高考物理必修知識點知識講解曲線運動、萬有引力綜合復習提高

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1、 曲線運動、萬有引力綜合復習 編稿：周軍 審稿：吳楠楠 【學習目標】 1.理解運動的合成與分解 2.熟練掌握平拋運動、圓周運動 3.理解天體問題的處理方法 4.理解人造衛(wèi)星的運動規(guī)律 【知識網絡】 一、曲線運動 曲線運動的方向：軌跡上某點切線方向 曲線運動的條件：合外力與速度方向不共線 曲線運動的性質：是變速運動，具有加速度 曲線運動的性質 對運動以及相應的位移、速度和加速度 進行合成或分解 運動合成與分解的內容 矢量合成與分解的平行四邊形法則 運動合成或分解的法則 合運動與分運動等效性 將運動合成或分解的依據 等效性 同時性 獨立性

2、合運動與分運動的關系 曲線運動的處理方法 （運動的合成與分解） 斜拋運動 斜上拋：初速度方向與重力方向成鈍角 斜下拋：初速度方向與重力方向成銳角 處理方法：與平拋運動的分解方法類似 勻變速曲線運動 平拋運動定義： 平拋運動的條件：只受重力，初速度與重力方向垂直 平拋運動的分解方法：水平方向勻速，豎直方向自由落體。 平拋運動的規(guī)律： 平拋運動 與v0無關 軌跡是拋物線 勻速圓周運動 條件：合外力大小不變，方向總是垂直于速度的方向 描寫的物理量及關系： 力學方程： 描寫圓周運動的瞬時關系全部成立，

3、如 遵守的公式 或規(guī)律 與勻速圓周運動的不同：向心力F向是質點 所受合力的一個分量，即F合≠F向 變速圓周運動 非勻變速曲線運動 （加速度變化） 曲線運動的實例 二、萬有引力定律 軌道定律 速度定律 周期定律 開普勒定律 發(fā)現過程：地面力學規(guī)律向天體推廣 定律內容：（兩質點之間） 定律驗證：月地檢驗，預期哈雷彗星等 萬有引力定律 測量天體的質量和密度 發(fā)現未知天體 掌握行星、衛(wèi)星的運動規(guī)律 萬有引力定律的應用 第一宇宙速度：v1=7.9 km / s 意義 第二宇宙速度：v2=11.2 km / s 意義 第三宇宙速

4、度：v3=16.7 km / s 意義 三個宇宙速度 根據萬有引力定律 計算常用公式 ， 【要點梳理】 要點一、曲線運動及運動的合成與分解 要點詮釋： 1．曲線運動速度的方向 （1）速度的方向：質點在某一點的速度，沿曲線在這一點的切線方向。 （2）獲取途徑： 其一，生活中的現象如：砂輪邊緣飛出的鐵屑、雨天車輪甩出的雨滴、彎曲的水管中噴出的水流等； 其二，由瞬時速度的定義，瞬時速度等于平均速度在時間間隔趨于零時的極限，從理論上得到曲線運動瞬時速度的方向。 （3）曲線運動的性質：速度是矢量，曲線運動的速度時刻在變化，曲線運動一定是變速運動，一定具有加速度，曲線運

5、動受到的合外力一定不等于零。 2．物體做曲線運動的條件 （1）物體做曲線運動條件：當物體受到的合外力與它的速度方向不在同一條直線上時，物體做曲線運動。 如人造地球衛(wèi)星繞地球運行時，它受到的地球的吸引力與它的速度方向不在一條直線上（），所以衛(wèi)星做曲線（圓周）運動。 （2）物體做直線運動條件：當物體受到的合外力與速度的方向在一條直線上或者物體受到的合外力為零時，物體做直線運動。 （3）物體在運動中合外力切向分量和法向分量的作用： 切向分量：改變速度的大小——當合外力的切向分量與速度的方向相同時，物體做加速曲線運動，相反時做減速曲線運動。 法向分量：改變速度的方向——只有使物體偏離原來

6、運動方向的效果，不能改變速度的大小。 （4）曲線運動條件的獲得途徑： 其一，由實際的曲線運動的受力情況可以知道； 其二，通過理性分析可以得知，如在垂直于運動的方向上物體受到了合外力的作用，物體的運動方向便失去了對稱性，必然向著受力的方向偏轉而成為曲線運動。 3．曲線運動軌跡的確定 （1）已知x、y兩個分運動，求質點的運動軌跡； 只要寫出x、y兩個方向的位移時間關系和，由此消除時間t，得到軌跡方程，便知道軌跡是什么形狀。 例如質點在x、y方向上都做勻速直線運動，其速度分別是vx、vy，求其運動的軌跡方程。 第一：寫位移方程 x； 第二：消時間t得到軌跡方程； 可見兩個勻速直

