新編高考數(shù)學(xué)理科一輪【學(xué)案52】雙曲線含答案

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1、 學(xué)案52　雙曲線 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡單幾何性質(zhì).2.理解數(shù)形結(jié)合的思想． 自主梳理 1．雙曲線的概念 平面內(nèi)動點P與兩個定點F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距離之差的絕對值為常數(shù)2a(2a<2c)，則點P的軌跡叫________．這兩個定點叫雙曲線的________，兩焦點間的距離叫________． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c為常數(shù)且a>0，c>0； (1)當(dāng)________時，P點的軌跡是________； (2)當(dāng)________時，P點的軌跡是_____

2、___； (3)當(dāng)________時，P點不存在． 2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 對稱性 對稱軸：坐標(biāo)軸 對稱中心：原點 對稱軸：坐標(biāo)軸 對稱中心：原點 頂點 頂點坐標(biāo)： A1(－a,0)，A2(a,0) 頂點坐標(biāo)： A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝±x y＝±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 實虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙

3、曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長 a、b、c的關(guān)系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 3.實軸長和虛軸長相等的雙曲線為________________，其漸近線方程為________，離心率為________． 自我檢測 1．(20xx·安徽)雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 2．已知雙曲線－＝1 (b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，其中一條漸近線方程為y＝x，點P(，y0)在該雙曲線上，則·等于(　　) A．－12 B．－2 C．0

4、 D．4 3．(20xx·課標(biāo)全國)設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為(　　) A. B. C．2 D．3 4．(20xx·武漢調(diào)研)已知點(m，n)在雙曲線8x2－3y2＝24上，則2m＋4的范圍是__________________． 5．已知A(1,4)，F(xiàn)是雙曲線－＝1的左焦點，P是雙曲線右支上的動點，求|PF|＋|PA|的最小值． 探究點一　雙曲線的定義及應(yīng)用 例1　已知定點A(0,7)，B(0，－7)，C(

5、12,2)，以C為一個焦點作過A，B的橢圓，求另一焦點F的軌跡方程． 變式遷移1　已知動圓M與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程． 探究點二　求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2　已知雙曲線的一條漸近線方程是x－2y＝0，且過點P(4,3)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 變式遷移2　(20xx·安慶模擬)已知雙曲線與橢圓＋＝1的焦點相同，且它們的離心率之和等于，則雙曲線的方程為____________． 探究

6、點三　雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用 例3　已知雙曲線的方程是16x2－9y2＝144. (1)求此雙曲線的焦點坐標(biāo)、離心率和漸近線方程； (2)設(shè)F1和F2是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大?。? 變式遷移3　已知雙曲線C：－y2＝1. (1)求雙曲線C的漸近線方程； (2)已知M點坐標(biāo)為(0,1)，設(shè)P是雙曲線C上的點，Q是點P關(guān)于原點的對稱點．記λ＝·，求λ的取值范圍． 方程思想的應(yīng)用 例　(12分)過雙曲線－＝1的右焦

7、點F2且傾斜角為30°的直線交雙曲線于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1為左焦點． (1)求|AB|； (2)求△AOB的面積； (3)求證：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|. 多角度審題　(1)要求弦長|AB|需要A、B兩點坐標(biāo)或設(shè)而不求利用弦長公式，這就需要先求直線AB；(2)在(1)的基礎(chǔ)上只要求點到直線的距離；(3)要充分聯(lián)想到A、B兩點在雙曲線上這個條件． 【答題模板】 (1)解　由雙曲線的方程得a＝，b＝， ∴c＝＝3，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)． 直線AB的方程為y＝(x－3)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由，得5x2＋6x－27＝0

8、.[2分] ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝.[4分] (2)解　直線AB的方程變形為x－3y－3＝0. ∴原點O到直線AB的距離為d＝＝.[6分] ∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.[8分] (3)證明　 如圖，由雙曲線的定義得 |AF2|－|AF1|＝2， |BF1|－|BF2|＝2，[10分] ∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|， 即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分] 【突破思維障礙】 寫出直線方程，聯(lián)立直線方程、雙曲線方程，消元得關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長公式求|AB|，再求

9、點O到直線AB的距離從而求面積，最后利用雙曲線的定義求證等式成立． 【易錯點剖析】 在直線和雙曲線相交的情況下解題時易忽視消元后的一元二次方程的判別式Δ>0，而導(dǎo)致錯解． 1．區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中a，b，c的大小關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2；雙曲線的離心率大于1，而橢圓的離心率e∈(0,1)． 2．雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±x，－＝1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±x. 3．雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法：(1)定義法，根據(jù)題目的條件，判斷是否滿足雙曲線的定義，若滿足，求出相應(yīng)的a、b、c，即可求得方程．

