第二章 平面向量§2.1 平面向量的實際背景及基本概忥

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1、 第二章 平面向量 §2.1 平面向量的實際背景及基本概念 教學目標： 1. 了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量. 2. 通過對向量的學習，使學生初步理解現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質區(qū)別. 3. 通過學生對向量與數(shù)量的識別水平的訓練，培養(yǎng)學生理解客觀事物的數(shù)學本質的水平. 教學重點：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量. 教學難點：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系. 理概念來學習向量的概念，結合圖形實物區(qū)分平

2、行向量、相等向量、共線向量等概念. 教 具：多媒體或實物投影儀，尺規(guī) 授課類型：新授課 教學思路： 一、情景設置： A B C D 如圖，老鼠由A向西北逃竄，貓在B處向東追去，設問：貓能否追到老鼠？（畫圖） 結論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了. 分析：老鼠逃竄的路線AC、貓追逐的路線BD實際上都是有方向、有長短的量. 引言：請同學指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？ 二、新課學習： （一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量 （二）請同學閱讀課本后回答：（可制作成幻燈片） 1、數(shù)量與向量有何區(qū)別？ 2、如何表示向量？ 3、

3、有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別能夠表示向量的什么？ 4、長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？ 5、滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？ 6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關系？ 7、如果把一組平行向量的起點全部移到一點O，這是它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關系？ （三）探究學習 1、數(shù)量與向量的區(qū)別： 數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，能夠實行代數(shù)運算、比較大?。? 向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小. A(起點) B （終點） a 2.向量的表示方法： ①用有向線段表示； ②用字母ａ

4、、ｂ （黑體，印刷用）等表示； ③用有向線段的起點與終點字母：； ④向量的大小――長度稱為向量的模，記作||. 3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度. 向量與有向線段的區(qū)別： （1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量； （2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，即使大小和方向相同，也是不同的有向線段. 4、零向量、單位向量概念： ①長度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的. 注意0與0的含義與書寫區(qū)別. ②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量. 說明：零向量、單位

5、向量的定義都僅僅限制了大小. 5、平行向量定義： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行. 說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，記作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定義： 長度相等且方向相同的向量叫相等向量. 說明：（1）向量ａ與ｂ相等，記作ａ＝ｂ；（2）零向量與零向量相等； （3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關. 7、共線向量與平行向量關系： 平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關）. 說明：（1）平行向量能夠在同一直線上，要

6、區(qū)別于兩平行線的位置關系；（2）共線向量能夠相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系. （四）理解和鞏固： 例1 書本86頁例1. 例2判斷： （1）平行向量是否一定方向相同？（不一定） （2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定） （3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量） （4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量） （5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（平行向量） （6）兩個非零向量相等的當且僅當什么？（長度相等且方向相同） （7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定） 例3下列命題準確的是（ ） A.ａ與

7、ｂ共線，ｂ與ｃ共線，則ａ與c也共線 B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點 C.向量ａ與ｂ不共線，則ａ與ｂ都是非零向量 D.有相同起點的兩個非零向量不平行 解：因為零向量與任一向量都共線，所以A不準確；因為數(shù)學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量能夠在同一直線上，而此時就構不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不準確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關，所以Ｄ不準確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若ａ與ｂ不都是非零向量，即ａ與ｂ至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有ａ

8、與ｂ共線，不符合已知條件，所以有ａ與ｂ都是非零向量，所以應選C. 例4 如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量、、相等的向量. 變式一：與向量長度相等的向量有多少個？（11個） 變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？（存在） 變式三：與向量共線的向量有哪些？（） 課堂練習： 1．判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由. ①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上； ②單位向量都相等； ③任一向量與它的相反向量不相等； ④四邊形ABCD是平行四邊形當且僅當＝ ⑤一個向量方向不確定當且僅當模為0； ⑥共線的向量，若起

9、點不同，則終點一定不同. 解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上. ②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定. ③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的. ④、⑤正確.⑥不正確.如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同. 三、小結 ： 1、 描述向量的兩個指標：模和方向. 2、 平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡單類比. 3、 向量的圖示，要標上箭頭和始點、終點. 四、課后作業(yè)： §2.2.1 向量的加法運算及其幾何意義 教學目標： 1、 掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義；