7、線運動的合運動的軌跡仍然是直線。 （2）定性的判斷兩個分運動的合運動的軌跡是直線還是曲線：由曲線運動的條件知，只要看質點的初速度方向和它受到的合外力的方向是否共線便知。 4．合運動與分運動、分運動與分運動之間的關系 等時性：質點所做的各個分運動在同一時間里完成，各個分運動也當然的和合運動在同一時間里完成，也就是說，在一個具體問題的某一過程中，由一個分運動求得的時間和由合運動求得的時間是相同的。 等效性：各個分運動合成后的綜合效果與合運動的效果是完全相同的，否則運動的合成和分解便失去了意義。 獨立性：同時參與的各個分運動是互相獨立、互不影響的，即每一個方向上的運動僅由這一方向質點的受力

8、情況和初始條件決定。 要點二、拋體運動 要點詮釋： 1．拋體運動的分類和性質 （1）性質：拋體運動是勻變速運動，因為它受到恒定的重力mg作用，其加速度是恒定的重力加速度g。 （2）按初速度的方向拋體運動可以分為： 豎直上拋：初速度v0豎直向上，與重力方向相反，物體做勻減速直線運動； 豎直下拋：初速度v0豎直向下，與重力方向相同，物體做勻加速直線運動； 斜上拋：初速度v0的方向與重力的方向成鈍角，物體做勻變速曲線運動； 斜下拋：初速度v0的方向與重力的方向成銳角，物體做勻變速曲線運動； 平拋：初速度v0的方向與重力的方向成直角，即物體以水平速度拋出，物體做勻變速曲線運動；

9、（3）勻變速曲線運動的處理方法： 以解決問題方便為原則，建立合適的坐標系，將曲線運動分解為兩個方向的勻變速直線運動或者分解為一個方向的勻速直線運動和另一個方向的勻變速直線運動加以解決。 2．平拋運動的規(guī)律（按水平和豎直兩個方向分解可得） 水平方向：不受外力，以v0為速度的勻速直線運動： 豎直方向：豎直方向只受重力且初速度為零，做自由落體運動， 平拋運動的軌跡：是一條拋物線 合速度：大?。? 即， 方向：v與水平方向夾角為 合位移：大?。杭?， 方向：S與水平方向夾角為 一個關系：，說明了經過一段時間后，物體位移的方向與該時刻合瞬時速度的方向不相

10、同，速度的方向要陡一些。 3．對平拋運動的研究 （1）平拋運動在空中的飛行時間： 由豎直方向上的自由落體運動得到，飛行時間。由拋出點到落地點的豎直距離和該地的重力加速度決定，拋出點越高或者該地的重力加速度越小，物體飛行的時間就越長，與拋出速度的大小無關。 （2）平拋運動的射程 由平拋運動的軌跡方程可以寫出其水平射程 可見，在g一定的情況下，平拋運動的射程與初速度成正比，與拋出點高度的平方根成正比，即拋出的速度越大、拋出點到落地點的高度越大時，射程也越大。 （3）平拋運動軌跡的研究 平拋運動的拋出速度越大時，拋物線的開口就越大。 平拋運動實驗探究的構思和方案 ①實驗構思：對比

11、實驗法：即將平拋運動和自由落體同時進行，對比試驗；將平拋運動和水平方向上的勻速運動對比試驗； ②實驗方案： a、頻閃照相法：在對比實驗的過程中，每間隔相等的時間對同時進行的兩個運動物體拍照，記錄下物體的位置進行研究，尋求運動的規(guī)律。 b、碰撞留跡法：通過碰撞法留下運動物體不同時刻的位置，描出物體的運動軌跡進行研究。 要點三、描寫圓周運動的物理量 要點詮釋： 1．圓周運動的線速度 （1）線速度v的定義：圓周運動中，物體通過的弧長與所用時間的比值，通常把這個比值稱為圓周運動的線速度。 （2）公式： 單位：m / s 方向：沿著圓周各點的切線方向 說明： ①線速度是指物體作圓