10、(2)待定系數(shù)法，其步驟是：①定位：確定雙曲線的焦點在哪個坐標(biāo)軸上；②設(shè)方程：根據(jù)焦點的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程；③定值：根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù)． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，則動點P的軌跡是(　　) A．雙曲線 B．雙曲線左邊一支 C．雙曲線右邊一支 D．一條射線 2．設(shè)點P在雙曲線－＝1上，若F1、F2為雙曲線的兩個焦點，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，則△F1PF2的周長等于(　　) A．22 B．16 C．14 D．12 3．(20

11、xx·寧波高三調(diào)研)過雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的右焦點F作圓x2＋y2＝a2的切線FM(切點為M)，交y軸于點P.若M為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C．2 D. 4．雙曲線－＝1的左焦點為F1，左、右頂點分別為A1、A2，P是雙曲線右支上的一點，則分別以PF1和A1A2為直徑的兩圓的位置關(guān)系是(　　) A．相交 B．相離 C．相切 D．內(nèi)含 5．(20xx·山東)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為(　　) A.－＝

12、1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(20xx·上海)設(shè)m是常數(shù)，若點F(0,5)是雙曲線－＝1的一個焦點，則m＝________. 7．設(shè)圓過雙曲線－＝1的一個頂點和一個焦點，圓心在此雙曲線上，則此圓心到雙曲線中心的距離為______． 8．(20xx·銅陵期末)已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中，有一個內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)根據(jù)下列條件，求雙曲線方程： (1)與雙曲線－＝1有共同的漸近線，且經(jīng)過點(－3，2)； (2)與

13、雙曲線－＝1有公共焦點，且過點(3，2)． 10．(12分)(20xx·廣東)設(shè)圓C與兩圓(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一個內(nèi)切，另一個外切． (1)求圓C的圓心軌跡L的方程； (2)已知點M(，)，F(xiàn)(，0)，且P為L上動點，求||MP|－|FP||的最大值及此時點P的坐標(biāo)． 11．(14分)(20xx·四川)已知定點A(－1,0)，F(xiàn)(2,0)，定直線l：x＝，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍．設(shè)點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N.

14、 (1)求E的方程； (2)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由． 學(xué)案52　雙曲線 自主梳理 1．雙曲線　焦點　焦距　(1)ac　3.等軸雙曲線　y＝±x　e＝ 自我檢測 1．C　[∵2x2－y2＝8，∴－＝1， ∴a＝2，∴2a＝4.] 2．C 3．B　[設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，由于直線l過雙曲線的焦點且與對稱軸垂直，因此直線l的方程為l：x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2(－1)＝，∴y＝±，故|AB|＝，依題意＝4a， ∴＝

15、2，∴＝e2－1＝2，∴e＝.] 4．(－∞，4－2]∪[4＋2，＋∞) 5．解　設(shè)雙曲線的右焦點為F1，則由雙曲線的定義可知 |PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|， ∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|. ∴當(dāng)滿足|PF1|＋|PA|最小時，|PF|＋|PA|最?。? 由雙曲線的圖象可知當(dāng)點A、P、F1共線時，滿足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值為|AF1|＝5， 故所求最小值為9. 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　求曲線的軌跡方程時，應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線類型，從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程，這樣可以減少運算量，提高解題速度與質(zhì)量．在運用雙曲

16、線的定義時，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清所求軌跡是整條雙曲線，還是雙曲線的一支，若是一支，是哪一支，以確保軌跡的純粹性和完備性． 解　設(shè)F(x，y)為軌跡上的任意一點， 因為A，B兩點在以C，F(xiàn)為焦點的橢圓上， 所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a (其中a表示橢圓的長半軸)． 所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|. 所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2. 所以|FA|－|FB|＝2. 由雙曲線的定義知，F(xiàn)點在以A，B為焦點，2為實軸長的雙曲線的下半支上． 所以點F的軌跡方程是y2－＝1 (y≤－1)． 變式遷移1　解　

17、 設(shè)動圓M的半徑為r，則由已知得，|MC1|＝r＋， |MC2|＝r－， ∴|MC1|－|MC2|＝2， 又C1(－4,0)，C2(4,0)， ∴|C1C2|＝8.∴2<|C1C2|. 根據(jù)雙曲線定義知，點M的軌跡是以 C1(－4,0)、C2(4,0)為焦點的雙曲線的右支． ∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14. ∴點M的軌跡方程是－＝1 (x≥)． 例2　解題導(dǎo)引　根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選取方程的形式，當(dāng)焦點不能定位時，則應(yīng)分兩種情況討論．解決本題的方法有兩種：一先定位，避免了討論；二利

18、用其漸近線的雙曲線系，同樣避免了對雙曲線方程類型的討論．在共漸近線的雙曲線系－＝λ (參數(shù)λ≠0)中，當(dāng)λ>0時，焦點在x軸上；當(dāng)λ<0時，焦點在y軸上． 解　方法一　∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0， 當(dāng)x＝4時，y＝2

