高考理科導學案【第五章】平面向量 學案27

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1、△+△2019年數學高考教學資料△+△ 學案27　平面向量的數量積及其應用 導學目標： 1.理解平面向量數量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數量積與向量投影的關系.3.掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算.4.能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題． 自主梳理 1．向量數量積的定義 (1)向量數量積的定義：____________________________________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在

2、b方向上的投影． (2)向量數量積的性質： ①如果e是單位向量，則a·e＝e·a＝__________________； ②非零向量a，b，a⊥b?________________； ③a·a＝________________或|a|＝________________； ④cos〈a，b〉＝________； ⑤|a·b|____|a||b|. 2．向量數量積的運算律 (1)交換律：a·b＝________； (2)分配律：(a＋b)·c＝________________； (3)數乘向量結合律：(λa)·b＝________________. 3．向量數量積的坐標運算與

3、度量公式 (1)兩個向量的數量積等于它們對應坐標乘積的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a·b＝________________________； (2)設a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a⊥b?________________________； (3)設向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 則|a|＝________________，cos〈a，b〉＝____________________________. (4)若A（x1，y1），B（x2，y2），則|＝________________________，所以||＝______________

4、_______. 自我檢測 1.（2010·湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,則·等于 (　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 2．(2010·重慶)已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝ (　　) A．0 B．2 C．4 D．8 3．(2011·福州月考)已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，則λ等于 (　　) A．－2 B．2 C. D．－ 4.平面上有三個點A（-2，y），B（0，

5、），C（x，y），若⊥，則動點C的軌跡方程為________________． 5.（2009·天津）若等邊△ABC的邊長為2，平面內一點M滿足＝＋，則·＝________. 探究點一　向量的模及夾角問題 例1　(2011·馬鞍山月考)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|； （3）若＝a，＝b，求△ABC的面積． 變式遷移1　(1)已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是

6、 (　　) A．1 B．2 C. D. (2)已知i，j為互相垂直的單位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a與b的夾角為銳角，實數λ的取值范圍為________． 探究點二　兩向量的平行與垂直問題 例2　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且ka＋b的長度是a－kb的長度的倍(k>0)． (1)求證：a＋b與a－b垂直； (2)用k表示a·b； (3)求a·b的最小值以及此時a與b的夾角θ. 變式遷移2　(2009·江蘇)設向量a＝(4cos α，sin

7、 α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求證：a∥b. 探究點三　向量的數量積在三角函數中的應用 例3　已知向量a＝， b＝，且x∈. (1)求a·b及|a＋b|； (2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值． 變式遷移3 （2010·四川）已知△ABC的面積S=··＝3，且cos B＝，求cos C. 1．一些常見的錯誤結論： (1)若|a|

8、＝|b|，則a＝b；(2)若a2＝b2，則a＝b；(3)若a∥b，b∥c，則a∥c；(4)若a·b＝0，則a＝0或b＝0；(5)|a·b|＝|a|·|b|；(6)(a·b)c＝a(b·c)；(7)若a·b＝a·c，則b＝c.以上結論都是錯誤的，應用時要注意． 2．平面向量的坐標表示與向量表示的比較： 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是向量a與b的夾角. 向量表示 坐標表示 向量a的模 |a|＝＝ |a|＝ a與b的數量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 a與b共線的充要條件 A∥b(b≠0)?a＝λb a∥b?x1y2－x

9、2y1＝0 非零向量a，b垂直的充要條件 a⊥b?a·b＝0 a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 向量a與b的夾角 cos θ＝ cos θ＝ 3.證明直線平行、垂直、線段相等等問題的基本方法有： （1）要證AB=CD，可轉化證明2＝2或||＝||. （2）要證兩線段AB∥CD，只要證存在唯一實數≠0，使等式＝λ成立即可． （3）要證兩線段AB⊥CD，只需證·＝0. (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2010·重慶)若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，則實數m的值為 (　　) A．－ B. C．