12、周運動時的瞬時速度。 ②線速度的方向就是在圓周某點的切線方向。 ③線速度的大小是的比值。所以v是矢量。 ④勻速圓周運動是一個線速度大小不變的圓周運動。 ⑤線速度的定義式，無論是對于變速圓周運動還是勻速圓周運動都成立，在變速圓周運動中，只要Δt取得足夠小，公式計算的結果就是瞬時線速度。 注：勻速圓周運動中的“勻速”二字的含義：僅指速度大小不變，但速度的方向（曲線上某點的切線方向）時刻在變化。 2．描寫圓周運動的角速度 （1）角速度的定義：圓周運動物體與圓心的連線掃過的角度與所用時間的比值叫做角速度。 （2） 公式： 單位： rad / s（弧度每秒） 說明： ①這里的必須是

13、弧度制的角。 ②對于勻速圓周運動來說，這個比值是恒定的，即勻速圓周運動是角速度保持不變的圓周運動。 ③角速度的定義式，無論是對于變速圓周運動還是勻速圓周運動都成立，在變速圓周運動中，只要Δt取得足夠小，公式計算的結果就是瞬時角速度。 ④關于ω的方向：中學階段不研究。 ⑤同一個轉動的物體上，各點的角速度相等。 例如：木棒OA以它上面的一點O為軸勻速轉動時，它上面各點（各點與圓心O點的連線）的角速度相等。 即： O C B A 3．線速度和角速度的關系： （1）關系： （2）對于線速度與角速度關系的理解：是一種瞬時對應關系，即某一時刻的速度與這一時刻的角速度的關系

14、，適應于勻速圓周運動和變速圓周運動。 4．向心加速度 （1）向心加速度產生的原因：向心加速度由物體所受到向心力產生，根據牛頓第二定律知道，其大小由向心力的大小和物體的質量決定。 （2）向心加速度大小的計算方法： ①由牛頓第二定律計算：；②由運動學公式計算：。 （3）對向心加速度的認識 ①向心加速度a的方向：沿著半徑指向圓心，是一個變量。 ②向心加速度的意義：在一個半徑一定的圓周運動中，向心加速度描述的是線速度方向改變的快慢。 ③從運動學上看：速度方向時刻在發(fā)生變化，總是有必然有向心加速度； ④從動力學上看：沿著半徑方向上指向圓心的合外力必然產生指向圓心的向心加速度。 要點四

15、、關于向心力 要點詮釋： 1．向心力的概念 （1）向心力的定義：在圓周運動中，物體受到的合力在沿著半徑方向上的分量叫做向心力。 向心力的作用：是改變線速度的方向產生向心加速度的原因。 向心力的大?。?，向心力的大小等于物體的質量和向心加速度的乘積； 確定的物體在半徑一定的情況下，向心力的大小正比于線速度的平方，也正比于角速度的平方；線速度一定時，向心力反比于圓周運動的半徑；角速度一定時，向心力正比于圓周運動的半徑。 向心力的方向：與速度方向垂直，沿半徑指向圓心。 （2）關于向心力的說明： ①向心力是按效果命名的，它不是某種性質的力 ②勻速圓周運動中的向心力始終垂直于物體運動的

16、速度方向，所以它只能改變物體的速度方向，不能改變速度的大小。 ③無論是勻速圓周運動還是變速圓周運動，向心力總是變力，但是在勻速圓周運動中向心力的大小是不變的，僅方向不斷變化。 2．向心力的來源 向心力不是一種特殊的力。重力（引力）、彈力、摩擦力等每一種力以及這些力的合力或分力都可以作為向心力。 3．從向心力看勻速圓周運動和變速圓周運動 （1）勻速圓周運動的向心力大小不變，由物體所受到的合外力完全提供，換言之物體受到的合外力完全充當向心力的角色。 例如月球圍繞地球做勻速圓周運動，它受到的地球對它的引力就是合外力，這個合外力正好沿著半徑指向地心，完全用來提供月球圍繞地球做勻速圓周運動的

17、向心力。 （2）在變速圓周運動中，向心力只是物體受到的合外力的沿著半徑方向的一個分量。 （3）勻速圓周運動和變速圓周運動所適用的共同規(guī)律 無論是勻速圓周運動還是變速圓周運動向心加速度的大小沖是：（公式中的每一個量都是瞬時量，任何一個時刻或者任何一個位置都可以用公式計算向心加速度。） 換一種說法就是,在圓周運動中的任何時刻或位置，牛頓運動定律都成立。即。 4．關于離心現象 外力提供的向心力和做圓周運動需要的向心力之間的關系對物體運動的影響 （1）外力提供的向心力：是某個力、幾個力的合力或者是合力在半徑方向上的分量，是實實在在的相互作用。 （2）做圓周運動需要的向心力：是指在半徑為

