新編高考數(shù)學人教A版理科含答案導學案【第一章】集合與常用邏輯用語 學案2

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1、新編高考數(shù)學復習資料 學案2　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 導學目標： 1.能寫出一個命題的逆命題、否命題、逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系. 2.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 自主梳理 1．命題 用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題． 2．四種命題及其關(guān)系 (1)四種命題 一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用綈p和綈q分別表示p和q的否定，于是四種命題的形式就是 原命題：若p則q(p?q)； 逆命題：若q則p(q?p

2、)； 否命題：若綈p則綈q(綈p?綈q)； 逆否命題：若綈q則綈p(綈q?綈p)． (2)四種命題間的關(guān)系 (3)四種命題的真假性 ①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性． ②兩個命題為逆命題或否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 3．充分條件與必要條件 若p?q，則p叫做q的充分條件；若q?p，則p叫做q的必要條件；如果p?q，則p叫做q的充要條件． 自我檢測 1．(2010·湖南)下列命題中的假命題是(　　) A．?x∈R，lg x＝0 B．?x∈R，tan x＝1 C．?x∈R，x3>0 D．?x∈R,

3、2x>0 答案　C 解析　對于C選項，當x＝0時，03＝0，因此?x∈R，x3>0是假命題． 2．(2010·陜西)“a>0”是“|a|>0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　a>0?|a|>0，|a|>0a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要條件． 3．(2009·浙江)“x>0”是“x≠0”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　對于“x

4、>0”?“x≠0”，反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要條件． 4．若命題p的否命題為r，命題r的逆命題為s，則s是p的逆命題t的(　　) A．逆否命題 B．逆命題 C．否命題 D．原命題 答案　C 解析　由四種命題逆否關(guān)系知，s是p的逆命題t的否命題． 5．(2011·宜昌模擬)與命題“若a∈M，則bM”等價的命題是(　　) A．若aM，則bM B．若bM，則a∈M C．若aM，則b∈M D．若b∈M，則aM 答案　D 解析　因為原命題只與逆否命題是等價命題，所以只需寫出原命題的逆否命題即可．

5、 探究點一　四種命題及其相互關(guān)系 例1　寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假． (1)實數(shù)的平方是非負數(shù)； (2)等底等高的兩個三角形是全等三角形； (3)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并平分弦所對的?。? 解題導引　給出一個命題，判斷其逆命題、否命題、逆否命題等的真假時，如果直接判斷命題本身的真假比較困難，則可以通過判斷它的等價命題的真假來確定． 解　(1)逆命題：若一個數(shù)的平方是非負數(shù)，則這個數(shù)是實數(shù)．真命題． 否命題：若一個數(shù)不是實數(shù)，則它的平方不是非負數(shù)．真命題． 逆否命題：若一個數(shù)的平方不是非負數(shù)，則這個數(shù)不是實數(shù)．真命題． (2)逆命題：

6、若兩個三角形全等，則這兩個三角形等底等高．真命題． 否命題：若兩個三角形不等底或不等高，則這兩個三角形不全等．真命題． 逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等底或不等高．假命題． (3)逆命題：若一條直線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直平分線．真命題． 否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不過圓心或不平分弦所對的弧．真命題． 逆否命題：若一條直線不經(jīng)過圓心或不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線．真命題． 變式遷移1　有下列四個命題： ①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題； ②“全等三角形的面積相等”的否命題； ③“若q

7、≤1，則x2＋2x＋q＝0有實根”的逆否命題； ④“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆命題． 其中真命題的序號為________． 答案?、佗? 解析　①的逆命題是“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，真；②的否命題是“不全等的三角形的面積不相等”，假；③若q≤1，則Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有實根，其逆否命題與原命題是等價命題，真； ④的逆命題是“三個內(nèi)角相等的三角形是不等邊三角形”，假． 探究點二　充要條件的判斷 例2　給出下列命題，試分別指出p是q的什么條件． (1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：兩個三角形相似；q：兩個三角形全

