范圍是 .
【解析】設(shè)Qt24,t,由|PQ|≥|a|得t24-a2+t2≥a2,t2(t2+16-8a)≥0,t2+16-8a≥0,故t2≥8a-16恒成立,則8a-16≤0,a≤2,故a的
6、取值范圍是(-∞,2].
答案:(-∞,2]
7.設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是 .
【解析】由拋物線的方程得p2=42=2,再根據(jù)拋物線的定義,可知所求距離為4+2=6.
答案:6
8.若點(diǎn)P到F(3,0)的距離比它到直線x+4=0的距離小1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 .
【解題指南】可以考慮運(yùn)用直接法,設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),列等式或考慮拋物線的定義.
【解析】由題意知點(diǎn)P到F(3,0)的距離比它到直線x=-4的距離小1,則應(yīng)有P到(3,0)的距離與它到直線x=-3的距離相等.故P的軌跡為拋物線且以F(3,0)為焦點(diǎn),所以p2=3,p=
7、6,故拋物線方程為y2=12x.
答案:y2=12x
三、解答題(每小題10分,共20分)
9.已知拋物線的焦點(diǎn)在x軸上,拋物線上的點(diǎn)M(-3,m)到焦點(diǎn)的距離是5.
(1)求拋物線方程和m的值.
(2)求拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程.
【解析】(1)設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p>0),
則焦點(diǎn)坐標(biāo)F-p2,0,準(zhǔn)線方程x=p2.
由拋物線定義知,點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于5,
即點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離等于5,
則3+p2=5,所以p=4,所以拋物線方程為y2=-8x,
又點(diǎn)M(-3,m)在拋物線上,
所以m2=24,所以m=±26,
所以所求拋物線方程為y2=-8x,m=±26.
8、
(2)因?yàn)閜=4,所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),
準(zhǔn)線方程是x=2.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2013·福建高考)如圖,在正方形OABC中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,10),分別將線段OA和AB十等分,分點(diǎn)分別記為A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9,連接OBi,過(guò)Ai作x軸的垂線與OBi交于點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9).
求證:點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,并求拋物線E的方程.
【解析】依題意,過(guò)Ai(i∈N*,1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x=i,
因?yàn)锽i(10,i),所以直線OBi的方程為y=i10x,
9、設(shè)Pi坐標(biāo)為(x,y),由x=i,y=i10x得:
y=110x2,即x2=10y,
所以Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,且拋物線E的方程為x2=10y.
10.(2015·長(zhǎng)春高二檢測(cè))如圖所示,一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路,其截面由長(zhǎng)方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成,為保證安全,要求行駛車(chē)輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O,其對(duì)稱軸所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),求該拋物線的方程.
(2)若行車(chē)道總寬度AB為7米,請(qǐng)計(jì)算通過(guò)隧道的車(chē)輛限制高度為多少米(精確到0.1米)?
【解析】如圖所示
10、
(1)依題意,設(shè)該拋物線的方程為x2=-2py(p>0),因?yàn)辄c(diǎn)C(5,-5)在拋物線上,可解得p=52,所以該拋物線的方程為x2=-5y.
(2)設(shè)車(chē)輛高h(yuǎn)米,則|DB|=h+0.5,
故D(3.5,h-6.5),
代入方程x2=-5y,解得h=4.05,所以車(chē)輛通過(guò)隧道的限制高度為4.0米.
(20分鐘 40分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn),A,B是該拋物線上的兩點(diǎn),|AF|+|BF|=3,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 ( )
A.34 B.1 C.54 D.74
【解析】選C.根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理,
11、得線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為12(|AF|+|BF|)-14=32-14=54.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】拋物線y2=-2px(p>0)的焦點(diǎn)恰好與橢圓x29+y25=1的一個(gè)焦點(diǎn)重合,則p= ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】選C.橢圓中a2=9,b2=5,所以c2=a2-b2=4,所以c=2,
所以F1(-2,0),F2(2,0),拋物線y2=-2px(p>0)的焦點(diǎn)F-p2,0與F1重合,所以-p2=-2,所以p=4.
2.(2015·浙江高考)如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,其中點(diǎn)A,B在拋物線上,點(diǎn)C在y軸上
12、,則△BCF與△ACF的面積之比是( )
A.|BF|-1|AF|-1 B.|BF|2-1|AF|2-1
C.|BF|+1|AF|+1 D.|BF|2+1|AF|2+1
【解析】選A.S△BCFS△ACF=12BC·h12AC·h=|BC||AC|=|BM||AN|=xBxA
=BF-1AF-1.
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.(2015·深圳高二檢測(cè))設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,A為垂足.如果直線AF的斜率為-3,那么|PF|= .
【解析】如圖所示,
∠AFE=60°,
又F(2,0),
13、所以E(-2,0),
所以AEEF=tan60°,
所以AE=43,
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,43),
所以|PF|=|PA|=6+2=8.
答案:8
4.(2014·湖南高考)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a,b(a0)經(jīng)過(guò)C,F兩點(diǎn),則ba= .
【解題指南】由正方形的邊長(zhǎng)給出點(diǎn)C,F的坐標(biāo),代入拋物線方程求解.
【解析】由題意可得Ca2,-a,
Fa2+b,b,則a2=pa,b2=2pa2+b,ba=2+1.
答案:2+1
三、解答題(每小題10分,共20分)
5.設(shè)點(diǎn)P是曲線y
14、2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x=-1的距離之和的最小值.
(2)若B(3,2),點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn),求|PB|+|PF|的最小值.
【解析】(1)如圖,易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線是x=-1,由拋物線的定義知:點(diǎn)P到直線x=-1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離,于是,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在曲線上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小.顯然,連接AF交曲線于P點(diǎn),故最小值為22+12=5.
(2)
如圖,自B作BQ垂直準(zhǔn)線于Q,交拋物線于P1,
此時(shí),|P1Q|=|P1F|,
那么|PB|+|PF|≥
15、|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,
即|PB|+|PF|的最小值為4.
6.(2015·蘇州高二檢測(cè))如圖所示,花壇的水池中央有一噴泉,水管O′P=1m,水從噴頭P噴出后呈拋物線狀,先向上至最高點(diǎn)后落下.若最高點(diǎn)距水面2m,P距拋物線的對(duì)稱軸1m,則水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計(jì)為多少米(精確到1m)?
【解析】如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0).
依題意有P′(1,-1)在此拋物線上,
代入拋物線方程,得p=12.
故得拋物線方程為x2=-y.
因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上,將B(x,-2)代入拋物線方程得x=2,
即|AB|=2,則|AB|+1=2+1,
因此所求水池的直徑為2(1+2)m,約為5m,
即水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計(jì)為5m.
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