新版一輪創(chuàng)新思維文數(shù)人教版A版練習(xí):第二章 第八節(jié) 函數(shù)與方程 Word版含解析
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1、 1
2、 1 課時(shí)規(guī)范練 A組 基礎(chǔ)對點(diǎn)練 1.(20xx·江西贛中南五校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=3x-x2的零點(diǎn)所在區(qū)間是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(-2,-1) D.(-1,0) 解析:∵f(-2)=-,f(-1)=-, f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5, ∴f(0)f(1)>0,f(1)f(2)>0, f(-2)f(-1)>0,
3、f(-1)f(0)<0,故選D. 答案:D 2.(20xx·貴陽模擬)函數(shù)f(x)=lg x-sin x在(0,+∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:函數(shù)f(x)=lg x-sin x的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即函數(shù)y=lg x的圖象和函數(shù)y=sin x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),如圖所示.顯然,函數(shù)y=lg x的圖象和函數(shù)y=sin x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,故選C. 答案:C 3.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-3x.則函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)的集合為( ) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3} C.{2-,
4、1,3} D.{-2-,1,3} 解析:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-3x, 令g(x)=x2-3x-x+3=0, 得x1=3,x2=1. 當(dāng)x<0時(shí),-x>0,∴f(-x)=(-x)2-3(-x), ∴-f(x)=x2+3x,∴f(x)=-x2-3x. 令g(x)=-x2-3x-x+3=0, 得x3=-2-, x4=-2+>0(舍), ∴函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)的集合是{-2-,1,3},故選D. 答案:D 4.若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)·(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)·(x-a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間( ) A.(a,b)和
5、(b,c)內(nèi) B.(-∞,a)和(a,b)內(nèi) C.(b,c)和(c,+∞)內(nèi) D.(-∞,a)和(c,+∞)內(nèi) 解析:令y1=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=(x-b)[2x-(a+c)],y2=-(x-c)(x-a),由a
6、 ) A.9 B.10 C.11 D.18 解析:由F(x)=0得f(x)=|lg x|分別作f(x)與y=|lg x|的圖象,如圖, 所以有10個(gè)零點(diǎn),故選B. 答案:B 6.(20xx·寧夏育才中學(xué)第四次月考)已知函數(shù)f(x)=(a∈R),若函數(shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,0) C.(-1,0) D.[-1,0) 解析:當(dāng)x>0時(shí),f(x)=3x-1有一個(gè)零點(diǎn)x=,所以只需要當(dāng)x≤0時(shí),ex+a=0有一個(gè)根即可,即ex=-a.當(dāng)x≤0時(shí),ex∈(0,1],所以-a∈(0,1],即a∈[-1,0),故選D.
7、 答案:D 7.已知函數(shù)f(x)=2ax-a+3,若?x0∈(-1,1),使得f(x0)=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.(-∞,-3)∪(1,+∞) B.(-∞,-3) C.(-3,1) D.(1,+∞) 解析:依題意可得f(-1)·f(1)<0,即(-2a-a+3)(2a-a+3)<0,解得a<-3或a>1,故選A. 答案:A 8.已知函數(shù)f(x)=2mx2-x-1在區(qū)間(-2,2)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍是( ) A. B. C. D. 解析:當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)f(x)=-x-1有一個(gè)零點(diǎn)x=-1,滿足條件.當(dāng)m≠0時(shí),函數(shù)f(x)=2mx2-x-
8、1在區(qū)間(-2,2)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn),需滿足①f(-2)·f(2)<0或②或③解①得-<m<0或0<m<;解②得m∈?,解③得m=. 綜上可知-<m≤,故選D. 答案:D 9.已知函數(shù)f(x)=若方程f(x)-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ) A.(1,3) B. (0,3) C.(0,2) D.(0,1) 解析:畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示, 觀察圖象可知,若方程f(x)-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a有3個(gè)不同的交點(diǎn),此時(shí)需滿足0<a<1,故選D. 答案:D 10.(20xx·汕頭模擬)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R
9、上的周期為2的函數(shù),且對任意的實(shí)數(shù)x,恒有f(x)-f(-x)=0,當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f(x)=x2,若g(x)=f(x)-logax在x∈(0,+∞)上有三個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍為( ) A.[3,5] B.[4,6] C.(3,5) D.(4,6) 解析:∵f(x)-f(-x)=0,∴f(x)=f(-x),∴f(x)是偶函數(shù),根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示: ∵g(x)=f(x)-logax在(0,+∞)上有三個(gè)零點(diǎn), ∴y=f(x)和y=logax的圖象在(0,+∞)上有三個(gè)交點(diǎn), 作出函數(shù)y=logax的圖象,如圖, ∴,解得3<a<
