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1、
考 點
考 情
絕對值不等式的求解
高考對本講內(nèi)容的考查主要有：
(1)不等式性質(zhì)的應用，絕對值不等式的解法，如陜西T15A.
(2)不等式的證明，如江蘇T21D.
(3)與絕對值不等式有關的參數(shù)問題的求解.
與絕對值不等式有關的參數(shù)范圍問題
不等式的證明與綜合應用
1．(20xx·福建高考)設不等式|x－2|
2、1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
當且僅當(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2時取到等號．
所以f(x)的最小值為3.
2．(20xx·江蘇高考)已知a≥b>0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.
證明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
因為a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，
從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，
即2a3－b3≥2ab2－a2b.
3．(20xx·福建高考)已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x
3、＋2)≥0的解集為[－1,1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9.
解：(1)因為f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等價于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集為{x|－m≤x≤m}．
又因為f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，故m＝1.
(2)證明：由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，
由柯西不等式得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥＋2＝9.
1．絕對值不等式
定理1：如果a，b是實數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當ab≥0時，等號成立．
定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么
4、|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0時，等號成立．
2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c(c>0)?－c≤ax＋b≤c.
(2)|ax＋b|≥c(c>0)?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
(1)利用絕對值不等式幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想．
(2)利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)分類討論思想．
(3)通過構建函數(shù)，利用函數(shù)圖像求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程思想．
4．證明不等式的基本方法
(1)比較法；(
5、2)綜合法；(3)分析法；(4)反證法；(5)放縮法．
5．二維形式的柯西不等式
若a，b，c，d∈R，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時等號成立.
熱點一
絕對值不等式的求解
[例1] (20xx·遼寧高考)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)當a＝2時，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知關于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2}，求a的值．
[自主解答] (1)當a＝2時，f(x)＋|x－4|＝
當x≤2時，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，
解得x≤1
6、；
當20，則|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c，|ax＋b
7、|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根據(jù)a，b的取值求解即可；
(2)若c<0，則|ax＋b|≤c的解集為?，|ax＋b|≥c的解集為R.
2.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
(1)令每個絕對值符號里的一次式為0，求出相應的根；
(2)把這些根由小到大排序，它們把數(shù)軸分為若干個區(qū)間；
(3)在所分區(qū)間上，根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號，討論所得的不等式在這個區(qū)間上的解集；
(4)這些解集的并集就是原不等式的解集.
1．已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)證明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x
8、＋15的解集．
解：(1)證明：當x≤2時，f(x)＝2－x－(5－x)＝－3；
當2
9、15?x2－8x＋12≤0?2≤x≤6，
所以f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5≤x≤6}．
綜上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－≤x≤6}．
熱點二
與絕對值不等式有關的參數(shù)范圍問題
[例2] (20xx·新課標全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)當a＝－2時，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(2)設a＞－1，且當x∈時，f(x)≤g(x)，求a的取值范圍．
[自主解答] (1)
當a＝－2時，不等式f(x)＜g(x)化為|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
設函數(shù)y＝|2x－1|
10、＋|2x－2|－x－3，則
y＝其圖像如圖所示．
從圖像可知，當且僅當x∈(0,2)時，y<0，所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)當x∈時，f(x)＝1＋a.
不等式f(x)≤g(x)化為1＋a≤x＋3.
所以x≥a－2對x∈都成立．
故－≥a－2，即a≤.
從而a的取值范圍是.
——————————規(guī)律·總結(jié)——————————————————————
1．解決含參數(shù)的絕對值不等式問題，常用以下兩種方法：
(1)將參數(shù)分類討論，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)解決；
(2)借助于絕對值的幾何意義，先求出f(x)的最值或值域，然后再根據(jù)題目要求，求解參數(shù)的取值范圍．
11、
2．解答此類問題應熟記以下轉(zhuǎn)化：f(x)>a恒成立?f(x)min>a；f(x)a有解?f(x)max>a；f(x)a無解?f(x)max≤a；f(x)5的解集為{x|x>2或x<－3}．
(1)求a的值；
(2)若不等式f(x)－f≤k在R上有解，求k的取值范圍．
解：(1)由|ax＋1|>5得ax>4或ax<－6.
又f(x)>5的解集為{x|x>2或x<－3}，
當a>0時，解得x>或x<－，則a＝2
12、；
當a≤0時，經(jīng)驗證不合題意．
綜上，a＝2.
(2)設g(x)＝f(x)－f，
則g(x)＝
則函數(shù)g(x)的圖像如圖所示，
由圖像可知，g(x)≥－，
故原不等式在R上有解時，k≥－.
即k的取值范圍是.
熱點三
不等式的證明
[例3] (20xx·新課標全國卷Ⅱ)設a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1.證明：
(1) ab＋bc＋ac≤；
(2) ＋＋≥1.
[自主解答] (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
由題設得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2
13、ac＝1.
所以3(ab＋bc＋ac)≤1，即ab＋bc＋ac≤.
(2)因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
——————————規(guī)律·總結(jié)——————————————————————
不等式證明的常用方法是：比較法、綜合法與分析法．其中運用綜合法證明不等式時，主要是運用基本不等式與柯西不等式證明，與絕對值有關的不等式證明常用絕對值三角不等式．證明過程中一方面要注意不等式成立的條件，另一方面要善于對式子進行恰當?shù)霓D(zhuǎn)化、變形．
3．(1)設a≥b＞0，證明：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；
14、
(2)證明：a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2；
(3)若a，b，c為正實數(shù)，證明：a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.
證明：(1)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)－2b2(a－b)＝(a－b)(3a2－2b2)．
∵a≥b＞0，∴a－b≥0,3a2－2b2>0.
∴(a－b)(3a2－2b2)≥0.
∴3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
(2)a6＋8b6＋c6≥3 ＝3×a2b2c2＝2a2b2c2，
∴a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2.
(3)∵a2＋4b2≥2＝4ab，
a2＋9c2≥2＝6ac，
4b2＋9c2≥2＝12
15、bc，
∴2a2＋8b2＋18c2≥4ab＋6ac＋12bc，
∴a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.
熱點四
不等式的綜合應用
[例4] 已知a，b為正實數(shù)．
(1)求證：＋≥a＋b；
(2)利用(1)的結(jié)論，求函數(shù)y＝＋(00，b>0，
∴(a＋b)＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
∴＋≥a＋b，當且僅當a＝b時等號成立．
法二：＋－(a＋b)＝
＝＝
＝，
又∵a>0，b>0，∴≥0，當且僅當a＝b時等號成立．
∴＋≥a＋b.
(2)∵0
16、0，
由(1)的結(jié)論，得函數(shù)y＝＋≥(1－x)＋x＝1，
當且僅當1－x＝x，即x＝時等號成立．
∴函數(shù)y＝＋(0
新編浙江高考數(shù)學理二輪專題訓練：第1部分 專題七 第2講 不等式選講選修45