10、2、 會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結合解決問題的能力； 3、 通過將向量運算與熟悉的數(shù)的運算進行類比，使學生掌握向量加法運算的交換律和結合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數(shù)學方法； 教學重點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量. 教學難點：理解向量加法的定義. 學 法： 數(shù)能進行運算，向量是否也能進行運算呢？數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學生順理成章接受向量的加法定義.結合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則

11、.聯(lián)系數(shù)的運算律理解和掌握向量加法運算的交換律和結合律. 教 具：多媒體或實物投影儀，尺規(guī) 授課類型：新授課 教學思路： 一、設置情景： 1、 復習：向量的定義以及有關概念 強調：向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是與起點無關的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置 A B C 2、 情景設置： （1）某人從A到B，再從B按原方向到C， C A B 則兩次的位移和： （2）若上題改為從A到B，再從B按反方向到C， A B

12、 C 則兩次的位移和： （3）某車從A到B，再從B改變方向到C， A B C 則兩次的位移和： （4）船速為，水速為，則兩速度和： 二、探索研究： １、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法. ２、三角形法則（“首尾相接，首尾連”） 如圖，已知向量a、ｂ.在平面內任取一點，作＝a，＝ｂ，則向量叫做a與ｂ的和，記作a＋ｂ，即 a＋ｂ，規(guī)定： a + 0-= 0 +a a a A B C a+b a+b a a b b a ｂ ｂ ａ＋ｂ a 探究：（1）兩相向量的和仍

13、是一個向量； （2）當向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|<||+||； O A B a a a b b b （3）當與同向時，則+、、同向，且|+|=||+||，當與反向時，若||>||，則+的方向與相同，且|+|=||-||；若||<||，則+的方向與相同，且|+b|=||-||. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個向量連加 ３．例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面內取一點，作 ，則. ４．加法的交換律和平行四邊形法則 問題：上題中+的結果與+是否相同？ 驗證結果相同 從而得到：１）向

14、量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應） ２）向量加法的交換律：+=+ ５．向量加法的結合律：(+) +=+ (+) 證：如圖：使， ， 則(+) +=，+ (+) = ∴(+) +=+ (+) 從而，多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行. 三、應用舉例： 例二（P94—95）略 練習：P95 四、小結 1、向量加法的幾何意義； ２、交換律和結合律； ３、注意：|+| ≤ || + ||，當且僅當方向相同時取等號. 五、課后作業(yè)： §2.2.2 向量的減法運算及其幾何意義 教學目標： 1. 了解相反向量的概念；

15、 2. 掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義； 3. 通過闡述向量的減法運算可以轉化成向量的加法運算，使學生理解事物之間可以相互轉化的辯證思想. 教學重點：向量減法的概念和向量減法的作圖法. 教學難點：減法運算時方向的確定. 學 法：減法運算是加法運算的逆運算，學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量. 教 具：多媒體或實物投影儀，尺規(guī) 授課類型：新授課 教學思路： 一、 復習：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則 A B D C 向

16、量加法的運算定律： 例：在四邊形中， . 解： 二、 提出課題：向量的減法 1． 用“相反向量”定義向量的減法 （1） “相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作 -a （2） 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果a、b互為相反向量，則a = -b， b = -a， a + b = 0 （3） 向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差. 即：a - b = a + (-b) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法. 2．

17、用加法的逆運算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運算： O a b B a b a-b 若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b 3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 ∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面內取一點O， 作= a， = b 則= a - b 即a - b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量. 注意：1°表示a -

18、b.強調：差向量“箭頭”指向被減數(shù) O A B a B’ b -b b B a+ (-b) a b 2°用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + (-b) 顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一. 4． 探究： １） 如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得向量是b - a. a-b A A B B B’ O a-b a a b b O A O B a-b a-b B A O -b ２）若a

19、∥b， 如何作出a - b?。? 三、 例題： 例一、（P９７ 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d. 解：在平面上取一點O，作= a， = b， = c， = d， A B C b a d c D O 作， ， 則= a-b， = c-d A B D C 例二、平行四邊形中，a，b， 用a、b表示向量、. 解：由平行四邊形法則得： = a + b， = = a-b 變式一：當a， b滿足什么條件時，a+b與a

