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1、
專題能力訓練22 坐標系與參數(shù)方程(選修4—4)
能力突破訓練
1.在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為x=1+3cost,y=-2+3sint(t為參數(shù)).在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸非負半軸為極軸)中,直線l的方程為2ρsinθ-π4=m(m∈R).
(1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程;
(2)設圓心C到直線l的距離等于2,求m的值.
2.(20xx江蘇,21C)在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為x=-8+t,y=t2(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為
2、x=2s2,y=22s(s為參數(shù)).設P為曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值.
3.在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.
(1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求C的極坐標方程;
(2)直線l的參數(shù)方程是x=tcosα,y=tsinα(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點,|AB|=10,求l的斜率.
4.已知曲線C:x24+y29=1,直線l:x=2+t,y=2-2t(t為參數(shù)).
(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;
(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為
3、30°的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值.
5.在極坐標系中,曲線C:ρ=2acos θ(a>0),l:ρcosθ-π3=32,C與l有且只有一個公共點.
(1)求a;
(2)O為極點,A,B為C上的兩點,且∠AOB=π3,求|OA|+|OB|的最大值.
6.在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=acost,y=1+asint(t為參數(shù),a>0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=4cos θ.
(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程;
4、
(2)直線C3的極坐標方程為θ=α0,其中α0滿足tan α0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a.
7.在極坐標系中,曲線C的極坐標方程為ρsin2θ-cos θ=0,點M1,π2.以極點O為原點,以極軸為x軸正半軸建立直角坐標系.斜率為-1的直線l過點M,且與曲線C交于A,B兩點.
(1)求出曲線C的直角坐標方程和直線l的參數(shù)方程;
(2)求點M到A,B兩點的距離之積.
思維提升訓練
8.在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=3+12t,y=32t(t為參
5、數(shù)),以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,☉C的極坐標方程為ρ=23sin θ.
(1)寫出☉C的直角坐標方程;
(2)P為直線l上一動點,當點P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標.
9.已知直線l的參數(shù)方程為x=1+2t,y=2t(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是ρ=sinθ1-sin2θ.
(1)寫出直線l的極坐標方程與曲線C的直角坐標方程;
(2)若點P是曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值,并求出點P的坐標.
6、10.在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=3cosα,y=sinα(α為參數(shù)),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρsinθ+π4=42.
(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程;
(2)設P為曲線C1上的動點,求點P到C2上點的距離的最小值,并求此時點P的坐標.
參考答案
專題能力訓練22 坐標系與參數(shù)方程(選修4—4)
能力突破訓練
1.解(1)消去參數(shù)t,得到圓C的普通方程為(x-1)2+(y+2)2=9.由2ρsinθ-π4=m,
得ρsinθ-ρcosθ-m=
7、0.
所以直線l的直角坐標方程為x-y+m=0.
(2)依題意,圓心C到直線l的距離等于2,
即|1-(-2)+m|2=2,解得m=-3±22.
2.解直線l的普通方程為x-2y+8=0.
因為點P在曲線C上,設P(2s2,22s),
從而點P到直線l的距離d=|2s2-42s+8|12+(-2)2=2(s-2)2+45.
當s=2時,dmin=455.
因此當點P的坐標為(4,4)時,曲線C上點P到直線l的距離取到最小值455.
3.解(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圓C的極坐標方程ρ2+12ρcosθ+11=0.
(2)在(1)中建立的極坐標系中,直線l的極坐
8、標方程為θ=α(ρ∈R).
設A,B所對應的極徑分別為ρ1,ρ2,將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2+12ρcosα+11=0.
于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2
=144cos2α-44.
由|AB|=10得cos2α=38,tanα=±153.
所以l的斜率為153或-153.
4.解(1)曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθ,y=3sinθ(θ為參數(shù)).
直線l的普通方程為2x+y-6=0.
(2)曲線C上任意一點P(2cosθ,3sinθ)到l的距離為d=55|4cosθ+3sinθ-6|,
9、則|PA|=dsin30°=255|5sin(θ+α)-6|,其中α為銳角,且tanα=43.
當sin(θ+α)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為2255.
當sin(θ+α)=1時,|PA|取得最小值,最小值為255.
5.解(1)曲線C是以(a,0)為圓心,以a為半徑的圓,
l的直角坐標方程為x+3y-3=0.
由直線l與圓C相切可得|a-3|2=a,解得a=1.
(2)不妨設A的極角為θ,B的極角為θ+π3,
則|OA|+|OB|=2cosθ+2cosθ+π3
=3cosθ-3sinθ=23cosθ+π6,
當θ=-π6時,|OA|+|OB|取得最大值23.
6
10、.解(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.
將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.
(2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,ρ=4cosθ.
若ρ≠0,由方程組得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,
由已知tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,
從而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.
a=1時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上,
所以a=1.
7.解(1)x=
11、ρcosθ,y=ρsinθ,
由ρsin2θ-cosθ=0,得ρ2sin2θ=ρcosθ.
所以y2=x即為曲線C的直角坐標方程.
點M的直角坐標為(0,1),
直線l的傾斜角為3π4,故直線l的參數(shù)方程為
x=tcos3π4,y=1+tsin3π4(t為參數(shù)),
即x=-22t,y=1+22t(t為參數(shù)).
(2)把直線l的參數(shù)方程x=-22t,y=1+22t(t為參數(shù))代入曲線C的方程得
1+22t2=-22t,即t2+32t+2=0,
Δ=(32)2-4×2=10>0.
設A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2,
則t1+t2=-32,t1·t2=2.
又直線l經(jīng)過點M
12、,故由t的幾何意義得
點M到A,B兩點的距離之積
|MA|·|MB|=|t1||t2|=|t1·t2|=2.
思維提升訓練
8.解(1)由ρ=23sinθ,得ρ2=23ρsinθ,
從而有x2+y2=23y,所以x2+(y-3)2=3.
(2)設P3+12t,32t,又C(0,3),
則|PC|=3+12t2+32t-32=t2+12,
故當t=0時,|PC|取得最小值,
此時,點P的直角坐標為(3,0).
9.解(1)由x=1+2t,y=2t,得x-y=1,
故直線的極坐標方程為ρcosθ-ρsinθ=1,
即2ρcosθcosπ4-sinθsinπ4=1,
即2ρ
13、cosθ+π4=1.
∵ρ=sinθ1-sin2θ,∴ρ=sinθcos2θ,
∴ρcos2θ=sinθ,∴(ρcosθ)2=ρsinθ,
即曲線C的直角坐標方程為y=x2.
(2)設P(x0,y0),y0=x02,則P到直線l的距離d=|x0-y0-1|2=|x0-x02-1|2=-x0-122-342=x0-122+342.
∴當x0=12時,dmin=328,此時P12,14.
∴當點P的坐標為12,14時,P到直線l的距離最小,最小值為328.
10.解(1)由曲線C1:x=3cosα,y=sinα(α為參數(shù)),得
x3=cosα,y=sinα(α為參數(shù)),
兩式兩邊平方相加,得x32+y2=1,
即曲線C1的普通方程為x23+y2=1.
由曲線C2:ρsinθ+π4=42,得
22ρ(sinθ+cosθ)=42,
即ρsinθ+ρcosθ=8,所以x+y-8=0,
即曲線C2的直角坐標方程為x+y-8=0.
(2)由(1)知,橢圓C1與直線C2無公共點,橢圓上的點P(3cosα,sinα)到直線x+y-8=0的距離d=|3cosα+sinα-8|2=2sinα+π3-82,
所以當sinα+π3=1時,d的最小值為32,此時點P的坐標為32,12.