新編高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第六章】數(shù)列 學(xué)案28
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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第六章 數(shù) 列 學(xué)案28 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù). 自主梳理 1.?dāng)?shù)列的定義 按________________著的一列數(shù)叫數(shù)列,數(shù)列中的______________都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng);在函數(shù)意義下,數(shù)列是________________________的函數(shù),數(shù)列的一般形式為:______________________,簡(jiǎn)記為{an},其中an是數(shù)列的第____項(xiàng). 2.通項(xiàng)公式: 如果數(shù)列{an}的______與____之間的關(guān)系
2、可以____________來(lái)表示,那么這個(gè)式子叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式.但并非每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式,也并非都是唯一的. 3.?dāng)?shù)列常用表示法有:_________、________、________. 4.?dāng)?shù)列的分類: 數(shù)列按項(xiàng)數(shù)來(lái)分,分為_(kāi)___________、__________;按項(xiàng)的增減規(guī)律分為_(kāi)_______、________、__________和__________.遞增數(shù)列?an+1______an;遞減數(shù)列?an+1______an;常數(shù)列?an+1______an. 5.a(chǎn)n與Sn的關(guān)系: 已知Sn,則an= 自我檢測(cè) 1.(2011·汕頭月考)設(shè)an=-n2+1
3、0n+11,則數(shù)列{an}從首項(xiàng)到第幾項(xiàng)的和最大 ( ) A.10 B.11 C.10或11 D.12 2.已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p,q∈N*滿足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于 ( ) A.-165 B.-33 C.-30 D.-21 3.(2011·龍巖月考)已知數(shù)列-1,,-,,…按此規(guī)律,則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是( ) A.a(chǎn)n=(-1)n· B.a(chǎn)n=(-1)n· C.a(chǎn)n=(-1)n· D.a(chǎn)n=(-1)n· 4.下列對(duì)數(shù)列的理解: ①數(shù)列可以看成一個(gè)定義在N*(或它的有限子集{1,2,3,…
4、,n})上的函數(shù); ②數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的; ③數(shù)列若用圖象表示,從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn); ④數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的. 其中說(shuō)法正確的序號(hào)是 ( ) A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④ 5.(2011·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)月考)在數(shù)列{an}中,若a1=1,a2=,=+ (n∈N*),則該數(shù)列的通項(xiàng)an=______. 探究點(diǎn)一 由數(shù)列前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng) 例1 寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù): (1),,,,,…; (2
5、),-2,,-8,,…. 變式遷移1 寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式: (1)3,5,9,17,33,…;(2),2,,8,,…; (3),,2,,…;(4)1,0,1,0,…. 探究點(diǎn)二 由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng) 例2 根據(jù)下列條件,寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式. (1)a1=2,an+1=an+n;(2)a1=1,2n-1an=an-1 (n≥2). 變式遷移2 根據(jù)下列條件,確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (1)a1=1,an+1=3an+2; (2)a1=1,an+1=(n+1)an; (3)a1=2,an+1=an+ln.
6、 探究點(diǎn)三 由an與Sn的關(guān)系求an 例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2-3n+1,求{an}的通項(xiàng)公式. 變式遷移3 (2011·杭州月考)(1)已知{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n+b,求{an}的通項(xiàng)公式. (2)已知在正項(xiàng)數(shù)列{an}中,Sn表示前n項(xiàng)和且2=an+1,求an. 函數(shù)思想的應(yīng)用 例 (12分)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=(n+1)n (n∈N*),試問(wèn)該數(shù)列{an}有沒(méi)有最大項(xiàng)?若有,求出最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù);若沒(méi)有,說(shuō)明理由. 【答題模板】 解 方法一 令[4分] ??,∴n=9或n=10時(shí),an最大,[10分
7、]
即數(shù)列{an}有最大項(xiàng),此時(shí)n=9或n=10.[12分]
方法二 ∵an+1-an=(n+2)·n+1-(n+1)·n
=n·,[2分]
當(dāng)n<9時(shí),an+1-an>0,即an+1>an;
當(dāng)n=9時(shí),an+1-an=0,即an+1=an;
當(dāng)n>9時(shí),an+1-an<0,即an+1
8、滿足;若求最小項(xiàng),則用an滿足. 數(shù)列實(shí)質(zhì)就是一種特殊的函數(shù),所以本題就是用函數(shù)的思想求最值. 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】 本題解題過(guò)程中易出現(xiàn)只解出a9這一項(xiàng),而忽視了a9=a10,從而導(dǎo)致漏解. 1.?dāng)?shù)列的遞推公式是研究的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系,而通項(xiàng)公式則是研究的項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系. 2.求數(shù)列的通項(xiàng)公式是本節(jié)的重點(diǎn),主要掌握三種方法:(1)由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出一個(gè)通項(xiàng)公式,關(guān)鍵是善于觀察; (2)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an的關(guān)系,要注意驗(yàn)證能否統(tǒng)一到一個(gè)式子中; (3)由遞推公式求通項(xiàng)公式,常用方法有累加、累乘. 3.本節(jié)易錯(cuò)點(diǎn)是利用Sn求an時(shí),忘記討
9、論n=1的情況. (滿分:75分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2010·安徽)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,則a8的值為 ( ) A.15 B.16 C.49 D.64 2.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,那么這個(gè)數(shù)列是 ( ) A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C.?dāng)[動(dòng)數(shù)列 D.常數(shù)列 3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2(an-1),則a2等于 ( ) A.4 B.2 C.
