新版一輪創(chuàng)新思維文數(shù)人教版A版練習(xí)：第八章 第七節(jié)　拋物線 Word版含解析

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1、 1

2、 1 課時(shí)規(guī)范練 A組　基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練 1．(20xx·沈陽質(zhì)量監(jiān)測(cè))拋物線y＝4ax2(a≠0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A．(0，a)　　　　　　 B．(a,0) C. D. 解析：將y＝4ax2(a≠0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x2＝y(tǒng)(a≠0)，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以選C. 答案：C 2．(20xx·遼寧五校聯(lián)考)已知AB是拋物線y 2＝2x的一條焦點(diǎn)弦，|AB|＝4，則AB中

3、點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是(　　) A．2 B. C. D. 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是＝. 答案：C 3．(20xx·邯鄲質(zhì)檢)設(shè)F為拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，A、B、C為拋物線上三點(diǎn)，若F為△ABC的重心，則||＋||＋||的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：依題意，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又焦點(diǎn)F，x1＋x2＋x3＝3×＝，則||＋||＋||＝(x1＋)＋(x2＋)＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.選C. 答案：C 4．(2

4、0xx·沈陽質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，過P作PA⊥l于點(diǎn)A，當(dāng)∠AFO＝30°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))時(shí)，|PF|＝________. 解析：設(shè)l與y軸的交點(diǎn)為B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝，設(shè)P(x0，y0)，則x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，從而|PF|＝|PA|＝y(tǒng)0＋1＝. 答案： 5．已知拋物線C的方程為y2＝2px(p＞0)，⊙M的方程為x2＋y2＋8x＋12＝0，如果拋物線C的準(zhǔn)線與⊙M相切，那么p的值為__________． 解析：將⊙M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x＋4)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為

5、(－4,0)，半徑r＝2，又拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，∴|4－|＝2，解得p＝12或4. 答案：12或4 6.如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程是__________． 解析：分別過點(diǎn)A、B作準(zhǔn)線的垂線AE、BD，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E、D(圖略)，則|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，根據(jù)題意得p＝，∴拋物線的方程是y2＝3x. 答案：y2＝3x 7．已知拋物線

6、y2＝4px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，圓W：(x＋p)2＋y2＝p2的圓心到過點(diǎn)F的直線l的距離為p. (1)求直線l的斜率； (2)若直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，△WAB的面積為8，求拋物線的方程． 解析：(1)易知拋物線y2＝4px(p＞0)的焦點(diǎn)為F(p,0)，依題意直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為x＝my＋p，因?yàn)閃(－p,0)， 所以點(diǎn)W到直線l的距離為＝p，解得m＝±，所以直線l的斜率為±. (2)由 (1)知直線l的方程為x＝±y＋p，由于兩條直線關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨取x＝y(tǒng)＋p， 聯(lián)立消去x得y2－4py－4p2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

7、則y1＋y2＝4p，y1y2＝－4p2， 所以|AB|＝·＝16p， 因?yàn)椤鱓AB的面積為8，所以p×16p＝8，得p＝1， 所以拋物線的方程為y2＝4x. 8．已知拋物線C1：x2＝2py(p＞0)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B為拋物線C1上異于O點(diǎn)的兩點(diǎn)，以O(shè)A為直徑的圓C2過點(diǎn)B. (1)若A(－2,1)，求p的值以及圓C2的方程； (2)求圓C2的面積S的最小值(用p表示)． 解析：(1)∵A(－2,1)在拋物線C1上，∴4＝2p，p＝2.又圓C2的圓心為，半徑為＝，∴圓C2的方程為(x＋1)2＋2＝. (2)記A(x1，)，B(x2，)．則＝(x2，)，＝(x2－x1，)．

8、 由·＝0知，x2(x2－x1)＋＝0. ∵x2≠0，且x1≠x2，∴x＋x1·x2＝－4p2，∴x1＝－. ∴x＝x＋＋8p2≥2＋8p2＝16p2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝4p2時(shí)取等號(hào)． 又|OA|2＝x ＋＝(x＋4p2·x)，注意到x≥16p2， ∴|OA|2≥(162·p4＋4p2·16p2)＝80p2.而S＝π·，∴S≥20πp2， 即S的最小值為20πp2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4p2時(shí)取得． B組　能力提升練 1．(20xx·唐山統(tǒng)考)已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過點(diǎn)C(－2,0)的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，·＝12. (1)求拋物線的方程； (2

9、)當(dāng)以AB為直徑的圓與y軸相切時(shí)，求直線l的方程． 解析：(1)設(shè)l：x＝my－2，代入y2＝2px， 得y2－2pmy＋4p＝0.(*) 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，則x1x2＝＝4. 因?yàn)椤ぃ?2，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12， 得p＝2，拋物線的方程為y2＝4x. (2)(1)中(*)式可化為y2－4my＋8＝0， y1＋y2＝4m， y1y2＝8. 設(shè)AB的中點(diǎn)為M， 則|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，① 又|AB|＝|y1－y2|＝，② 由①②得(1＋m2)(1

10、6m2－32)＝(4m2－4)2， 解得m2＝3，m＝±. 所以，直線l的方程為x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0. 2.如圖，由部分拋物線：y2＝mx＋1(m＞0，x≥0)和半圓x2＋y2＝r2(x≤0)所組成的曲線稱為“黃金拋物線C”，若“黃金拋物線C”經(jīng)過點(diǎn)(3,2)和. (1)求“黃金拋物線C”的方程； (2)設(shè)P(0,1)和Q(0，－1)，過點(diǎn)P作直線l與“黃金拋物線C”相交于A，P，B三點(diǎn)，問是否存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 解析：(1)∵“黃金拋物線C”過點(diǎn)(3,2)和， ∴r2＝2＋2＝1,4＝3m＋1，∴m＝1. ∴“黃金拋物線C”的方程為y2＝x＋1(x≥0)和x2＋y2＝1(x≤0)． (2)假設(shè)存在這樣的直線l，使得QP平分∠AQB，顯然直線l的斜率存在且不為0， 設(shè)直線l：y＝kx＋1，聯(lián)立，消去y，得k2x2＋(2k－1)x＝0，∴xB＝， yB＝，即B， ∴kBQ＝， 聯(lián)立，消去y， 得(k2＋1)x2＋2kx＝0， ∴xA＝－，yB＝， 即A， ∴kAQ＝－， ∵QP平分∠AQB，∴kAQ＋kBQ＝0， ∴－＝0，解得k＝－1±， 由圖形可得k＝－1－應(yīng)舍去，∴k＝－1， ∴存在直線l：y＝(－1)x＋1， 使得QP平分∠AQB.