20、-b垂直？（|a| = |b|） 變式二：當a， b滿足什么條件時，|a+b| = |a-b|？（a， b互相垂直） 變式三：a+b與a-b可能是相當向量嗎？（不可能，∵ 對角線方向不同） 練習：Ｐ98 四、 小結：向量減法的定義、作圖法| 2.3平面向量的基本定理及坐標表示 §2.3.1 平面向量基本定理 教學目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法； （3）能夠在具體問題中適當?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達. 教學重點：平面向量基本定理. 教學難

21、點：平面向量基本定理的理解與應用. 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、 復習引入： 1．實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作：λ （1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0時λ與方向相同；λ<0時λ與方向相反；λ=0時λ= 2．運算定律 結合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ， λ(+)=λ+λ 3. 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ. 二、講解新課： 平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ

22、1，λ2使=λ1+λ2. 探究： (1) 我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底； (2) 基底不惟一，關鍵是不共線； (3) 由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解； (4) 基底給定時，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量 三、講解范例： 例1 已知向量， 求作向量-2.5+3. 例2 如圖 ABCD的兩條對角線交于點M，且=，=，用，表示，，和 例3已知 ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點，求證：

23、+++=4 例4（1）如圖，，不共線，=t (t?R)用，表示. （2）設不共線，點P在O、A、B所在的平面內，且.求證：A、B、P三點共線. 例5 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共線，向量c=2e1-9e2，問是否存在這樣的實數(shù)與c共線. 五、 課堂練習： §2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐標表示及運算 教學目的： （1）理解平面向量的坐標的概念； （2）掌握平面向量的坐標運算； （3）會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線. 教學重點：平面向量的坐標運算 教學難點：向量的坐標表

24、示的理解及運算的準確性. 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、復習引入： 1．平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2 (1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底； (2)基底不惟一，關鍵是不共線； (3)由定理可將任一向量ａ在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解； (4)基底給定時，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量 二、講解新課： 1．平面向量的坐標表示 如圖，在直角坐標系內，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個

25、單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得 ………… 我們把叫做向量的（直角）坐標，記作 ………… 其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，式叫做向量的坐標表示.與相等的向量的坐標也為. 特別地，，，. 如圖，在直角坐標平面內，以原點O為起點作，則點的位置由唯一確定. 設，則向量的坐標就是點的坐標；反過來，點的坐標也就是向量的坐標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示. 2．平面向量的坐標運算 （1） 若，，則， 兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差. 設基底為、，則 即，同理可得

26、（2） 若，，則 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標. =-=( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1) （3）若和實數(shù)，則. 實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標. 設基底為、，則，即 三、講解范例： 例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐標. 例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐標. 例3 已知平面上三點的坐標分別為A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求點D的坐標使這四點構成平行四邊形四個頂點. 解：當平行四邊形為ABCD時，由得D1

27、=(2， 2) 當平行四邊形為ACDB時，得D2=(4， 6)，當平行四邊形為DACB時，得D3=(-6， 0) 例4已知三個力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力++=，求的坐標. 解：由題設++= 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x， y)=(0， 0) 即： ∴ ∴(-5，1) 四、課堂練習： 五、小結（略） §2.3.4 平面向量共線的坐標表示 教學目的： （1）理解平面向量的坐標的概念； （2）掌握平面向量的坐標運算； （3）會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線. 教學重點：平面向量的坐標運算 教學難點：

28、向量的坐標表示的理解及運算的準確性 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、復習引入： 1．平面向量的坐標表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得 把叫做向量的（直角）坐標，記作 其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標， 特別地，，，. 2．平面向量的坐標運算 若，， 則，，. 若，，則 二、講解新課： ∥ (1)的充要條件是x1y2-x2y1=0 設=(x1， y1) ，=(x2， y2) 其中1. 由=λ得， (x1， y1) =λ(x2， y2)

29、 消去λ，x1y2-x2y1=0 探究：（1）消去λ時不能兩式相除，∵y1， y2有可能為0， ∵1 ∴x2， y2中至少有一個不為0 （2）充要條件不能寫成 ∵x1， x2有可能為0 (3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：∥ (1) 三、講解范例： 例1已知=(4，2)，=(6， y)，且∥，求y. 例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關系. 例3設點P是線段P1P2上的一點， P1、P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2). (1) 當點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標； (2) 當點P