18、r的圓周上以速度v運動時，必須要這么大的一個力，才能滿足速度方向改變的要求。 （3）供需關系對物體運動的影響： 外力提供的向心力等于物體做圓周運動需要的向心力時，物體做圓周運動； 外力提供的向心力小于物體做圓周運動需要的向心力時，物體做遠離圓心的運動——離心運動； 外力提供的向心力大于物體做圓周運動需要的向心力時，物體做靠近圓心的運動——也可稱之為向心運動。 要點五、萬有引力定律 要點詮釋： 1．物體的重力隨離地面高度h的變化情況 物體的重力近似為地球對物體的引力，即近似等于，可見物體重力隨h的增大而減小。 2．地球附近和其它天體表面的重力加速度 （1）地球表面的重力加速度

19、 ①地球表面的重力加速度。由于自轉而導致重力的變化是很微小的，因而在一般的情況下，常忽略地球自轉的影響，此時物體所受的重力大小就等于萬有引力的大小，因此，若地球表面的重力加速度為g0，則根據萬有引力定律可得（R0為地球的半徑）。 ②離地面高h處的重力加速度，根據萬有引力 定律，有（R0為地球的半徑） （2）天體表面重力加速度問題 設天體表面重力加速度為g，天體半徑為R，由得。 由此推得兩個不同天體表面重力加速度的關系為 星球表面的重力加速度既可從它與星球的關系求出，又可以從它與運動的關系（平拋運動、自由落體運動、豎直向上拋運動等）中求出，重力加速度是運動學和萬有引力、天體運動聯

20、系的紐帶。 3．求天體的質量、密度 通過觀察天體做勻速圓周運動的衛(wèi)星的周期T、半徑r，由萬有引力等于向心力即，得天體質量 。 （1）若知道天體的半徑R，則天體的密度 。 （2）若天體的衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動，其軌道半徑r等于天體半徑R，其周期為T，則天體密度。 4．地球衛(wèi)星 （1）一般做勻速圓周的衛(wèi)星 ①遵循的規(guī)律是： ②運動規(guī)律：線速度、角速度、向心加速度、周期等只取決于中心天體的質量M和軌道半徑r。半徑越大，線速度、角速度、向心加速度都變小，周期變大。 （2）地球同步衛(wèi)星 所謂地球同步衛(wèi)星，是相對于地面靜止的和地球自轉具有相同周期的衛(wèi)星，T=24 h。同步衛(wèi)星必須位于

21、赤道正上方距地面高度h≈3.6×104 km處。 5．三種宇宙速度 （1）第一宇宙速度（環(huán)繞速度）v1=7.9 km / s，是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度。 （2）第二宇宙速度（脫離速度）v2=11.2 km / s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。 （3）第三宇宙速度（逃逸速度）v3=16.7 km / s，使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度。 6．解決天體運動問題的方法 （1）若衛(wèi)星或天體沿橢圓軌道運行時，通常由開普勒三定律結合萬有引力定律、牛頓運動定律及能量守恒定律解決。 （2）若衛(wèi)星做勻速圓周運動，解題通常由和代換關系解決。 （3）解決天體運動問題要重視形成運動

22、情景，理解運動的本質。 【典型例題】 類型一、對曲線運動的性質和條件的理解 例1．如圖，一質點做加速曲線運動從M點到N點，當它經過P點時，其速度v和加速度a的方向關系正確的是（ ） 【思路點撥】準確的理解質點從M點到N點做加速、曲線運動是解題的關鍵和突破口。 【答案】C 【解析】物體從M到N做加速運動，說明a的切向分量與v同向，曲線運動的合外力一定指向曲線凹的一側，其加速度也一定指向曲線凹的一側，所以正確答案C。 【總結升華】做曲線運動的物體所受到合力的切向分量和法向分量起著改變速度的大小和方向的作用。合力的大小不可能指向曲線凸的一側。 類型二、運動的合成與分解在實際

