新編高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七:第1講坐標(biāo)系與參數(shù)方程案文

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第第 1 1 講講坐標(biāo)系與參數(shù)方程坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考定位高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程;參數(shù)方程與普通方程的互化,常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用.以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式,同時考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識.真 題 感 悟1.(2017全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos4.(1)設(shè)點M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且|OM|OP|16,求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為2,3 ,點B在曲線C2上,求OAB面

2、積的最大值.解(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(,)(0),M的極坐標(biāo)為(1,)(10).由題設(shè)知|OP|,|OM|14cos.由|OM|OP|16 得C2的極坐標(biāo)方程為4cos(0).因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0).(2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(B,)(B0).由題設(shè)知|OA|2,B4cos,于是OAB的面積S12|OA|BsinAOB4cos|sin3|2|sin23 32|2 3.當(dāng)12時,S取得最大值 2 3.所以O(shè)AB面積的最大值為 2 3.2.(2017全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x3cos,ysin(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為xa4t,y1t(t為參數(shù)).(

3、1)若a1,求C與l的交點坐標(biāo);(2)若C上的點到l距離的最大值為 17,求a.解(1)a1 時,直線l的普通方程為x4y30.曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x29y21,聯(lián)立方程x4y30,x29y21,解得x3,y0或x2125,y2425.則C與l交點坐標(biāo)是(3,0)和2125,2425 .(2)直線l的普通方程是x4y4a0.設(shè)曲線C上點P(3cos,sin).則P到l距離d|3cos4sin4a|17|5sin()4a|17,其中 tan34.又點C到直線l距離的最大值為 17.|5sin()4a|的最大值為 17.若a0,則54a17,a8.若a0)且垂直于極軸:cosa;(3)直線過Mb,2

4、 且平行于極軸:sinb.3.圓的極坐標(biāo)方程幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程:(1)當(dāng)圓心位于極點,半徑為r:r;(2)當(dāng)圓心位于M(r,0),半徑為r:2rcos;(3)當(dāng)圓心位于Mr,2 ,半徑為r:2rsin.4.直線的參數(shù)方程經(jīng)過點P0(x0,y0),傾斜角為的直線的參數(shù)方程為xx0tcos,yy0tsin(t為參數(shù)).設(shè)P是直線上的任一點,則t表示有向線段P0P的數(shù)量.5.圓、橢圓的參數(shù)方程(1)圓心在點M(x0,y0),半徑為r的圓的參數(shù)方程為xx0rcos,yy0rsin(為參數(shù),02).(2)橢圓x2a2y2b21 的參數(shù)方程為xacos,ybsin(為參數(shù)).熱點一曲線的極坐標(biāo)方

5、程【例 1】(2015全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1:x2,圓C2:(x1)2(y2)21,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程;(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為4(R R),設(shè)C2與C3的交點為M,N,求C2MN的面積.解(1)因為xcos,ysin,所以C1的極坐標(biāo)方程為cos2,C2的極坐標(biāo)方程為22cos4sin40.(2)將4代入22cos4sin40,得23 240,解得12 2,2 2.故12 2,即|MN| 2.由于C2的半徑為 1,所以C2MN的面積為12.【遷移探究 1】本例條件不變,求直線C1與曲線C3交點的極坐標(biāo).解聯(lián)立

6、方程cos2,4,解之得4且2 2.所以直線C1與曲線C3交點的極坐標(biāo)為2 2,4 .【遷移探究 2】本例條件不變,求圓C2關(guān)于極點的對稱圓的方程.解點(,)與點(,)關(guān)于極點對稱,設(shè)點(,)為對稱圓上任意一點,則(,)在圓C2上,()22cos4sin40,故所求圓C2關(guān)于極點的對稱圓方程為22cos4sin40.探究提高1.進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式:xcos,ysin,2x2y2,tanyx(x0),要注意,的取值范圍及其影響,靈活運用代入法和平方法等技巧.2.由極坐標(biāo)方程求曲線交點、距離等幾何問題時,如果不能直接用極坐標(biāo)解決,可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,然后求解.

