新編【創(chuàng)新方案】高考數學理一輪復習配套文檔：第2章 第3節(jié)　函數的奇偶性與周期性

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1、 第三節(jié)　函數的奇偶性與周期性 【考綱下載】 1．結合具體函數，了解函數奇偶性的含義． 2．會運用函數的圖象理解和研究函數的奇偶性． 3．了解函數周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數的周期性． 1．奇函數、偶函數及其圖象特征 奇函數 偶函數 定 義 義 一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x， 都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數 都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數 圖象 特征 關于原點對稱 關于y軸對稱 2．周期性 (1)周期函數 對于

2、函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期． (2)最小正周期 如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期． 1．若函數f(x)在區(qū)間[a，b](a≠b)上有奇偶性，則實數a，b之間有什么關系？ 提示：a＋b＝0.奇函數、偶函數的定義域關于原點對稱． 2．若f(x)是奇函數且在x＝0處有定義，那么f(0)為何值？如果是偶函數呢？ 提示：如果f(x)是奇函數時，f(0)＝－f(0)，則f(0)＝0；如果f(x)是偶

3、函數時，f(0)不一定為0，如f(x)＝x2＋1. 3．是否存在既是奇函數又是偶函數的函數？若有，有多少個？ 提示：存在，如f(x)＝0，定義域是關于原點對稱的任意一個數集，這樣的函數有無窮多個． 4．若T為y＝f(x)的一個周期，那么nT(n∈Z)是函數f(x)的周期嗎？ 提示：不一定．由周期函數的定義知，函數的周期是非零常數，當n∈Z且n≠0時，nT是f(x)的周期． 1．(20xx·廣東高考)定義域為R的四個函數y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函數的個數是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：選C　

4、函數y＝x3，y＝2sin x為奇函數，y＝2x為非奇非偶函數，y＝x2＋1為偶函數，故奇函數的個數是2. 2．(20xx·山東高考)已知函數f(x)為奇函數，且當x>0時， f(x) ＝x2＋，則f(－1)＝(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：選A　因為函數f(x)為奇函數，所以f(－1)＝－f(1)＝－2. 3．(20xx·湖北高考)x為實數，[x]表示不超過x的最大整數，則函數f(x)＝x－[x]在R上為(　　) A．奇函數 B．偶函數 C．增函數 D．周期函數 解析：選D　函數f(x)＝x－[x]在R上的圖象如下圖：

5、故f(x)在R上為周期函數． 4．若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數，則實數a＝________. 解析：f(x)＝x2＋(a－4)x－4a為二次函數，其圖象的對稱軸為x＝－，因為偶函數的圖象關于y軸對稱，所以－＝0，解得a＝4. 答案：4 5．設f(x)是周期為2的奇函數，當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則f＝________. 解析：∵f(x)是周期為2的奇函數， ∴f＝－f＝－f＝－f＝ －2××＝－. 答案：－ 前沿熱點(二) 與奇偶性、周期性有關的交匯問題 1．函數的奇偶性、周期性以及單調性是函數的三大性質，在高考中常常將它們綜合在一起

6、與函數圖象、函數零點等問題相交匯命題． 2．函數的奇偶性主要體現(xiàn)為f(－x)與f(x)的相等或相反關系，而根據周期函數的定義知，函數的周期性主要體現(xiàn)為f(x＋T)與f(x)的關系．函數的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關系，而函數的單調性體現(xiàn)的是函數值隨自變量變化而變化的規(guī)律．因此，在解題時，往往需借助函數的奇偶性或周期性來確定函數在另一區(qū)間上的單調性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉換，再利用單調性來解決相關問題． [典例]　(20xx·遼寧高考)設函數f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x3.又函數g(x)＝|xcos (πx)|，則函數h(x)＝g

7、(x)－f(x)在上的零點個數為(　　)　 A．5 B．6 C．7 D．8 [解題指導]　由f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)可知該函數是周期為2的偶函數，可畫出g(x)與f(x)的圖象，利用數形結合的思想求解． [解析]　由題意知函數f(x)是偶函數，且周期是2.作出g(x)，f(x)的函數圖象，如圖．由圖可知函數y＝g(x)，y＝f(x)在上有6個交點，故函數h(x)＝g(x)－f(x)在上的零點有6個． [答案]　B [名師點評]　解決本題的關鍵有以下幾點： (1)正確識別函數f(x)的性質； (2)注意到x＝0是函數h(

8、x)的一個零點，此處極易被忽視； (3)正確畫出函數的圖象，將零點問題轉化為函數圖象的交點問題． (20xx·合肥模擬)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．當0≤x≤1時，f(x)＝x2.若直線y＝x＋a與函數y＝f(x)的圖象在[0,2]內恰有兩個不同的公共點，則實數a的值是(　　) A．0 B．0或－ C．－或－ D．0或－ 解析：選D　∵f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2.又0≤x≤1時，f(x)＝x2，可畫出函數y＝f(x)在一個周期內的圖象如圖．顯然a＝0時，y＝x與y＝x2在[0,2]內恰有兩個不同的公共點． 另當直線y＝x＋a與y＝x2(0≤x≤1)相切時也恰有兩個不同公共點，由題意知x2＝x＋a，即x2－x－a＝0，Δ＝1＋4a＝0，則a＝－，此時x＝. 綜上可知a＝0或－.