23、問題中的運用 例2．玻璃生產線上，寬9 m的成型玻璃板以2 m / s的速度連續(xù)不斷地向前行進，在切割工序處，金剛石刀的走刀速度是10 m / s，為了使割下的玻璃板都成規(guī)定尺寸的矩形，金剛石刀的切割軌道如何控制？切割一次的時間有多長？ 【思路點撥】分析要使得割出的玻璃板是矩形，金剛石刀應當同時參與哪兩個運動。 【解析】金剛石刀必須在玻璃板運動的方向上與玻璃板具有相同的速度v1=2 m / s，同時還要有垂直于玻璃板運動的方向上的速度v2，刀的實際速度v=10 m / s就是這兩個速度的合成，如圖所示： v2 v1 v θ 所以金剛石到走刀方向與玻璃板的速度方向所成的角

24、 切割一次用的時間： 【總結升華】金剛石刀相對于玻璃只有垂直方向的速度時才能割出矩形。 類型三、對平拋運動的理解 例3．關于物體的平拋運動，下列說法正確的是（ ） A．由于物體受力的大小和方向不變，因此平拋運動是勻變速運動 B．由于物體的速度方向不斷變化，因此平拋運動不是勻變速運動 C．物體運動時間只由拋出時的高度決定，與初速度無關 D．平拋運動的水平距離，由拋出點高度和初速度共同決定 【思路點撥】弄清楚平拋運動的受力特點和水平方向、豎直方向的具體運動情況，是回答問題的關鍵。 【答案】ACD 【解析】平拋運動受到恒定的重力作用，做勻變速運動，選項A正確；由平拋運

25、動的規(guī)律知，物體運動時間是只由拋出時的高度決定，與初速度無關，C選項正確；平拋的水平距離，即拋出的速度越大、拋出點到落地點的豎直距離越大時，射程也越大，D選項正確。 【總結升華】重視理性思維，不能想當然的認為曲線運動就不是勻變速運動，平拋的初速度越大時物體運動的時間就越長。 舉一反三 【高清課程：曲線運動高考題考點分析 例2】 【變式1】一水平拋出的小球落到一傾角為θ的斜面上時，其速度方向與斜面垂直，運動軌跡如右圖中虛線所示。小球在豎直方向下落的距離與在水平方向通過的距離之比為（ ） 【答案】D 【變式2】在同一高處有兩個小球同時開始運動，一個以水平初速拋出，另一個自由落

26、下，在它們運動過程中的每一時刻，有（ ） A．加速度不同，速度相同 B．加速度相同，速度不同 C．下落的高度相同，位移不同 D．下落的高度不同，位移不同 【思路點撥】弄清平拋運動和自由落體運動的區(qū)別和聯系是正確回答問題的關鍵。 【答案】C 【解析】平拋運動和自由落體運動的受力情況是相同的，它們的加速度是相同的；不同的是平拋運動同時參入了兩個分運動，速度和位移分別是相應的兩個分速度和分位移的合成，因此，經過相同的時間后它們的速度和位移是不同的。 類型四、平拋運動的計算——極值問題 例4．如圖所示，AB為斜面，傾角為30°，小球從A點以初速度v0水平拋出，恰好落到B點，求出

27、小球與斜面的最遠距離H。 【思路點撥】利用平拋運動的一個結論：平拋運動的物體在任意位置（x，y）處速度方向的反向延長線與x軸交于處。 【答案】 【解析】如圖所示，當小球離斜面最遠時，速度方向與斜面平行，則x=v0t，小球與斜面最遠距離，結合解得。 y O x H vy vx (x，y) θ θ θ (，0) v 【總結升華】本題也可以采用將平拋運動分解為平行于斜面的運動和垂直于斜面的兩個運動進行求解，進一步加深對運動合成、分解的理解。 類型五、平拋運動的計算——臨界問題 例5．如圖所示，女排比賽時，排球場總長是18 m，設球網高度是2 m，運動員

28、站在網前3 m處正對球網跳起將球水平擊出。求擊球的高度不小于多少時，才能將排球平擊在對方場地？ H h S1 S2 【思路點撥】設想在某一高度h處用某一速度v0將球水平擊出，排球擦網而過且恰好落在邊界上。在此臨界狀態(tài)下進行動態(tài)分析：若擊球速度略小，則球觸網；若擊球速度稍大則球出界，所以此高度h就是水平擊球的最小高度。 【答案】2.13 m 【解析】由臨界狀態(tài)找出臨界條件，由平拋運動規(guī)律列方程 （1）擦網 （2）落邊界 解得 h=2.13 m 故擊球的高度不得小于2.13 m。 舉一反三 【高清課程：曲線運動高考題考點分析 例4】 【變式】小明站