30、是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標. 例4若向量=(-1，x)與=(-x， 2)共線且方向相同，求x 解：∵=(-1，x)與=(-x， 2) 共線 ∴(-1)×2- x?(-x)=0 ∴x=± ∵與方向相同 ∴x= 例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？ 解：∵=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴∥ 又 ∵ =(1-(-1)， 5-(-

31、1))=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×610 ∴與不平行 ∴A，B，C不共線 ∴AB與CD不重合 ∴AB∥CD 四、課堂練習： 五、小結 （略） §2.4平面向量的數(shù)量積 一、 平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義 教學目的： 1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義； 2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質及運算律； 3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題； 4.掌握向量垂直的條件. 教學重點：平面向量的數(shù)量積定義 教學難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應用 授課類型：新授

32、課 教 具：多媒體、實物投影儀 內容分析： ?? 本節(jié)學習的關鍵是啟發(fā)學生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導學生推導數(shù)量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學生對于平面向量數(shù)量積的認識.主要知識點：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個重要性質；平面向量數(shù)量積的運算律. 教學過程： 一、復習引入： 1． 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ. 2．平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2 3．平面向量的坐標表示 分別

33、取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得 把叫做向量的（直角）坐標，記作 4．平面向量的坐標運算 若，，則，，. 若，，則 5．∥ (1)的充要條件是x1y2-x2y1=0 6．線段的定比分點及λ P1， P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1， P2的任一點，存在實數(shù)λ， 使 =λ，λ叫做點P分所成的比，有三種情況： λ>0(內分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 7. 定比分點坐標公式： 若點P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ為實數(shù)，且

34、＝λ，則點P的坐標為（），我們稱λ為點P分所成的比. 8. 點P的位置與λ的范圍的關系： ①當λ＞０時，與同向共線，這時稱點P為的內分點. ②當λ＜０()時，與反向共線，這時稱點P為的外分點. 9.線段定比分點坐標公式的向量形式： 在平面內任取一點O，設＝ａ，＝ｂ， 可得=. 10．力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F與s的夾角. 二、講解新課： 1．兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角. 說明：（1）當θ＝０時，ａ與ｂ同向； （2）當θ＝π時，ａ與ｂ反向； （3）當θ＝時，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥

35、ｂ； （4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0°≤q≤180° C 2．平面向量數(shù)量積（內積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a||b|cosq， （０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. ×探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別 （1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定. （2）兩個向量的數(shù)量積稱為內積，寫成a×b；今后要學到兩個向量的外積a×b，而a×b是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分.符號“· ”在向量運算中不是

36、乘號，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在實數(shù)中，若a10，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a10，且a×b=0，不能推出b=0.因為其中cosq有可能為0. （4）已知實數(shù)a、b、c(b10)，則ab=bc T a=c.但是a×b = b×c a = c 如右圖：a×b = |a||b|cosb = |b||OA|，b×c = |b||c|cosa = |b||OA| T a×b = b×c 但a 1 c (5)在實數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c 1 a(b×c) 顯然，這是因為左端是與c共線的

37、向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線. 3．“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一個數(shù)量，不是向量；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0°時投影為 |b|；當q = 180°時投影為 -|b|. 4．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積. 5．兩個向量的數(shù)量積的性質： 設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量. 1° e×a = a×e =|a|cosq 2° a^b

38、? a×b = 0 3° 當a與b同向時，a×b = |a||b|；當a與b反向時，a×b = -|a||b|. 特別的a×a = |a|2或 4° cosq = 5° |a×b| ≤ |a||b| 三、講解范例： 例1 已知|a|=5， |b|=4， a與b的夾角θ=120o，求a·b. 例2 已知|a|=6， |b|=4， a與b的夾角為60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直. 例4 判斷正誤，并簡要說明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜

39、｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，則對任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，則ａ與ｂ中至少有一個為0；⑦對任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ與ｂ是兩個單位向量，則ａ２＝ｂ２. 解：上述8個命題中只有③⑧正確； 對于①：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，應有0·ａ＝０；對于②：應有０·ａ＝0； 對于④：由數(shù)量積定義有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，這里θ是ａ與ｂ的夾角，只有θ＝０或θ＝π時，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜； 對于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 對于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 對于⑦：若ａ與с共線，記ａ＝λс. 則ａ·ｂ＝