7、【訓(xùn)練 1】 (2017北京東城區(qū)調(diào)研)在極坐標(biāo)系中, 已知極坐標(biāo)方程C1:cos 3sin10,C2:2cos.(1)求曲線C1,C2的直角坐標(biāo)方程,并判斷兩曲線的形狀;(2)若曲線C1,C2交于A,B兩點,求兩點間的距離.解(1)由C1:cos 3sin10,x 3y10,表示一條直線.由C2:2cos,得22cos.x2y22x,則(x1)2y21,C2是圓心為(1,0),半徑r1 的圓.(2)由(1)知,點(1,0)在直線x 3y10 上,因此直線C1過圓C2的圓心.兩交點A,B的連線段是圓C2的直徑,因此兩交點A,B間的距離|AB|2r2.熱點二參數(shù)方程及其應(yīng)用【例 2】(2014全

8、國卷)已知曲線C:x24y291,直線l:x2t,y22t(t為參數(shù)).(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;(2)過曲線C上任一點P作與l夾角為 30的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值.解(1)曲線C的參數(shù)方程為x2cos,y3sin(為參數(shù)).直線l的普通方程為 2xy60.(2)曲線C上任意一點P(2cos,3sin)到l的距離為d55|4cos3sin6|.則|PA|dsin 302 55|5sin()6|,其中為銳角,且 tan43.當(dāng) sin()1 時,|PA|取得最大值,最大值為22 55;當(dāng) sin()1 時,|PA|取得最小值,最小值為2 55.探究提高1

9、.將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程,常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等,往往需要對參數(shù)方程進(jìn)行變形,為消去參數(shù)創(chuàng)造條件.2.在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中,參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍,尤其是求取值范圍和最值問題,可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中,根據(jù)參數(shù)的取值條件求解.【訓(xùn)練 2】(2017郴州三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x2cos,y22sin(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為x122t,y22t(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲

10、線C的兩個交點分別為M,N,直線l與x軸的交點為P,求|PM|PN|的值.解(1)直線l的參數(shù)方程為x122t,y22t(t為參數(shù)),消去參數(shù)t,得xy10.曲線C的參數(shù)方程為x2cos,y22sin(為參數(shù)),利用平方關(guān)系,得x2(y2)24,則x2y24y0.令2x2y2,ysin,代入得C的極坐標(biāo)方程為4sin.(2)在直線xy10 中,令y0,得點P(1,0).把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程得t23 2t10,t1t23 2,t1t21.由直線參數(shù)方程的幾何意義,|PM|PN|t1t2|1.熱點三極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用【例 3】(2016全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參

11、數(shù)方程為x 3cos,ysin(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin4 2 2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo).解(1)C1的普通方程為x23y21,曲線C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.(2)由題意,可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為( 3cos,sin).因為C2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值.又d()| 3cossin4|2 2|sin3 2|,當(dāng)且僅當(dāng)2k6(kZ Z)時,d()取得最小值,最小值為 2,此時點P的直角坐標(biāo)為32,1

12、2 .探究提高1.涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題,求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解.當(dāng)然,還要結(jié)合題目本身特點,確定選擇何種方程.2.數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,或者利用和的幾何意義,直接求解,能達(dá)到化繁為簡的解題目的.【訓(xùn)練 3】(2017哈爾濱模擬)已知曲線C的參數(shù)方程為x22cos,y2sin(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 直線l的極坐標(biāo)方程為sin64.(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;(2)若射線3與曲線C交于O,A兩點, 與直線l交于B點, 射線116與曲線C交于O,P兩點,求PAB的面積

13、.解(1)由x22cos,y2sin(為參數(shù)),消去.普通方程為(x2)2y24.從而曲線C的極坐標(biāo)方程為24cos0,即4cos,因為直線l的極坐標(biāo)方程為sin6 4,即32sin12cos4,直線l的直角坐標(biāo)方程為x 3y80.(2)依題意,A,B兩點的極坐標(biāo)分別為2,3 ,4,3 ,聯(lián)立射線116與曲線C的極坐標(biāo)方程得P點極坐標(biāo)為2 3,116,|AB|2,SPAB1222 3sin36 2 3.1.在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時,如果不能直接用極坐標(biāo)解決,或用極坐標(biāo)解決較麻煩,可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決.2.要熟悉常見曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程,如:圓、