29、在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內做圓周運動。當球某次運動到最低點時，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地。如圖所示。已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為,重力加速度為g。忽略手的運動半徑和空氣阻力。 （1）求繩斷時球的速度大小v1和球落地時的速度大小v2。 （2）求繩能承受的最大拉力多大？ （3）改變繩長，使球重復上述運動，若繩仍在球運動到最低點時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應是多少？最大水平距離為多少？ 【思路點撥】將文字形成正確的物理情景是解決物理問題的一個關鍵。 【解析】（1）在繩斷后球飛行時間為

30、t，由平拋運動規(guī)律， （2）設繩子承受的最大拉力為T，這也是球受到繩的最大拉力，球做圓周運動的半徑 由向心力公式 （3）設繩長為l,繩斷時球的速度大 小為v３，繩承受的最大拉力不變，有 得 繩斷后球做平拋運動，豎直位移為,水平位移為x，時間為t1，有 得 當時，x有極大值 【總結升華】（1）將文字形成正確的物理情景是解決物理問題的一個關鍵。（2）應用數學方法求解物理題中的極值問題也是常用的方法。 類型六、線速度、角速度、向心加速度大小的比較和計算 例6．如圖所示，定滑輪的半徑r=2 cm，繞在滑輪上的細線懸掛著一個重物，由靜止開始釋放，測得重

31、物以加速度a=2 m / s2做勻加速運動。在重物由靜止下落距離為1 m的瞬間，滑輪邊緣上的點的角速度ω多大？向心加速度a多大？ 【思路點撥】物體的速度時刻等于輪緣上一點的線速度，求出物體下落1 m時的瞬時速度，然后利用角速度、向心加速度和線速度的關系可以求解。 【解析】（1）重物下落1 m時，瞬時速度為： 顯然，滑輪邊緣上每一點的線速度也都是2 m / s，故滑輪轉動的角速度，即滑輪邊緣上每一點的轉動角速度為： （2）向心加速度為： 【總結升華】此題討論的是變速運動問題，重物落下的過程中滑輪轉動的角速度，輪上各點的線速度都在不斷增加，但在任何時刻角速度與線速度的

32、關系（v=ωr），向心加速度與角速度、線速度的關系仍然成立。 類型七、水平面上在靜摩擦力作用下的圓周運動 例7．如圖，在水平轉臺上放一質量為M的木塊，木塊與轉臺間的最大靜摩擦系數為μ，它通過細繩與另一木塊m相連。轉臺以角速度ω轉動，M與轉臺能保持相對靜止，它到轉臺中心的最大距離R1和最小距離R2多大？ 【解析】假設轉臺光滑，M與轉臺保持相對靜止的距離中心半徑R0，M受繩子拉力T，平臺支持力N。保持靜止。T=mg 對M，T=Mω2R0 即：mg=Mω2R0 ∴ 討論：（1）若R為最小值R1時，（R1＜R0）M有向圓心運動趨勢，故轉臺對M有背離圓心的靜摩擦力，大小為fm=μM

33、g。 對m仍有T=mg ∴mg－μMg=Mω2R2 （2）若R為最大值R1時，（R1＞R0）M有離心運動趨勢，故轉臺對M有指向圓心，大小為fm的靜摩擦力 ∴T+fm=Mω2R1 M T f 類型八、圓周運動綜合問題 例8．如圖甲所示，已知繩長米，水平桿長L=0.1米，小球m的質量m=0.3千克，整個裝置可繞豎直軸轉動，當該裝置以某一角速度轉動時，繩子與豎直方向成30°角。 （1）試求該裝置轉動的角速度； （2）此時繩的張力是多大？ 【思路點撥】此題實質上是一個圓錐擺變形問題，按照動力學問題的常規(guī)解法，注意弄清軌道平面、圓心位置，并

34、找出圓周運動的半徑，問題得到解決。 【解析】當整個裝置以角速度ω轉動時，小球m將做圓周運動，圓周運動的圓心在豎直軸上，且和m在同一水平面上。小球m只受到兩上力的作用，重力G=mg，及繩子的拉力F。而這兩個力的合力即為小球所受到的向心力Fn。 解法一：用正交分解法和公式Fn=man可得 F·sinθ=mω2r F·cosθ－mg=0 由幾何知識可得，r=L+sinθ，把已知數據代入得 解之得 ω=5.37 rad / s F=3.46 N 解法二：此題中，m只受兩個力的作用，所以用平行四邊形法則解也很方便。 由上面的分析已知，物體受豎直向下的重力。大小為m