10、2 D．6 2．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，則實數k的值為 (　　) A．－6 B．－3 C．3 D．6 3.已知△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，則∠BAC等于 (　　) A．30° B．－150° C．150° D．30°或150° 4．(2010·湖南)若

11、非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與b的夾角為 (　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 5．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b上的投影為 (　　) A. B. C. D. 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2010·湖南長沙一中月考)設a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1，2sin α－1)，α∈，若a·b＝，則sin

12、α＝________. 7．(2010·廣東金山中學高三第二次月考)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為________． 8．已知向量m＝(1,1)，向量n與向量m夾角為，且m·n＝－1，則向量n＝__________________. 三、解答題(共38分) 9.(12分)已知＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，在線段OC上是否存在點M，使⊥，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由． 10．(12分)(2011·杭州調研)已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝(cos，sin)． (1)求證：a⊥b；

13、(2)若存在不等于0的實數k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb，滿足x⊥y，試求此時的最小值． 11．(14分)(2011·濟南模擬)已知a＝(1,2sin x)，b＝，函數f(x)＝a·b (x∈R)． (1)求函數f(x)的單調遞減區(qū)間； (2)若f(x)＝，求cos的值． 答案 自主梳理 1．(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉　(2)①|a|cos〈a，e〉　②a·b＝0?、踻a|2　　④　 ⑤≤　2.(1)b·a (2)a·c＋b·c　(3)λ(a·b)　3.(1)a1b1＋a2b2　(2)a1b1＋a2b2＝0　(3)

14、　 (4)(x2－x1，y2－y1)　 自我檢測 2．B　[|2a－b|＝ ＝＝＝2.] 3．D　[由(a＋λb)·b＝0得a·b＋λ|b|2＝0， ∴1＋2λ＝0，∴λ＝－.] 4．y2＝8x(x≠0) 解析　由題意得＝， ＝，又⊥，∴·＝0， 即·＝0，化簡得y2＝8x(x≠0)． 5．－2 解析　合理建立直角坐標系，因為三角形是正三角形，故設C(0,0)，A(2，0)，B(，3)，這樣利用向量關系式，求得＝，＝，＝，所以·＝－2. 課堂活動區(qū) 例1　解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝

15、4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61， ∴a·b＝－6. ∴cos θ＝＝＝－. 又0≤θ≤π，∴θ＝. (2)|a＋b|＝ ＝ ＝＝. (3)∵與的夾角θ＝， ∴∠ABC＝π－＝. 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， ∴S△ABC＝||||sin∠ABC ＝×4×3×＝3. 變式遷移1　(1)C　[∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0， 展開(a－c)·(b－c)＝0?|c|2＝c·(a＋b) ＝|c|·|a＋b|cos θ，∴|c|＝|a＋b|cos θ＝cos θ， ∴|c|的最大值是.] (2)λ<且λ≠－2 解析　∵〈a，b〉∈(0，)，∴a

16、·b>0且a·b不同向． 即|i|2－2λ|j|2>0，∴λ<. 當a·b同向時，由a＝kb(k>0)得λ＝－2. ∴λ<且λ≠－2. 例2　解題導引　1.非零向量a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 2．當向量a與b是非坐標形式時，要把a、b用已知的不共線的向量表示．但要注意運算技巧，有時把向量都用坐標表示，并不一定都能夠簡化運算，要因題而異． 解　(1)由題意得，|a|＝|b|＝1， ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0， ∴a＋b與a－b垂直． (2)|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2＝k2＋2ka·b＋1， (|a－kb|)2＝3(1＋k2)－6

17、ka·b. 由條件知，k2＋2ka·b＋1＝3(1＋k2)－6ka·b， 從而有，a·b＝(k>0)． (3)由(2)知a·b＝＝(k＋)≥， 當k＝時，等號成立，即k＝±1. ∵k>0，∴k＝1. 此時cos θ＝＝，而θ∈[0，π]，∴θ＝. 故a·b的最小值為，此時θ＝. 變式遷移2　(1)解　因為a與b－2c垂直， 所以a·(b－2c) ＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 因此tan(α＋β)＝2. (2)解　由b＋c＝(sin β＋cos β，4co