14、橢圓、及過一點的直線,在研究直線與它們的位置關(guān)系時常用的技巧是轉(zhuǎn)化為普通方程解答.3.過定點P0(x0,y0),傾斜角為的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為xx0tcos,yy0tsin(t為參數(shù)),t的幾何意義是P0P的數(shù)量,即|t|表示P0到P的距離,t有正負(fù)之分.使用該式時直線上任意兩點P1,P2對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則|P1P2|t1t2|,P1P2的中點對應(yīng)的參數(shù)為12(t1t2).1.(2017江蘇卷)在平面坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為x8t,yt2(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為x2s2,y2 2s(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值.解由x8t

15、,yt2消去t.得l的普通方程為x2y80,因為點P在曲線C上,設(shè)點P(2s2,2 2s).則點P到直線l的距離d|2s24 2s8|52(s 2)245,當(dāng)s 2時,d有最小值454 55.2.(2017貴陽調(diào)研)以直角坐標(biāo)系中的原點O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,已知曲線的極坐標(biāo)方程為21sin.(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)過極點O作直線l交曲線于點P,Q,若|OP|3|OQ|,求直線l的極坐標(biāo)方程.解(1)x2y2,siny,21sin化為sin2,曲線的直角坐標(biāo)方程為x24y4.(2)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為0(R R),根據(jù)題意,不妨設(shè)P(0,0),則Q(,

16、1),且031,即21sin0321sin(0),解得06或056,直線l的極坐標(biāo)方程6(R R)或56(R R).3.(2017全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為x2t,ykt(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為x2m,ymk(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點為P,當(dāng)k變化時,P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程;(2)以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:(cossin) 20,M為與C的交點,求M的極徑.解(1)由l1:x2t,ykt(t為參數(shù))消去t,化為l1的普通方程yk(x2),同理得直線l2的普通方程為x2ky,聯(lián)立,消去k,得x2y24(y0)

17、.所以C的普通方程為x2y24(y0).(2)將直線l3化為普通方程為xy 2,聯(lián)立xy 2,x2y24得x3 22,y22,2x2y2184245,與C的交點M的極徑為 5.4.(2017新鄉(xiāng)三模)以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos,曲線M的直角坐標(biāo)方程為x2y20(x0).(1)以曲線M上的點與點O連線的斜率k為參數(shù),寫出曲線M的參數(shù)方程;(2)設(shè)曲線C與曲線M的兩個交點為A,B,求直線OA與直線OB的斜率之和.解(1)由x2y20(x0) ,ykx得x22k1,y2k2k1.故曲線M的參數(shù)方程為x22k1,y2k2k1k為參數(shù),且k12

18、.(2)由4cos,得24cos,x2y24x.將x22k1,y2k2k1代入x2y24x整理得k24k30,k1k24.故直線OA與直線OB的斜率之和為 4.5.(2016全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中, 曲線C1的參數(shù)方程為xacost,y1asint(t為參數(shù),a0).在以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:4cos.(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0,其中0滿足 tan02,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a.解(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2(y1)2a2,C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.將x

19、cos,ysin代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標(biāo)方程為22sin1a20.(2)曲線C1,C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組22sin1a20,4cos.若0,由方程組得 16cos28sincos1a20,由已知 tan2,可得 16cos28sincos0,從而 1a20,解得a1(舍去),a1.a1 時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上.所以a1.6.(2017樂山二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x1tcos,ytsin(t為參數(shù),0),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為4cos,圓C的圓心到直線l的距離為32.(1)求的值;(2)已知P(1,0),若直線l與圓C交于A,B兩點,求1|PA|1|PB|的值.解(1)由直線l的參數(shù)方程為x1tcos,ytsin(t為參數(shù), 0), 消去參數(shù)t, 得xsinycossin0.圓C的極坐標(biāo)方程為4cos,即24cos.可得圓C的普通坐標(biāo)方程為x2y24x0,可知圓心為(2,0),圓C的圓心到直線l的距離為d|2sinsin|sin2cos23sin.由題意:d32,即 3sin32,則 sin12,00,t1,t2是同號.1|PA|1|PB|1|t1|1|t2|t1|t2|t1t2|t1t2|t1t2|3 35.

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