40、（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ與с不共線，則(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ. 評述：這一類型題，要求學生確實把握好數(shù)量積的定義、性質、運算律. 例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，當①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ與ｂ的夾角是60°時，分別求ａ·ｂ. 解：①當ａ∥ｂ時，若ａ與ｂ同向，則它們的夾角θ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ與ｂ反向，則它們的夾角θ＝180°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②當ａ⊥ｂ時，它們的夾角θ＝90°， ∴

41、ａ·ｂ＝０； ③當ａ與ｂ的夾角是60°時，有 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9 評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關，其范圍是［0°，180°］，因此，當ａ∥ｂ時，有0°或180°兩種可能. 四、課堂練習： 五、小結（略） 二、平面向量數(shù)量積的運算律 教學目的： 1.掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律； 2.能利用數(shù)量積的5個重要性質及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關問題； 3.掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題. 教學重點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律. 教學難

42、點：平面向量數(shù)量積的應用 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實物投影儀 內容分析： ? 啟發(fā)學生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎上，逐步把握數(shù)量積的運算律，引導學生注意數(shù)量積性質的相關問題的特點，以熟練地應用數(shù)量積的性質.? 教學過程： 一、復習引入： 1．兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角. 2．平面向量數(shù)量積（內積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a||b|cosq， （０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量

43、積為0. 3．“投影”的概念：作圖 C 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一個數(shù)量，不是向量；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0°時投影為 |b|；當q = 180°時投影為 -|b|. 4．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積. 5．兩個向量的數(shù)量積的性質： 設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量. 1° e×a = a×e =|a|cosq； 2° a^b ? a×b = 0 3°

44、 當a與b同向時，a×b = |a||b|；當a與b反向時，a×b = -|a||b|. 特別的a×a = |a|2或 4°cosq = ；5°|a×b| ≤ |a||b| 二、講解新課： 平面向量數(shù)量積的運算律 1．交換律：a × b = b × a 證：設a，b夾角為q，則a × b = |a||b|cosq，b × a = |b||a|cosq ∴a × b = b × a 2．數(shù)乘結合律：(a)×b =(a×b) = a×(b) 證：若> 0，(a)×b =|a||b|cosq， (a×b) =|a||b|cosq，a×(b) =|a||b|cosq， 若< 0，

45、(a)×b =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq，(a×b) =|a||b|cosq， a×(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq. 3．分配律：(a + b)×c = a×c + b×c 在平面內取一點O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 ∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b

46、| cosq2， ∴c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c 說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с） （2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ （3）有如下常用性質：ａ２＝｜ａ｜２， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２ 三、講解范例： 例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角. 解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 T 7a2 + 16a×b -15b2 = 0 ①

47、 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 T 7a2 - 30a×b + 8b2 = 0 ② 兩式相減：2a×b = b2 代入①或②得：a2 = b2 設a、b的夾角為q，則cosq = ∴q = 60° 例2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和. 解：如圖：平行四邊形ABCD中，，，= ∴||2= 而= ， ∴||2= ∴||2 + ||2 = 2= 例3 四邊形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，試問四邊形ABCD是什么圖形? 分析：四邊形的形狀由邊角關系確定，關鍵是由題設條件演變、推算該四邊形的邊角

48、量. 解：四邊形ABCD是矩形，這是因為： 一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２ 即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２ 由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２② 由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四邊形ABCD兩組對邊分別相等. ∴四邊形ABCD是平行四邊形 另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四邊形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC. 綜上所述，四邊形AB

49、CD是矩形. 評述：(1)在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應注意這一隱含條件應用； (2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關鍵是構造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關系. 四、課堂練習： 五、小結（略） 三、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角 教學目的： ⑴要求學生掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示 ⑵掌握向量垂直的坐標表示的充要條件，及平面內兩點間的距離公式. ⑶能用所學知識解決有關綜合問題. 教學重點：平面向量數(shù)量積的坐標表示 教學難點：平面向量數(shù)量積的坐標表示的綜合運用 授課類型：新授課 教 具：多媒體