10、5.故選C. 答案:C 11.(20xx·湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)且是R上的單調(diào)函數(shù),若函數(shù)y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)λ的值是( ) A. B. C.- D.- 解析:令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,則f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),因?yàn)閒(x)是R上的單調(diào)函數(shù),所以2x2+1=x-λ只有一個(gè)根,即2x2-x+1+λ=0只有一個(gè)根,則Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.故選C. 答案:C 12.(20xx·鄭州質(zhì)量預(yù)測)已知定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,當(dāng)-1≤x<0時(shí),f(x)=-
11、log (-x),則方程f(x)-=0在(0,6)內(nèi)的所有根之和為( ) A.8 B.10 C.12 D.16 解析:∵奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,∴f(x)=f(2-x)=-f(-x),即f(x)=-f(x+2)=f(x+4),∴f(x)是周期函數(shù),其周期T=4.又當(dāng)x∈[-1,0)時(shí),f(x)=-log(-x),故f(x)在(0,6)上的函數(shù)圖象如圖所示. 由圖可知方程f(x)-=0在(0,6)內(nèi)的根共有4個(gè),其和為x1+x2+x3+x4=2+10=12,故選C. 答案:C 13.(20xx·聊城模擬)若方程|3x-1|=k有兩個(gè)解,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_
12、_______. 解析:曲線y=|3x-1|與直線y=k的圖象如圖所示,由圖象可知,如果y=|3x-1|與直線y=k有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足0<k<1. 答案:(0,1) 14.已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. 解析:作出函數(shù)y=f(x)與y=k的圖象,如圖所示: 由圖可知k∈(0,1]. 答案:(0,1] 15.函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________. 解析:當(dāng)x>0時(shí),令ln x-x2+2x=0, 得ln x=x2-2x, 作y=ln x和y=x2-2x圖象, 顯然有兩個(gè)交點(diǎn). 當(dāng)
13、x≤0時(shí),令4x+1=0, ∴x=-. 綜上共有3個(gè)零點(diǎn). 答案:3 16.已知函數(shù)f(x)=有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:由題意知,當(dāng)x≥0時(shí),函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn),從而a=2x≥1, 當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則有即a>4. 綜上知a>4. 答案:(4,+∞) B組 能力提升練 1.函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:作出函數(shù)f(x)=的圖象,如圖所示. 由圖象可知,所求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2. 答案:C 2.已知函數(shù)f(x)=函數(shù)g(x)=3-f(2-x),則函數(shù)y=f
14、(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:分別畫出函數(shù)f(x),g(x)的草圖,可知有2個(gè)交點(diǎn).故選A. 答案:A 3.已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)g(x)=f(1-x)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:g(x)=f(1-x)-1 = ? 當(dāng)x≥1時(shí),函數(shù)g(x)有1個(gè)零點(diǎn);當(dāng)x<1時(shí),函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,故選C. 答案:C 4.(20xx·洛陽統(tǒng)考)已知x1,x2是函數(shù)f(x)=e-x-|ln x|的兩個(gè)零點(diǎn),則( ) A.<x1x2<1 B.1<x1x2<e C.1
15、<x1x2<10 D.e<x1x2<10 解析:在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=e-x與y=|ln x|的圖象(圖略),結(jié)合圖象不難看出,在x1,x2中,其中一個(gè)屬于區(qū)間(0,1),另一個(gè)屬于區(qū)間(1,+∞).不妨設(shè)x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),則有e-x1=|ln x1|=-ln x1∈(e-1,1),e-x2=|ln x2|=ln x2∈(0,e-1),e-x2-e-x1=ln x2+ln x1=ln(x1x2)∈(-1,0),于是有e-1<x1x2<e0,即<x1x2<1,故選A. 答案:A 5.設(shè)函數(shù)f (x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若實(shí)數(shù)a,b滿足
16、f(a)=0,g(b)=0,則( ) A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a) C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0 解析:∵f(x)=ex+x-2, ∴f′(x)=ex+1>0, 則f(x)在R上為增函數(shù), 且f(0)=e0-2<0,f(1)=e-1>0, 又f(a)=0,∴0<a<1. ∵g(x)=ln x+x2-3, ∴g′(x)=+2x. 當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g′(x)>0, 得g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù), 又g(1)=ln 1-2=-2<0, g(2)=ln 2+1>0,且g(b)=0, ∴1<b<2,即a<b
17、, ∴故選A. 答案:A 6.(20xx·鄭州質(zhì)量預(yù)測)對于函數(shù)f(x)和g(x),設(shè)α∈{x|f(x)=0},β∈{x|g(x)=0},若存在α,β,使得|α-β|≤1,則稱f(x)與g(x)互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=ex-1+x-2與g(x)=x2-ax-a+3互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.[2,4] B. C. D.[2,3] 解析:函數(shù)f(x)=ex-1+x-2的零點(diǎn)為x=1,設(shè)g(x)=x2-ax-a+3的零點(diǎn)為b,若函數(shù)f(x)=ex-1+x-2與g(x)=x2-ax-a+3互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”,則|1-b|≤1,∴0≤b≤2.
