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1、▼▼▼2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料▼▼▼
學(xué)案24 平面向量及其線性運算
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解向量的實際背景.2.理解平面向量的概念、理解兩個向量相等的含義.
3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的含義.6.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義．
自主梳理
1.向量的有關(guān)概念
(1)向量的定義：既有________又有________的量叫做向量．
(2)表示方法：用____________來表示向量．有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．用字母a，b，…或用，，…表示．
2、(3)模：向量的________叫向量的長度或模，記作______或________．
(4)零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向是________．
(5)單位向量：長度為________單位長度的向量叫做單位向量．與a平行的單位向量e＝____________.
(6)平行向量：方向________或________的________向量；平行向量又叫________，任一組平行向量都可以移到同一直線上．規(guī)定：0與任一向量________．
(7)相等向量：長度________且方向________的向量．
2．向量的加法運算及其幾何意義
(1)已知非零向量a
3、，b，在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的____，記作________，即________＝＋＝________，這種求向量和的方法叫做向量加法的____________．
(2)以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點的對角線就是a與b的和，這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的____________．
(3)加法運算律
a＋b＝________ (交換律)；
(a＋b)＋c＝________(結(jié)合律)．
3．向量的減法及其幾何意義
(1)相反向量
與a________、________的向量，叫做a的相反向量，記作____．
(
4、2)向量的減法
①定義a－b＝a＋____，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的________．
②如圖，＝a，＝b，則＝______，＝______.
4．向量數(shù)乘運算及其幾何意義
(1)定義：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作______，它的長度與方向規(guī)定如下：
①|(zhì)λa|＝________；
②當(dāng)λ>0時，λa與a的方向________；當(dāng)λ<0時，λa與a的方向________；當(dāng)a＝0時，λa＝____；當(dāng)λ＝0時，λa＝____.
(2)運算律
設(shè)λ，μ是兩個實數(shù)，則
①λ(μa)＝________.(結(jié)合律)
②(λ＋μ)a＝________.(第一分配
5、律)
③λ(a＋b)＝________.(第二分配律)
(3)兩個向量共線定理：向量b與a (a≠0)共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.
5．重要結(jié)論
(1)＝(＋＋)?G為△ABC的________；
(2)＋＋＝0?P為△ABC的________．
自我檢測
1．(2010·四川改編)設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，2＝16，|＋|＝|－|，則||＝________.
2．下列四個命題：
①對于實數(shù)m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②對于實數(shù)m和向量a，b (m∈R)，若ma＝mb，則a＝b；
③若ma＝na (m，n∈R，a≠0
6、)，則m＝n；
④若a＝b，b＝c，則a＝c，
其中正確命題的個數(shù)為________．
3．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，則用a，b表示為________．
4．(2010·湖北改編)已知△ABC和點M滿足＋＋＝0.若存在實數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝________.
5．(2009·安徽)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，則λ＋μ＝______.
探究點一 平面向量的有關(guān)概念辨析
例1?、儆邢蚓€段就是向量，向量就是有向線段；
②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；
③向量與向量共線，則A、B、C
7、、D四點共線；
④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
以上命題中正確的個數(shù)為________．
變式遷移1 下列命題中正確的有________(填寫所有正確命題的序號)．
①|(zhì)a|＝|b|?a＝b；
②若a＝b，b＝c，則a＝c；
③|a|＝0?a＝0；
④若A、B、C、D是不共線的四點，則＝?四邊形ABCD是平行四邊形．
探究點二 向量的線性運算
例2 已知任意平面四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點．求證：＝(＋)．
變式遷移2 如圖所示，若四邊形ABCD是一個等腰梯形，AB∥DC，M、N分別是DC、AB的中點，已知＝a，＝b，＝c，試用a、b、
8、c表示，，＋.
探究點三 共線向量問題
例3 如圖所示，平行四邊形ABCD中，＝b，＝a，M為AB中點，N為BD靠近B的三等分點，求證：M、N、C三點共線．
變式遷移3 設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線．
(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求證：A、C、D三點共線；
(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A、C、D三點共線，求k的值．
1．若點P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)的任意一點，則＝(＋)．如圖所示．
2．證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量與三點
9、共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．
3．三點共線的性質(zhì)定理：
(1)若平面上三點A、B、C共線，則＝λ.