19、＝λ，即λ＝－5. ∴所求雙曲線方程為－y2＝－5，即－＝1. 變式遷移2　－＝1 解析　由于在橢圓＋＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又橢圓的焦點在y軸上，所以其焦點坐標(biāo)為(0，±4)，離心率e＝.根據(jù)題意知，雙曲線的焦點也應(yīng)在y軸上，坐標(biāo)為(0，±4)，且其離心率等于－＝2.故設(shè)雙曲線的方程為－＝1 (a>0，b>0)，且c＝4，所以a＝c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是雙曲線的方程為－＝1. 例3　解題導(dǎo)引　雙曲線問題與橢圓問題類似，因而研究方法也有許多相似之處，如利用“定義”“方程觀點”“直接法或待定系數(shù)法求曲線方程”“數(shù)形結(jié)合”等． 解　(1

20、)由16x2－9y2＝144，得－＝1， ∴a＝3，b＝4，c＝5.焦點坐標(biāo)F1(－5,0)， F2(5,0)，離心率e＝， 漸近線方程為y＝±x. (2)||PF1|－|PF2||＝6， cos∠F1PF2＝ ＝ ＝＝0， ∴∠F1PF2＝90°. 變式遷移3　解　(1)因為a＝，b＝1，且焦點在x軸上，所以漸近線方程為y－x＝0，y＋x＝0. (2)設(shè)P點坐標(biāo)為(x0，y0)，則Q的坐標(biāo)為(－x0，－y0)， λ＝·＝(x0，y0－1)·(－x0，－y0－1) ＝－x－y＋1＝－x＋2. ∵|x0|≥，∴λ的取值范圍是(－∞，－1]． 課后練習(xí)區(qū) 1．C　2.

21、A　3.A　4.C 5．A　[∵雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x， 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝4，∴圓心為C(3,0)． 又漸近線方程與圓C相切， 即直線bx－ay＝0與圓C相切， ∴＝2，∴5b2＝4a2.① 又∵－＝1的右焦點F2(，0)為圓心C(3,0)， ∴a2＋b2＝9.② 由①②得a2＝5，b2＝4. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.] 6．16 解析　由已知條件有52＝m＋9，所以m＝16. 7.　8. 9．解　(1)方法一　由題意可知所求雙曲線的焦點在x軸上， (2分) 設(shè)雙曲線的方程為－＝1， 由題意，得 解得a2＝，b2＝4.(4分

22、) 所以雙曲線的方程為x2－＝1.(6分) 方法二　設(shè)所求雙曲線方程－＝λ (λ≠0)，(2分) 將點(－3,2)代入得λ＝，(4分) 所以雙曲線方程為－＝， 即x2－＝1.(6分) (2)設(shè)雙曲線方程為－＝1.由題意c＝2.(8分) 又雙曲線過點(3，2)，∴－＝1. 又∵a2＋b2＝(2)2， ∴a2＝12，b2＝8.(10分) 故所求雙曲線的方程為－＝1.(12分) 10．解　(1)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r. 圓(x＋)2＋y2＝4的圓心為F1(－，0)，半徑為2， 圓(x－)2＋y2＝4的圓心為F(，0)，半徑為2. 由題意得或 ∴||CF1

23、|－|CF||＝4.(4分) ∵|F1F|＝2>4. ∴圓C的圓心軌跡是以F1(－，0)，F(xiàn)(，0)為焦點的雙曲線，其方程為－y2＝1.(6分) (2)由圖知，||MP|－|FP||≤|MF|， ∴當(dāng)M，P，F(xiàn)三點共線，且點P在MF延長線上時，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，(8分) 且|MF|＝＝2.(9分) 直線MF的方程為y＝－2x＋2，與雙曲線方程聯(lián)立得 整理得15x2－32x＋84＝0. 解得x1＝(舍去)，x2＝. 此時y＝－.(11分) ∴當(dāng)||MP|－|FP||取得最大值2時，點P的坐標(biāo)為(，－)．(12分) 11．解　(1)設(shè)P(x，y)，

24、則＝2， 化簡得x2－＝1(y≠0)．(5分) (2)①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時，設(shè)BC的方程為y＝k(x－2) (k≠0)，與雙曲線方程x2－＝1聯(lián)立消去y， 得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0. 由題意知，3－k2≠0且Δ＞0.(7分) 設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2 ＝k2＝. 因為x1，x2≠－1， 所以直線AB的方程為y＝(x＋1)． 因此M點的坐標(biāo)為， ＝. 同理可得＝. 因此·＝×＋ ＝＋＝0.(11分) ②當(dāng)直線BC與x軸垂直時，其方程為x＝2，則B(2,3)，C(2，－3)． AB的方程為y＝x＋1， 因此M點的坐標(biāo)為，＝. 同理可得＝. 因此·＝×＋×＝0.(13分) 綜上，·＝0，故FM⊥FN. 故以線段MN為直徑的圓過點F.(14分)