新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第四節(jié)　數(shù)列求和回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第四節(jié)　數(shù) 列 求 和 【考綱下載】 1．熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式． 2．掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法． 1．公式法與分組求和法 (1)公式法 直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和． ①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： Sn＝＝na1＋d. ②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： Sn＝ (2)分組求和法 若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減． 2．倒序相加法與并項(xiàng)求和法 (1)倒序相加法 如果一個數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的

2、和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的． (2)并項(xiàng)求和法 在一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和． 形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 3．裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和． 4．錯位相減法 如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)

3、列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的． 1．求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時，只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得．你認(rèn)為該說法正確嗎？為什么？ 提示：不正確．當(dāng)a≠0，且a≠1時，可用錯位相減法求解． 2．如果數(shù)列{an}是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列，那么Skm＝mSk.你認(rèn)為該說法正確嗎？ 提示：正確． 3．如果數(shù)列{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，則與相等嗎？ 提示：相等． 1．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，前n項(xiàng)和為9，則n＝(　　) A．9

4、 B．99 C．10 D．100 解析：選B　∵an＝＝－. ∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1. ∴－1＝9，即＝10，∴n＝99. 2．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為(　　) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 解析：選C　Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1) ＝(2＋22＋…＋

5、2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n ＝＋2×－n ＝2(2n－1)＋n2＋n－n ＝2n＋1＋n2－2. 3．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10＝(　　) A．15 B．12 C．－12 D．－15 解析：選A　∵an＝(－1)n(3n－2)． ∴a1＋a2＋…＋a10 ＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28 ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋(－13＋16)＋(－19＋22)＋(－25＋28)＝3×5＝15. 4．一個數(shù)列{an}，當(dāng)n是奇數(shù)時，an＝5n＋1；當(dāng)n為

6、偶數(shù)時，an＝2，則這個數(shù)列的前2m項(xiàng)的和是________．[來源:] 解析：當(dāng)n為奇數(shù)時，{an}是以6為首項(xiàng)，以10為公差的等差數(shù)列；當(dāng)n為偶數(shù)時，{an}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．所以， S2m＝S奇＋S偶＝ma1＋×10＋ ＝6m＋5m(m－1)＋2(2m－1) ＝6m＋5m2－5m＋2m＋1－2 ＝2m＋1＋5m2＋m－2. 答案：2m＋1＋5m2＋m－2 5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝________. 解析：∵an＝n·2n， ∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.① ∴2Sn＝1·22＋2·23

7、＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.② ①－②，得 －Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1 ＝(1－n)2n＋1－2. ∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2. 答案：(n－1)2n＋1＋2 答題模板(四) 利用錯位相減法解決數(shù)列求和 [典例]　(2013·山東高考)(12分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. [快速規(guī)范審題][來源:] 第(1)問 1

8、．審結(jié)論，明解題方向 觀察所求結(jié)論：求{an}的通項(xiàng)公式應(yīng)求a1和d. 2．審條件，挖解題信息 觀察條件：{an}為等差數(shù)列，S4＝4S2，a2n＝2an＋1 3．建聯(lián)系，找解題突破口 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1建立關(guān)于a1和d的方程組a1＝1，d＝2an＝2n－1. 3．建聯(lián)系，找解題突破口 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1建立關(guān)于a1和d的方程組a1＝1，d＝2an＝2n－1. 第(2)問 1．審結(jié)論，明解題方向 觀察所求結(jié)論：求{bn}的前n項(xiàng)和Tn―→應(yīng)求{bn}的通項(xiàng)公式bn. 2．審條件，挖解題信息 觀察條件：＋＋…＋＝1－即的前n項(xiàng)和為利用＝An

9、－An－1可求可求bn. 3．建聯(lián)系，找解題突破口 由＋＋…＋＝1－求=An－An－1＝可求bn＝求Tn., . ,[準(zhǔn)確規(guī)范答題] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d. 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得[來源:] ?2分 解得a1＝1，d＝2.?4分 因此an＝2n－1，n∈N*.?5分 (2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*， 當(dāng)n＝1時，＝；?6分 當(dāng)n≥2時，＝1－－＝，?7分 所以＝，n∈N*.?8分 由(1)知an＝2n－1，n∈N*， 所以bn＝，n∈N*.?9分 又Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋，?10分 兩式相減

10、，得[來源:] Tn＝＋－ ＝－－，?11分 所以Tn＝3－.?12分 [答題模板速成] 用錯位相減法解決數(shù)列求和的步驟： 第一步　判斷結(jié)構(gòu) 若數(shù)列{an·bn}是由等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}(公比q)的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則可用此法求和 第二步　乘公比 設(shè){an·bn}的前n項(xiàng)和為Tn，然后兩邊同乘以q 第三步　錯位相減 乘以公比q后，向后錯開一位，使含有qk(k∈N*)的項(xiàng)對應(yīng)，然后兩邊同時作差 第四步　求和 將作差后的結(jié)果求和，從而表示出Tn