(2)若平面上三點A、B、C共線，O為不同于A、B、C的任意一點，則＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
(滿分：90分)
一、填空題(每小題6分，共48分)
1．若O、E、F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是________(填上正確的序號)．
①＝＋； ②＝－；
③＝－＋； ④＝－－.
2．設(shè)a，b為不共線向量，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則使＝λ成立的λ值為________．
3．設(shè)a，b是任意的兩個向量，λ∈R，給出下面四
10、個結(jié)論：
①若a與b共線，則b＝λa；
②若b＝－λa，則a與b共線；
③若a＝λb，則a與b共線；
④當(dāng)b≠0時，a與b共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ＝λ1，使得a＝λ1b.
其中正確的結(jié)論有________(填上正確的序號)．
4．在△ABC中，＝c，＝b，若點D滿足＝2，則用b，c表示為________．
5．(2010·廣東中山高三六校聯(lián)考)在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若＝2，＝＋λ，則λ＝________.
6．(2009·湖南)如下圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，則x＝______，y＝_______.
7．已知＝a，＝b，＝λ
11、(λ≠0)，則＝_________.
8．O是平面上一點，A，B，C是平面上不共線三點，動點P滿足＝＋λ(＋)，λ＝時，則·(＋)的值為________．
二、解答題(共42分)
9．(14分)若a，b是兩個不共線的非零向量，a與b起點相同，則當(dāng)t為何值時，a，tb，(a＋b)三向量的終點在同一條直線上？
10．(14分)在△ABC中，＝，＝，BE與CD交于點P，且＝a，＝b，用a，b表示.
11．(14分)已知點G是△ABO的重心，M是AB邊的中點．
(1)求＋＋；
(2)若PQ過△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求證：＋＝3.
12、
答案 自主梳理
1．(1)大小 方向 (2)有向線段 (3)大小 |a| || (4)任意的 (5)1個 ± (6)相同 相反 非零 共線向量 平行 (7)相等 相同 2.(1)和 a＋b a＋b 三角形法則 (2)平行四邊形法則 (3)b＋a a＋(b＋c) 3.(1)長度相等 方向相反?。璦 (2)①(－b) 相反向量 ②a＋b a－b 4.(1)λa?、質(zhì)λ||a|?、谙嗤∠喾础? 0 (2)①(λμ)a?、讦薬＋μa?、郐薬＋λb 5.(1)重心 (2)重心
自我檢測
1．2
解析 由2＝16，得||＝4，
|＋|＝|－|＝||＝4.
而|＋|＝2|
13、|，故||＝2.
2．3
解析?、俑鶕?jù)實數(shù)與向量積的運算可判斷其正確；②當(dāng)m＝0時，ma＝mb＝0，但a與b不一定相等，故②錯誤；③正確；④由于向量相等具有傳遞性，故④正確．
3．－a＋b
解析 由＝3得4＝3＝3(a＋b)，
又＝a＋b，所以＝(a＋b)－
＝－a＋b.
4．3
解析 由題目條件可知，M為△ABC的重心，連結(jié)AM并延長交BC于D，則＝，①
因為AD為中線，則＋＝2＝m，
即2＝m，②
聯(lián)立①②可得m＝3.
5.
解析 設(shè)＝a，＝b，
那么＝a＋b，＝a＋b，又∵＝a＋b，
∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
課堂活動區(qū)
例1 0
解析?、?/p>
14、不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段；
②不正確，若a與b中有一個為零向量時也互相平行，但零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；
③不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；
④不正確，如果b＝0時，則a與c不一定平行．
變式遷移1?、冖邰?
解析?、倌Ｏ嗤?，方向不一定相同，
故①不正確；
②兩向量相等，要滿足模相等且方向相同，故向量相等具備傳遞性，②正確；
③只有零向量的模才為0，故③正確；
④＝，即模相等且方向相同，即平行四邊形對邊平行且相等．故④正確．
例2 證明 方法一 如圖所示，
在四邊形CDEF中，
＋＋＋＝0.①
在
15、四邊形ABFE中，
＋＋＋＝0.②
①＋②得
(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＝0.
∵E、F分別是AD、BC的中點，
∴＋＝0，＋＝0.
∴2＝－－＝＋，
即＝(＋)．
方法二 取以A為起點的向量，應(yīng)用三角形法則求證．
∵E為AD的中點，∴＝.