18、s β－4sin β)， 得|b＋c|＝ ＝≤4. 又當β＝－時，等號成立，所以|b＋c|的最大值為4. (3)證明　由tan αtan β＝16得＝， 所以a∥b. 例3　解題導引　與三角函數相結合考查向量的數量積的坐標運算及其應用是高考熱點題型．解答此類問題，除了要熟練掌握向量數量積的坐標運算公式，向量模、夾角的坐標運算公式外，還應掌握三角恒等變換的相關知識． 解　(1)a·b＝cos xcos －sin xsin ＝cos 2x， |a＋b|＝ ＝＝2|cos x|， ∵x∈，∴cos x>0， ∴|a＋b|＝2cos x. (2)f(x)＝cos 2x－2cos

19、 x＝2cos2x－2cos x－1 ＝22－. ∵x∈，∴≤cos x≤1， ∴當cos x＝時，f(x)取得最小值－； 當cos x＝1時，f(x)取得最大值－1. 變式遷移3　解　由題意，設△ABC的角B、C的對邊分別為b、c，則S＝bcsin A＝. ·＝bccos A＝3>0， ∴A∈，cos A＝3sin A. 又sin2A＋cos2A＝1， ∴sin A＝，cos A＝. 由題意cos B＝，得sin B＝. ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝. ∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－. 課后練習區(qū) 1．D　[因為a·

20、b＝6－m＝0，所以m＝6.] 2．D　[由(2a＋3b)·(ka－4b)＝0得2k－12＝0，∴k＝6.] 3．C　[∵S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝， ∴sin∠BAC＝.又a·b<0， ∴∠BAC為鈍角．∴∠BAC＝150°.] 4．C　[由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＝－|b|2. cos〈a，b〉＝＝＝－. ∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.] 5．B　[因為a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉， 所以，a在b上的投影為|a|·cos〈a，b〉 ＝＝＝＝.] 6. 解析　∵a·b＝cos 2α＋2sin2α－sin α

21、＝， ∴1－2sin2α＋2sin2α－sin α＝，∴sin α＝. 7．120° 解析　設a與b的夾角為θ，∵c＝a＋b，c⊥a， ∴c·a＝0，即(a＋b)·a＝0.∴a2＋a·b＝0. 又|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos θ＝0. ∴cos θ＝－，θ∈[0°，180°]即θ＝120°. 8．(－1,0)或(0，－1) 解析　設n＝(x，y)，由m·n＝－1， 有x＋y＝－1.① 由m與n夾角為， 有m·n＝|m|·|n|cos ， ∴|n|＝1，則x2＋y2＝1.② 由①②解得或， ∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)． 9．解 設存在點M，且＝

22、λ＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)， ＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)．…………………………………………(4分) ∵⊥， ∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分) 即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝. ∴M點坐標為(2,1)或. 故在線段OC上存在點M，使⊥，且點M的坐標為(2,1)或(，)．………(12分) 10．(1)證明　∵a·b＝cos(－θ)·cos＋sin·sin ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a⊥b.……………………………………………………(4分) (

23、2)解　由x⊥y得，x·y＝0， 即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0， ∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0， ∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.………………………………………………………………(6分) 又|a|2＝1，|b|2＝1， ∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.…………………………………………………………(8分) ∴＝＝t2＋t＋3 ＝2＋.……………………………………………………………………………(10分) 故當t＝－時，有最小值.………………………………………………………(12分) 11．解　(1)f(x)

24、＝a·b＝2cos＋2sin x ＝2cos xcos －2sin xsin ＋2sin x ＝cos x＋sin x＝2sin.…………………………………………………………(5分) 由＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z. 所以f(x)的單調遞減區(qū)間是 (k∈Z)．……………………………………………………………(8分) (2)由(1)知f(x)＝2sin. 又因為2sin＝， 所以sin＝，……………………………………………………………………(11分) 即sin＝cos＝cos＝. 所以cos＝2cos2－1＝.………………………………………………(14分) 高考數學復習精品 高考數學復習精品