10、1 D.-2 4.(2011·煙臺(tái)模擬)數(shù)列{an}中,若an+1=,a1=1,則a6等于 ( ) A.13 B. C.11 D. 5.?dāng)?shù)列{an}滿足an+an+1= (n∈N*),a2=2,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S21為 ( ) A.5 B. C. D. 題號(hào) 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分,共12分) 6.?dāng)?shù)列{an}滿足an+1=若a1=,則a2 010的值為_(kāi)_______. 7.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且有Sn=n2+1,則
11、數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=__________________. 8.(2011·安慶月考)將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … … 根據(jù)以上排列規(guī)律,數(shù)陣中第n (n≥3)行從左至右的第3個(gè)數(shù)是____________. 三、解答題(共38分) 9.(12分)寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式. (1)1,2,3,4,…; (2)-1,,-,,-,. 10.(12分)由下列數(shù)列{an}遞推公式求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式: (1)a1=1,an-an-1=n (n≥2);
12、
(2)a1=1,= (n≥2);
(3)a1=1,an=2an-1+1 (n≥2).
11.(14分)(2009·安徽)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2+2n,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=2-bn.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=a·bn,證明:當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí),cn+1 13、數(shù)列 > 。健?.S1 Sn-Sn-1
自我檢測(cè)
1.C 2.C 3.C 4.C
5.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 (1)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)公式,要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn),要使用添項(xiàng)、還原、分割等方法,轉(zhuǎn)化為一些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求;
(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法,它蘊(yùn)涵著“從特殊到一般”的思想,得出的結(jié)論不一定可靠,在解答題中一般應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
解 (1)原數(shù)列為,,,,,…,
∴an==.
(2)原數(shù)列為,-,,-,,…,
∴an=.
變式遷移1 解 (1)∵a1=3=21+1,
a2=5=22+1,a3= 14、9=23+1,…,
∴an=2n+1.
(2)將數(shù)列中各項(xiàng)統(tǒng)一成分母為2的分?jǐn)?shù),得
,,,,,…,
觀察知,各項(xiàng)的分子是對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)的平方,
∴數(shù)列通項(xiàng)公式是an=.
(3)將數(shù)列各項(xiàng)統(tǒng)一成的形式得
,,,,…;
觀察知,數(shù)列各項(xiàng)的被開(kāi)方數(shù)逐個(gè)增加3,且被開(kāi)方數(shù)加1后,又變?yōu)?,6,9,12,…,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=.
(4)從奇數(shù)項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)角度入手,可以得到分段形式的解析式,也可看作數(shù)列1,1,1,1,…和1,-1,1,-1,…對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加之和的一半組成的數(shù)列,也可用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最值和零點(diǎn)值來(lái)調(diào)整表示.
所以an=
或an= (n∈N*),
或an=或an=s 15、in2 (n∈N*),
或an= (n∈N*).
例2 解題導(dǎo)引 利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,一般有以下三種方法:
(1)累加法:如果已知數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)an+1與an的差的一個(gè)關(guān)系式,我們可依次寫出前n項(xiàng)中所有相鄰兩項(xiàng)的差的關(guān)系式,然后把這n-1個(gè)式子相加,整理求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)累積法:如果已知數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)an+1與an的商的一個(gè)關(guān)系式,我們可依次寫出前n項(xiàng)中所有相鄰兩項(xiàng)的商的關(guān)系式,然后把這n-1個(gè)式子相乘,整理求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(3)構(gòu)造法:根據(jù)所給數(shù)列的遞推公式以及其他有關(guān)關(guān)系式,進(jìn)行變形整理,構(gòu)造出一個(gè)新的等差或等比數(shù)列,利用等差或等比 16、數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.
解 (1)當(dāng)n=1,2,3,…,n-1時(shí),可得n-1個(gè)等式,an-an-1=n-1,an-1-an-2=n-2,…,a2-a1=1,
將其相加,
得an-a1=1+2+3+…+(n-1).
∴an=a1+=2+.