35、g受繩的拉力F作用。只知道它的方向與豎直方向夾角θ，又因為小球m在水平面內做勻速圓周運動，所以受到水平向左（指向圓心）的合外力，即上述重力和拉力的合力水平向左。由這四個已知（mg的大小、方向、F的方向及Fn的方向）可得圖乙的平行四邊形。解這個平行四邊形可得 又根據牛頓第二定律 且 ∴ 【總結升華】（1）牛頓第二定律是解圓周運動的重要依據，對做圓周運動的物體進行受力分析就是必不可少的了。因此我們在解圓周運動問題時，幾乎無一例外地要首先畫草圖對物體進行受力分析。 （2）在圓周運動中，向心力的方向往往為已知，而這個已知條件在受力分析中充當重要角色。在解法一中因為知道合外力（

36、向心力）的方向，在正交分解法中才能列出方向，。在解法二中，因為知道合外力（向心力）方向，才能得到圖乙的平行四邊形。 類型九、圓周運動的臨界問題 例9．如圖，光滑圓管軌道AB部分平面，BC部分是處于豎直平面內半徑為R的半圓，圓管截面半徑r遠小于R。有一質量為m，半徑比r略小的光滑小球以水平初速v0射入圓管。試分析：在小球從C端出來瞬間，對管壁壓力有哪幾種典型情況，初速v0各應滿足什么條件？ 【解析】小球從C端出來瞬間，對管壁壓力可以有三種典型情況：①剛好對管壁無壓力，此時重力恰好充當向心力，得，由機械能守恒定律，聯立解得。②對下管壁有壓力，此時應有，此時相應的入射速度v0應滿足。③對上

37、管壁有壓力，此時應用，此時相應的入射速度v0應滿足。 【總結升華】掌握無物體支撐與有物體支撐的小球在豎直平面內的圓周運動的問題分析方法的不同。 類型十、萬有引力與重力的關系 例10．太空中有一顆繞恒星做勻速圓周運動的行星，此行星上一晝夜的時間是6 h。在行星的赤道處用彈簧秤測量物體的重力的讀數比在兩極時測量的讀數小10%，已知引力常量G=6.67×10－11 N·m / kg2，求此行星的平均密度。 【分析】物體在兩極只受到兩個力——重力和彈簧的拉力作用，而處于平衡狀態(tài)，根據共點力平衡條件可得 ① 被稱物體在赤道處時，受到萬有引力和拉力作用，繞地心做勻速圓周運動的向心力就等

38、于萬有引力與拉力的合力，則有 ② 根據題意可知 F2=(1－10%) F1 ③ 解①②③式可得，則此行星的平均密度為 。 【總結升華】（1）在行星（或地球）上的物體隨行星（或地球）自轉所需要的向心力是由萬有引力提供的，向心力是萬有引力的一個分力，另一個分力使物體壓緊地面或拉緊懸線，這個分力就是重力。 （2）在行星的兩極處的物體，由于隨行星自轉所需要的向心力為零，故萬有引力等于其重力。 （3）在赤道處的物體，隨行星自轉所需的向心力最大，此時，萬有引力的另一個分力——重力最小，且由于萬有引力、重力和向心力同向，則三個力滿足，即。式中ω為行星自轉的角速度。由此可知，ω越

39、大，重力mg會越小，當ω大到一定值ω0時，會有，這時物體的重力為零，對赤道表面無壓力。當ω＞ω0時，，赤道處的物體會被甩出，這時，行星將解體。 類型十一、用萬有引力定律測天體重量 例11．把地球繞太陽公轉看作勻速圓周運動，軌道平均半徑約為1.5×108 km，已知萬有引力常量G=6.67×10－11 N·m2 / kg2，則可估算出太陽的質量大約是多少千克？（結果取一位有效數字） 【解析】題干給出地球軌道半徑r=1.5×108 km，雖沒直接給出地球運轉周期的數值，但日常知識告訴我們，地球繞太陽公轉一周為365天，故周期 T=365×24×3600 s=3.2×107 s。 萬有引力