50、、實物投影儀 教學過程： 一、復習引入： 1．兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角. C 2．平面向量數(shù)量積（內積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a||b|cosq， （０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 3．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積. 4．兩個向量的數(shù)量積的性質： 設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量. 1° e×a = a×

51、e =|a|cosq； 2° a^b ? a×b = 0 3° 當a與b同向時，a×b = |a||b|；當a與b反向時，a×b = -|a||b|. 特別的a×a = |a|2或 4° cosq = ；5°|a×b| ≤ |a||b| 5．平面向量數(shù)量積的運算律 交換律：a × b = b × a 數(shù)乘結合律：(a)×b =(a×b) = a×(b) 分配律：(a + b)×c = a×c + b×c 二、講解新課： ⒈ 平面兩向量數(shù)量積的坐標表示 已知兩個非零向量，，試用和的坐標表示. 設是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么， 所以 又，，，所以 這

52、就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.即 2. 平面內兩點間的距離公式 六、 設，則或. （2）如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么(平面內兩點間的距離公式) 七、 向量垂直的判定 設，，則 八、 兩向量夾角的余弦（） cosq = 九、 講解范例： 十、 設a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a·b及a、b間的夾角θ(精確到1o) 例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，試判斷△ABC的形狀，并給出證明. 例3 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求滿足x×a = 9與x×b =

53、-4的向量x. 解：設x = (t， s)， 由 ∴x = (2， -3) 例4 已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），則a與b的夾角是多少? 分析：為求a與b夾角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再結合夾角θ的范圍確定其值. 解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１） 有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２． 記a與b的夾角為θ，則ｃｏｓθ＝ 又∵０≤θ≤π，∴θ＝ 評述：已知三角形函數(shù)值求角時，應注重角的范圍的確定. 例5 如圖，以原點和A(5， 2)為頂點作等腰直角△OAB，使DB = 90°，求點B和向量的坐標. 解：設B點坐標(x， y)，則

54、= (x， y)，= (x-5， y-2) ∵^ ∴x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29 由 ∴B點坐標或；=或 例6 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一個內角為直角， 求k值. 解：當A = 90°時，×= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 當B = 90°時，×= 0，=-= (1-2， k-3) = (-1， k-3) ∴2×(-1) +3×(k-3) = 0 ∴k =

55、 當C = 90°時，×= 0，∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k = 復習課 一、教學目標 1. 理解向量.零向量.向量的模.單位向量.平行向量.反向量.相等向量.兩向量的夾角等概念。 2. 了解平面向量基本定理. 3. 向量的加法的平行四邊形法則（共起點）和三角形法則（首尾相接）。 4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(試問：取等號的條件是什么?)和向量形式的平行四邊形定理：2(||+||)=|－|+|+|. 5. 了解實數(shù)與向量的乘法（即數(shù)乘的意義）： 6. 向量的坐標概念和坐標表示法 7. 向量的坐標運算（加.減.實數(shù)和向

56、量的乘法.數(shù)量積） 8. 數(shù)量積（點乘或內積）的概念，·=||||cos=xx+yy注意區(qū)別“實數(shù)與向量的乘法；向量與向量的乘法” 二、知識與方法 向量知識，向量觀點在數(shù)學.物理等學科的很多分支有著廣泛的應用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學數(shù)學教學內容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考中應引起足夠的重視. 數(shù)量積的主要應用：①求模長；②求夾角；③判垂直 三、典型例題 例1.對于任意非零向量與，求證：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜ 證明：(1)兩個非零向量與不共線時，+的方向與，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜ (3)

57、兩個非零向量與共線時，①與同向，則+的方向與.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②與異向時，則+的方向與模較大的向量方向相同，設||＞||，則|+|=||-||.同理可證另一種情況也成立。 例2 已知O為△ABC內部一點，∠AOB=150°，∠BOC=90°，設=，=，=， 且||=2，||=1，| |=3，用與表示 解：如圖建立平面直角坐標系xoy，其中, 是單位正交基底向量, 則B（0，1），C（-3，0），設A（x，y），則條件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是= －, =， =-3所以-3=3+|即=3－3 例3.下面5個命題：①|·|=||·||②(·)=·③⊥(－)，則·=· ④·=0，則|+|=|－|⑤·=0，則=或=，其中真命題是（ ） A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