18、由于g(x)=x2-ax-a+3的圖象過點(diǎn)(-1,4),∴要使其零點(diǎn)在區(qū)間[0,2]上,則g≤0,即2-a·-a+3≤0,解得a≥2或a≤-6(舍去),易知g(0)≥0,即a≤3,此時(shí)2≤a≤3,滿足題意. 答案:D 7.設(shè)x0為函數(shù)f(x)=sin πx的零點(diǎn),且滿足|x0|+f<33,則這樣的零點(diǎn)有( ) A.61個(gè) B.63個(gè) C.65個(gè) D.67個(gè) 解析:依題意,由f(x0)=sin πx0=0得,πx0=kπ,k∈Z,即x0=k,k∈Z.當(dāng)k是奇數(shù)時(shí),f=sin π=sin=-1,|x0|+f=|k|-1<33,|k|<34,滿足這樣條件的奇數(shù)k共有34個(gè);當(dāng)k是偶數(shù)
19、時(shí),f=sin π=sin=1,|x0|+f=|k|+1<33,|k|<32,滿足這樣條件的偶數(shù)k共有31個(gè).綜上所述,滿足題意的零點(diǎn)共有34+31=65(個(gè)),選C. 答案:C 8.設(shè)函數(shù)f(x)=,設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-4mx-m,其中m≠0.若函數(shù)g(x)在區(qū)間(-1,1)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ) A.m≥或m=-1 B.m≥ C.m≥或m=-1 D.m≥ 解析:f(x)= 作函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖所示. 函數(shù)g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)?函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=4mx+m交點(diǎn)的個(gè)數(shù). 當(dāng)直線y=4mx+m過點(diǎn)(1,1)時(shí),m=; 當(dāng)
20、直線y=4mx+m與曲線y=-1(-1<x<0)相切時(shí),可求得m=-1. 根據(jù)圖象可知,當(dāng)m≥或m=-1時(shí),函數(shù)g(x)在區(qū)間(-1,1)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn). 答案:C 9.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且x>0時(shí),f(x)=ln x-x+1,則函數(shù)g(x)=f(x)-ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ln x-x+1,f′(x)=-1=,所以x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增;x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減.因此,當(dāng)x>0時(shí),f(x)max=f(1)
21、=ln 1-1+1=0.根據(jù)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)作出函數(shù)y=f(x)與y=ex的大致圖象,如圖,觀察到函數(shù)y=f(x)與y=ex的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)g(x)=f(x)-ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))有2個(gè)零點(diǎn).故選C.
答案:C
10.已知函數(shù)f(x)=ln x-ax2+x有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,1) B.(0,1)
C. D.
解析:依題意,關(guān)于x的方程ax-1=有兩個(gè)不等的正根.記g(x)=,則g′(x)=,當(dāng)0
22、上單調(diào)遞減,且g(e)=,當(dāng)0 23、 B.(-∞,-1]
C.(0,1] D.[1,+∞)
解析:∵f(x)=x2-f(0)x+f′(1)ex-1,∴f(0)=f′(1)e-1,f′(x)=x-f(0)+f′(1)ex-1,
∴f′(1)=1-f′(1)e-1+f′(1)e1-1,∴f′(1)=e,∴f(0)=f′(1)e-1=1,∴f(x)=x2-x+ex,∴g(x)=f(x)-x2+x=x2-x+ex-x2+x=ex,∵g-x=0,
∴g=x=g(ln x),∴-x=ln x,∴=x+ln x.當(dāng)a>0時(shí),只有y=(x>0)和y=x+ln x的圖象相切時(shí),滿足題意,作出圖象如圖所示,由圖象可知,a=1,當(dāng)a<0時(shí), 24、顯然滿足題意,∴a=1或a<0,故選A.
答案:A
12.已知函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù).當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=,若關(guān)于x的方程5[f(x)]2-(5a+6)f(x)+6a=0(a∈R)有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0,1)∪ B.[0,1]∪
C.(0,1]∪ D.∪{0}
解析:作出f(x)=的大致圖象如圖所示,又函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且關(guān)于x的方程5[f(x)]2-(5a+6)f(x)+6a=0(a∈R)有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,等價(jià)于f(x)=和f(x)=a(a∈R)有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.由圖可知方程f(x)= 25、有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,所以必須且只需方程f(x)=a(a∈R)有且僅有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,由圖可知0
26、4≤x≤6的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和,因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象均關(guān)于x=1對稱,所以x=1兩側(cè)的交點(diǎn)對稱,那么兩對應(yīng)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為2,分別畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象(圖略),易知x=1兩側(cè)分別有5個(gè)交點(diǎn),所以所求和為5×2=10.
答案:10
15.(20xx·廣州綜合測試)已知函數(shù)f(x)=,則函數(shù)g(x)=2|x|f(x)-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.
解析:由g(x)=2|x|f(x)-2=0得,f(x)=|x|-1,作出y=f(x),y=|x|-1的圖象,由圖象可知共有2個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
答案:2
16.(20xx·沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)已知函數(shù)f(x)=,若方程f(x)=ax+1恰有一個(gè)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析:如圖,當(dāng)直線y=ax+1過點(diǎn)B(2,2)時(shí),a=,滿足方程有兩個(gè)解;當(dāng)直線y=ax+1與f(x)=2(x≥2)的圖象相切時(shí),a=,滿足方程有兩個(gè)解;當(dāng)直線y=ax+1過點(diǎn)A(1,2)時(shí),a=1,滿足方程恰有一個(gè)解.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為∪.
答案:∪
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