8、等． (3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0無實根． (4)p：一個四邊形是矩形；q：四邊形的對角線相等． 解　(1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0； 而(x－2)(x－3)＝0 x－2＝0. ∴p是q的充分不必要條件． (2)∵兩個三角形相似兩個三角形全等； 但兩個三角形全等?兩個三角形相似． ∴p是q的必要不充分條件． (3)∵m<－2?方程x2－x－m＝0無實根； 方程x2－x－m＝0無實根m<－2. ∴p是q的充分不必要條件． (4)∵矩形的對角線相等，∴p?q； 而對角線相等的四邊形不一定是矩形，∴qp. ∴p是q的充分不必要條件． 變

9、式遷移2　(2011·邯鄲月考)下列各小題中，p是q的充要條件的是(　　) ①p：m<－2或m>6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有兩個不同的零點； ②p：＝1；q：y＝f(x)是偶函數(shù)； ③p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β； ④p：A∩B＝A；q：?UB??UA. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 答案　D 解析?、賟：y＝x2＋mx＋m＋3有兩個不同的零點?q：Δ＝m2－4(m＋3)>0?q：m<－2或m>6?p；②當f(x)＝0時，由qp；③若α，β＝kπ＋，k∈Z時，顯然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p：A∩

10、B＝A?p：A?B?q：?UA??UB.故①④符合題意． 探究點三　充要條件的證明 例3　設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°. 解題導引　有關(guān)充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，由“條件”?“結(jié)論”是證明命題的充分性，由“結(jié)論”?“條件”是證明命題的必要性．證明要分兩個環(huán)節(jié)：一是充分性；二是必要性． 證明　(1)必要性：設(shè)方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根x0， 則x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0， 兩式相減可得x0＝，將此式代入x＋2ax0＋b2

11、＝0， 可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°， (2)充分性：∵∠A＝90°， ∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.① 將①代入方程x2＋2ax＋b2＝0， 可得x2＋2ax＋a2－c2＝0， 即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0. 將①代入方程x2＋2cx－b2＝0， 可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0. 故兩方程有公共根x＝－(a＋c)． 所以方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°. 變式遷移3　已知ab≠0，求證：a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 證明　(1)必要

12、性：∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0. ∴a3＋b3＋ab－a2－b2 ＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2) ＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. (2)充分性： ∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. 又ab≠0，∴a≠0且b≠0. ∵a2－ab＋b2＝(a－)2＋b2>0. ∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1. 綜上可知，當ab≠0時，a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用 例　(12分)已知兩個關(guān)于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－

13、4m－5＝0，且m∈Z.求兩方程的根都是整數(shù)的充要條件． 【答題模板】 解　∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程， ∴m≠0. [2分] 另一方程為x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，兩方程都要有實根， ∴ 解得m∈[－，1]． [6分] ∵兩根為整數(shù)，故和與積也為整數(shù)， ∴，∴m為4的約數(shù)，

14、 [8分] ∴m＝－1或1，當m＝－1時， 第一個方程x2＋4x－4＝0的根為非整數(shù)， 而當m＝1時，兩方程均為整數(shù)根， ∴兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是m＝1. [12分] 【突破思維障礙】 本題涉及到參數(shù)問題，先用轉(zhuǎn)化思想將生疏復雜的問題化歸為簡單、熟悉的問題解決，兩方程有實根易想Δ≥0.求出m的范圍，要使兩方程根都為整數(shù)可轉(zhuǎn)化為它們的兩根之和與兩根之積都是整數(shù)． 【易錯點剖析】 易忽略一元二次方程這個條件隱含著m≠0，不易把方程的根都是整數(shù)轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積都是整數(shù)． 1．研究命題及

15、其關(guān)系時，要分清命題的題設(shè)和結(jié)論，把命題寫成“如果……，那么……”的形式，當一個命題有大前提時，必須保留大前提，只有互為逆否的命題才有相同的真假性． 2．在解決充分條件、必要條件等問題時，要給出p與q是否可以相互推出的兩次判斷，同時還要弄清是p對q而言，還是q對p而言．還要分清否命題與命題的否定的區(qū)別． 3．本節(jié)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2010·天津模擬)給出以下四個命題： ①若ab≤0，則a≤0或b≤0；②若a>b，則am2>bm2；③在△ABC中，若sin A＝sin B，則A＝B；④在一元二次方程a