(2)方法一 an=··…···a1
=n-1·n-2·…·2·1
=1+2+…+(n-1)=,
∴an=.
方法二 由2n-1an=an-1,
得an=n-1an-1.
∴an=n-1an-1
=n-1·n-2an-2
=n-1·n-2·…·1a1
=(n-1)+(n-2)+…+2+1=
變式遷移2 解 (1)∵an+1=3an+ 17、2,∴an+1+1=3(an+1),
∴=3,
∴數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,公比q=3,
又a1+1=2,
∴an+1=2·3n-1,∴an=2·3n-1-1.
(2)∵an+1=(n+1)an,∴=n+1.
∴=n,=n-1,
……
=3,
=2,
a1=1.
累乘可得,an=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!.
故an=n!.
(3)∵an+1=an+ln,
∴an+1-an=ln=ln .
∴an-an-1=ln ,
an-1-an-2=ln ,
……
a2-a1=ln ,
累加可得,an-a1=ln +ln +…+ln
=ln 18、n-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+…+ln 2-ln 1
=ln n.
又a1=2,∴an=ln n+2.
例3 解題導(dǎo)引 an與Sn的關(guān)系式an=Sn-Sn-1的條件是n≥2,求an時(shí)切勿漏掉n=1,即a1=S1的情況.一般地,當(dāng)a1=S1適合an=Sn-Sn-1時(shí),則需統(tǒng)一“合寫”.當(dāng)a1=S1不適合an=Sn-Sn-1時(shí),則通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示,即an=
解 當(dāng)n=1時(shí),
a1=S1=2×12-3×1+1=0;
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2n2-3n+1)-2(n-1)2+3(n-1)-1=4n-5;
又n=1時(shí),an=4×1-5=-1≠a1,
19、∴an=
變式遷移3 解 (1)a1=S1=3+b,
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.
當(dāng)b=-1時(shí),a1適合此等式;
當(dāng)b≠-1時(shí),a1不適合此等式.
∴當(dāng)b=-1時(shí),an=2·3n-1;
當(dāng)b≠-1時(shí),an=.
(2)由2=an+1,得Sn=2,
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2,得a1=1;
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1
=2-2,
整理,得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
∵數(shù)列{an}各項(xiàng)為正,∴an+an-1>0.
∴an-an-1-2=0.
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.
∴ 20、an=a1+(n-1)×2=2n-1.
課后練習(xí)區(qū)
1.A 2.A 3.A 4.D 5.B
6. 7. 8.
9.解 (1)∵a1=1+,a2=2+,a3=3+,…,
∴an=n+(n∈N*).…………………………………………………………………(6分)
(2)∵a1=-,a2=,a3=-,
a4=,…,
∴an=(-1)n·(n∈N*).………………………………………………………(12分)
10.解 (1)由題意得,an-an-1=n,an-1-an-2=n-1,…,a3-a2=3,a2-a1=2.
將上述各式等號(hào)兩邊累加得,
an-a1=n+(n-1)+…+3+2,
21、即an=n+(n-1)+…+3+2+1=,
故an=.……………………………………………………………………………(4分)
(2)由題意得,=,=,…,=,=.
將上述各式累乘得,=,故an=.……………………………………………………(8分)
(3)由an=2an-1+1,
得an+1=2(an-1+1),
又a1+1=2≠0,所以=2,
即數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列.
所以an+1=2n,即an=2n-1.…………………………………………………………(12分)
11.(1)解 a1=S1=4.……………………………………………………………………(1分) 22、
對(duì)于n≥2有an=Sn-Sn-1=2n(n+1)-2(n-1)n=4n.a1也適合,
∴{an}的通項(xiàng)公式an=4n.………………………………………………………………(3分)
將n=1代入Tn=2-bn,得b1=2-b1,故T1=b1=1.………………………………(4分)
(求bn方法一)對(duì)于n≥2,由Tn-1=2-bn-1,
Tn=2-bn,得bn=Tn-Tn-1=-(bn-bn-1),
∴bn=bn-1,bn=21-n.……………………………………………………………………(6分)
(求bn方法二)對(duì)于n≥2,由Tn=2-bn得
Tn=2-(Tn-Tn-1),
2Tn=2 23、+Tn-1,Tn-2=(Tn-1-2),
Tn-2=21-n(T1-2)=-21-n,
Tn=2-21-n,
bn=Tn-Tn-1=(2-21-n)-(2-22-n)=21-n.
b1=1也適合.……………………………………………………………………………(6分)
綜上,{bn}的通項(xiàng)公式bn=21-n.…………………………………………………………(8分)
(2)證明 方法一 由cn=a·bn=n225-n,………………………………………………(10分)
得=2.………………………………………………………………………(12分)
當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí),1+≤<,
∴<·()2=1,又cn=n2·25-n>0,
即cn+1
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