新編高考數(shù)學(xué)理科總復(fù)習(xí)【第二章】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第十五節(jié)

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第十五節(jié)　用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題 [來源:] 知識(shí)梳理 　優(yōu)化問題：社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活、生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)研究等實(shí)際問題中有關(guān)求利潤(rùn)________、用料________、效率________等問題通常稱為________問題． 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟： (1)分析實(shí)際問題中各個(gè)量之間的關(guān)系，建立實(shí)際問題的________，寫出實(shí)際問題中______，根據(jù)實(shí)際問題確定定義域；[來源:] (2)求函數(shù)y＝f(x)的______，解方程________，得出定義域內(nèi)的實(shí)根，確定________；

2、 (3)比較函數(shù)在________和________的函數(shù)值的大小，獲得所求函數(shù)的最大(小)值； (4)還原到實(shí)際問題中作答． 基礎(chǔ)自測(cè) 1．以長(zhǎng)為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為(　　) A．10　　　　B．15　　　　C．25　　　　D．50 答案：C 2．某產(chǎn)品的銷售收入y1 (萬元)是產(chǎn)品x(千臺(tái))的函數(shù)，y1＝17x2，生產(chǎn)總成本y2(萬元)也是x的函數(shù)，y2＝2x3－x2(x＞0)，為使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)(　　) A．9千臺(tái) B．8千臺(tái) C．6千臺(tái) D．3千臺(tái) 解析：f(x)＝

3、y1－y2＝－2x3＋18x2，f′(x)＝－6x2＋36x＝0，x＝6，故選C. 答案：C 3．一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝1－t＋t2，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時(shí)速度是(　　) A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒 解析：由導(dǎo)數(shù)的物理意義知，位移的導(dǎo)數(shù)是瞬時(shí)速度，由s＝1－t＋t2求導(dǎo)得v＝s′＝－1＋2t，當(dāng)t＝3時(shí)，v＝5.故選C.[來源:] 答案：C 4.當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時(shí)，它的底面半徑_________時(shí)，才能使飲料罐的體積最大. 解析：設(shè)圓柱形金屬飲料罐

4、的底面半徑為R，高為h. S＝2πRh＋2πR2? h＝[來源:數(shù)理化網(wǎng)] ?V(R)＝πR2＝(S－2πR2)R＝SR－πR3 ?V′(R)＝S－3πR2， 令V′(R)＝0，∴R＝ . 因V(R)只有一個(gè)極值點(diǎn)，故它就是最大值點(diǎn)． 答案： 1．放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變．假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量M(單位：太貝克)與時(shí)間t(單位：年)滿足函數(shù)關(guān)系M(t)＝M02－，其中M0為t＝0時(shí)銫137的含量．已知t＝30時(shí)，銫137的含量的變化率是－10ln 2(單位：太貝克/年)，則M(6

5、0)＝(　　) A．5太貝克　　　　　　　B．75ln 2太貝克 C．150ln 2太貝克 D．150太貝克 解析：因?yàn)镸′(t)＝－ln 2×M02－，則M′(30)＝－ln 2×M02－＝－10ln 2，解得M0＝600，所以M(t)＝600×2－，那么M(60)＝600×2－＝600×＝150(太貝克)．故選D. 答案：D 2．某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a為常數(shù)，已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克． (1)求a的值；

6、(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．[來源:] 解析：(1)因?yàn)閤＝5時(shí)，y＝11，所以＋10＝11?a＝2. (2)由(1)知該商品每日的銷售量y＝＋10(x－6)2，所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)為f(x)＝(x－3)＋10(x－6)2＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6. f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，3

7、) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 極大值42  由上表可得，x＝4是f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)． 所以當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值f(4)＝42. 答案：見解析 1．某工廠從2005年開始，近8年以來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前4年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來越慢，后4年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度保持不變，則該廠這種產(chǎn)品的產(chǎn)量與時(shí)間的函數(shù)圖象可能是(　　) 解析：觀察知，選項(xiàng)B中，0

8、．故選B. 答案：B[來源:] 2．一艘輪船在航行中每小時(shí)的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知當(dāng)速度為10 km/h時(shí)燃料費(fèi)是6元/h，而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是96元/h，問輪船以何種速度航行時(shí)，能使行使路程的費(fèi)用總和最?。? 解析：設(shè)船的行使速度為x km/h(x＞0)時(shí)，燃料費(fèi)用為Q元/h，則Q＝kx3， 則6＝k·103，∴k＝，從而Q＝x3，設(shè)總費(fèi)用為y元，行駛路程為a， 則y＝·＝a， ∴y′＝a，令y′＝＝0得x＝20， 且x∈(0,20)時(shí)，y′＜0；當(dāng)x∈(20，＋∞)時(shí)，y′＞0，[來源:] 所以當(dāng)x＝20時(shí)，y最小． 答案：見解析 [來源:]