16、x2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，則方程有實數(shù)根．其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 答案　C 解析　對命題①，其原命題和逆否命題為真，但逆命題和否命題為假；對命題②，其原命題和逆否命題為假，但逆命題和否命題為真；對命題③，其原命題、逆命題、否命題、逆否命題全部為真；對命題④，其原命題、逆命題、否命題、逆否命題全部為假． 2．(2010·浙江)設(shè)0

17、也不必要條件 答案　B 解析　∵0

18、x＋c的開口向下，則{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命題、否命題、逆否命題，下列結(jié)論成立的是(　　) A．都真 B．都假 C．否命題真 D．逆否命題真 答案　D 解析　本題考查四種命題之間的關(guān)系及真假判斷． 對于原命題：“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，則{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”，這是一個真命題，所以其逆否命題也為真命題，但其逆命題：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠?，則拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下”是一個假命題，因為當不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空時，可以有a>0，即拋物

19、線的開口可以向上．因此否命題也是假命題． 5．(2011·棗莊模擬)集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　A＝{x|－4≤x≤4}，若A?B，則a>4，a>4a>5，但a>5?a>4.故選B. 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．“x1>0且x2>0”是“x1＋x2>0且x1x2>0”的________條件． 答案　充要 7．(2011·惠州模擬)已知p：(x－1)(y

20、－2)＝0，q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，則p是q的 ____________條件． 答案　必要不充分 解析　由(x－1)(y－2)＝0得x＝1或y＝2，由(x－1)2＋(y－2)2 ＝0得x＝1且y＝2，所以由q能推出p，由p推不出q, 所以填必要不充分條件． 8．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實數(shù)m的取值范圍為________． 答案　[3,8) 解析　因為p(1)是假命題，所以1＋2－m≤0， 解得m≥3；又因為p(2)是真命題，所以4＋4－m>0， 解得m<8.故實數(shù)m的取值范圍是3≤m<8. 三、解答題(共38分)

21、 9．(12分)(2011·許昌月考)分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假． (1)若q<1，則方程x2＋2x＋q＝0有實根； (2)若ab＝0，則a＝0或b＝0； (3)若x2＋y2＝0，則x、y全為零． 解　(1)逆命題：若方程x2＋2x＋q＝0有實根，則q<1，為假命題． 否命題：若q≥1，則方程x2＋2x＋q＝0無實根，為假命題． 逆否命題：若方程x2＋2x＋q＝0無實根，則q≥1，為真命題．(4分) (2)逆命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0，為真命題． 否命題：若ab≠0，則a≠0且b≠0，為真命題． 逆否命題：若a≠0且b≠0，則ab≠

22、0，為真命題．(8分) (3)逆命題：若x、y全為零，則x2＋y2＝0，為真命題． 否命題：若x2＋y2≠0，則x、y不全為零，為真命題． 逆否命題：若x、y不全為零，則x2＋y2≠0，為真命題．(12分) 10．(12分)設(shè)p：實數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：實數(shù)x滿足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8>0，且綈p是綈q的必要不充分條件，求a的取值范圍． 解　設(shè)A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3a0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x

23、－8>0} ＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2} ＝{x|x<－4或x≥－2}．(4分) ∵綈p是綈q的必要不充分條件， ∴綈q?綈p，且綈p綈q. 則{x|綈q}{x|綈p}，(6分) 而{x|綈q}＝?RB＝{x|－4≤x<－2}， {x|綈p}＝?RA＝{x|x≤3a或x≥a，a<0}， ∴{x|－4≤x<－2}{x|x≤3a或x≥a，a<0}， (10分) 則或(11分) 綜上，可得－≤a<0或x≤－4.(12分) 11．(14分)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q＝－1. 證明　充分性：當q＝－1時， a1＝S1＝p＋q＝p－1.(2分) 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)． 當n＝1時也成立．(4分) 于是＝＝p(n∈N*)， 即數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(6分) 必要性：當n＝1時，a1＝S1＝p＋q. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)． ∵p≠0，p≠1， ∴＝＝p.(10分) ∵{an}為等比數(shù)列， ∴＝＝p，即＝p， 即p－1＝p＋q.∴q＝－1.(13分) 綜上所述，q＝－1是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件．(14分)