40、提供向心力，即 ， 故太陽質量 【總結升華】①在一些天體運動方面的估算題中，常存在一些隱含條件，應加以利用。如在地球表面物體受到地球的引力近似等于其重力。地面附近的重力加速度g=9.8 m / s2；地球自轉周期T=24 h，公轉周期T=365天；月球繞地球運動的周期約為27天等。 ②本方法利用衛(wèi)星運動的有關參量（如r、T），求出的質量M是中心天體的，而不是衛(wèi)星本身的質量m，同學們應切記這一點。 ③本題要求結果保留一位有效數字，有效數字運算規(guī)則告訴我們：在代入數據運算時，只要按四舍五入的方法代入兩位（比要求多保留一位）有效數字即可，這樣可避免無意義的冗長計算，最后在運算結果中，再

41、按四舍五入保留到所要求的一位即可，望同學們體會運用。 類型十二、綜合運用牛頓運動定律、萬有引力定律和勻速圓周運動知識求解天體運動問題 例12、已知地球半徑R=6.4×106 m，地面附近重力加速度g=9.8 m / s2，計算在距離地面高為h=2.0×106 m的圓形軌道上的衛(wèi)星做勻速圓周的線速度v和周期T。 【解析】根據萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力求解。 衛(wèi)星做勻速圓周運動的向心力由它與地球間的萬有引力提供，即，知 ① 由地球表面附近萬有引力近似等于重力，即得 GM=gR2 ② 由①②兩式可得 ， 運動周期。 【總結升華】在已知地球半徑和地面附近重力加速度的情況

42、下，可以使用變換公式GM=gR2，使計算變得簡單，稱其為“黃金代換”。 舉一反三 【高清課程：曲線運動高考題考點分析 例8】 【變式1】1970年4月24日，我國自行設計、制造的第一顆人造地球衛(wèi)星“東紅一號”發(fā)射成功，開創(chuàng)了我國航天事業(yè)的新紀元?！皷|方紅一號”的運行軌道為橢圓軌道，其近地點M和遠地點N的高度分別為439km和2384km，則（ ） A.衛(wèi)星在M點的勢能大于N點的勢能 B.衛(wèi)星在M點的角速度大于N點的角速度 C.衛(wèi)星在M點的加速度大于N點的加速度 D.衛(wèi)星在N點的速度大于7.9km/s 【答案】BC 【變式2】（2015

43、 南平綜測）某星球直徑為d，宇航員在該星球表面以初速度豎直上拋一個物體，物體上升的最大高度為h，若物體只受該星球引力作用，則該星球的第一宇宙速度為（ ） 【答案】D 【思路點撥】以初速度豎直上拋一物體，物體在重力作用下做勻減速直線運動，當物體速度減為0時，物體上升到最大高度，已知初速度末速度和位移，根據勻變速直線運動的速度位移關系可以求出該星球表面的重力加速度g，再根據萬有引力提供向心力，求出該星球的第一宇宙速度． 【解析】在該星球表面以初速度v0豎直上拋出一物體，則該物體上升的最大高度為H． 由，得：，根據，而，得該星球

44、的第一宇宙速度為：，故D正確，ABC錯誤； 類型十三、衛(wèi)星變軌問題 例13、（2015 寶雞三模）如圖所示是嫦娥三號奔月過程中某階段的運動示意圖，嫦娥三號沿橢圓軌道Ⅰ運動到近月點處變軌進入圓軌道Ⅱ，嫦娥三號在圓軌道Ⅱ做圓周運動的軌道半徑為，周期為，已知引力常量為，下列說法中正確的是（ ） A．由題中（含圖中）信息可求得月球的質量 B．由題中（含圖中）信息可求得月球第一宇宙速度 C．嫦娥三號在處變軌時必須點火加速 D．嫦娥三號沿橢圈軌道Ⅰ運動到P處時的加速度大于沿圓軌道Ⅱ運動到處時的加速度 【答案】A 【解析】A、萬有引力提供向心力：，得：，既根據軌道半徑為，周期為，萬有引力常量為，計算出月球的質量，故A正確； B、萬有引力提供向心力：，得：，此處的r指的是月球的半徑，而不是嫦娥三號運行的軌道半徑，所以由于不知道月球半徑，所以不能計算月球第一宇宙速度，故B錯誤； C、橢圓軌道和圓軌道是不同的軌道，航天飛機不可能自主改變軌道，只有在減速后，做近心運動，才能進入圓軌道，故C錯誤； D、嫦娥三號沿橢圈軌道Ⅰ運動到P處時和沿圓軌道Ⅱ運動到處時，所受萬有引力大小相等，所以加速度大小也相等，故D錯誤。 【總結升華】注意在求解月球的“第一宇宙速度時”， ，r指的是月球的半徑，而不是嫦娥三號運行的軌道半徑。