∵F是BC的中點，∴＝(＋)．
又＝＋，∴＝(＋＋)
＝(＋)＋
＝(＋)＋
∴＝－＝(＋)．
即＝(＋)．
變式遷移2 解?。剑?
＝－a＋b＋c，
∵＝＋＋，
＝－＝－c，＝－＝－b，
＝＝a，∴＝a－b－c，
＋＝＋＋＋＝2＝a－2b－c.
例3 解題導(dǎo)引 (1)在平面幾何中，向量之間的關(guān)系一般通過兩個
16、指定的向量來表示，向量共線應(yīng)存在實數(shù)λ使兩向量能互相表示．
(2)向量共線的判斷(或證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線．
證明 在△ABD中，＝－，
因為＝a，＝b，所以＝b－a.
∵N點是BD的三等分點，
∴＝＝(b－a)．
∵＝b，∴＝－
＝(b－a)－b＝－a－b.①
∵M(jìn)為AB中點，∴＝a，
∴＝－＝－(＋)
＝－＝－a－b.②
由①②可得：＝.
由共線向量定理知：∥，
又∵與有公共點C，
∴M、N、C三點共線．
變式遷移3 (1)證明 ∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，
∴＝＋＝e1－e2＋3e1＋2
17、e2
＝4e1＋e2＝－(－8e1－2e2)＝－.
∴與共線．
又∵與有公共點C，∴A、C、D三點共線．
(2)解 ＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)
＝3e1－2e2，
∵A、C、D三點共線，∴與共線，
從而存在實數(shù)λ使得＝λ，
即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)．
由平面向量的基本定理得
解之，得∴k的值為.
課后練習(xí)區(qū)
1．②
解析 由減法的三角形法則知＝－.
2．2
解析?。剑絘＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.
3．②③④
解析 題目考查兩向量共線的充要條件，此定理應(yīng)把握好兩點：(1)與λ相乘
18、的向量為非零向量，(2)λ存在且唯一．故②③④正確．
4.＝b＋c
解析 如圖，
＝＋
＝c＋
＝c＋(b－c)
＝b＋c.
5.
解析 ∵＝＋，＝＋，
∴2＝＋＋＋.
又＝2，
∴2＝＋＋
＝＋＋(－)
＝＋.
∴＝＋，即λ＝.
6．1＋
解析 作DF⊥AB交AB的延長線于F，設(shè)AB＝AC＝1?BC＝DE＝，∵∠DEB＝60°，∴BD＝.
由∠DBF＝45°，
得DF＝BF＝×＝，所以＝，＝，
所以＝＋＋＝(1＋)＋.
7.a＋b
解析 ＝＋＝＋
＝＋(－)
＝a＋(b－a)＝a＋b.
8．0
解析 由＝＋λ(＋)，λ＝，得＝(＋)
19、，即點P為△ABC中BC邊的中點，
∴＋＝0.
∴·(＋)＝·0＝0.
9．解 設(shè)＝a，＝tb，＝(a＋b)，
∴＝－＝－a＋b，…………………………………………………………(4分)
＝－＝tb－a.……………………………………………………………………(6分)
要使A、B、C三點共線，只需＝λ，
即－a＋b＝λtb－λa，……………………………………………………………………(8分)
∴ ∴……………………………………………………(13分)
∴當(dāng)t＝時，三向量終點在同一直線上．……………………………………………(14分)
10．解 取AE的三等分點M，
使|AM|＝
20、|AE|，連結(jié)DM.
設(shè)|AM|＝t，則|ME|＝2t.
又|AE|＝|AC|，
∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，
＝＝，……………………………………………………………………………(5分)
∴DM∥BE，∴＝＝＝.
∴|DP|＝|DC|.
∴＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋
＝＋＝a＋b.……………………………………………………………(14分)
11．解 (1)∵點G是△ABO的重心，
∴＋＋＝0.……………………………………………………………………(2分)
(2)∵M(jìn)是AB邊的中點，
∴＝(a＋b)．
∵G是△ABO的重心，
∴＝＝(a＋b)．
∵P、G、Q三點共線，∴∥，
且有且只有一個實數(shù)λ，使＝λ.……………………………………………………(5分)
又＝－＝(a＋b)－ma＝(－m)a＋b，
＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋(n－)b，
∴(－m)a＋b＝λ[－a＋(n－)b]．……………………………………………………(8分)
又因為a、b不共線，所以，…………………………………………(10分)
消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.……………………………………………(14分)
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