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單元評估檢測(五) 第5章 數 列
(120分鐘 150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S5＝25，則S7＝( )
A．41 B．48 C．49 D．56
[答案] C
2．已知等比數列{an}的前n項和為Sn
3、，且Sn＝3n＋a(n∈N＋)，則實數a的值是( )
A．－3 B．3 C．－1 D．1
[答案] C
3．已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝an－1，則a2等于( )
【導學號：79140418】
A．－ B．
C. D．
[答案] D
4．(20xx·太原模擬)在等比數列{an}中，a2＝2，a4＝8，an＞0，則數列{log2an}的前n項和為( )
A. B．
C. D．
[答案] A
5．已知在數列{an}中，an＝－4n＋5，等比數列{bn}的公比q滿足q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，則|b1|＋|b2|＋|b
4、3|＋…＋|bn|＝( )
A．1－4n B．4n－1
C. D．
[答案] B
6．若{an}是由正數組成的等比數列，其前n項和為Sn，已知a1a5＝1則S3＝7，則S7＝( )
A. B．
C. D．
[答案] C
7．數列{an}的通項公式為an＝(－1)n·(2n－1)cos＋1，其前n項和為Sn，則S60＝( )
A．－30 B．－60
C．90 D．120
[答案] D
8．如果數列{an}滿足a1＝2，a2＝1，且＝(n≥2)，則這個數列的第10項等于( )
A. B．
C. D．
[答案] D
9．在△ABC中，tan A
5、是以－4為第3項，－1為第7項的等差數列的公差，
tan B是以為第3項，4為第6項的等比數列的公比，則該三角形的形狀是( )
A．鈍角三角形 B．銳角三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均錯
[答案] B
10．在各項都為正數的等比數列{an}中，a2a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，則滿足
an·an＋1·an＋2＞的最大正整數n的值為( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] B
11．若數列{an}滿足－＝0，n∈N＋，p為非零常數，則稱數列{an}為“夢想數列”．已知正項數列為“夢想數列”，且b1b2b3…b99＝299，則b8＋b92的最小值是(
6、 )
【導學號：79140419】
A．2 B．4
C．6 D．8
[答案] B
12．(20xx·淄博模擬)數列{an}的前n項和為Sn＝2n＋1－2，數列{bn}滿足bn＝3n－1，則數列的前n項和為( )
A．5－0 B．5－
C．5－ D．5－
[答案] B
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)
13．已知正項數列{an}滿足a－6a＝an＋1an.若a1＝2，則數列{an}的前n項和為________．
[答案] 3n－1
14．設關于x的不等式x2－x＜2nx(n∈N＋)的解集中整數的個數為an，數列{an}的
7、前n項和為Sn，則S100的值為________．
[答案] 10 100
15．《張丘建算經》卷上第22題——“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，而且每天增加的數量相同．已知第一天織布5尺，30天共織布390尺，則該女子織布每天增加________尺．
[答案]
16．如圖5-1所示是畢達哥拉斯的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，…，如此繼續(xù)，若共得到1 023個正方形，設初始正方形的邊長為，則最小正方形的邊長為________.
【導學號：79140420】
圖5-1
[答案]
三、解答題(本大題共6小題，共7
8、0分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)(20xx·承德模擬)已知正項數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，Sn＝(a＋3an＋2)，n∈N＋.
【導學號：79140421】
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若akn∈{a1，a2，…，an，…}，且ak1，ak2，…，akn，…成等比數列，當k1＝1，k2＝4時，求kn.
[解] (1)an＝3n－2，n∈N＋.
(2)kn＝，n∈N＋.
18．(本小題滿分12分)設數列{bn}的前n項和為Sn，且bn＝2－2Sn；數列{an}為等差數列，且a5＝14，a7＝20.
(1
9、)求數列{bn}的通項公式；
(2)若cn＝an·bn(n∈N＋)，求數列{cn}的前n項和Tn.
[解] (1)bn＝. (2)Tn＝－－.
19．(本小題滿分12分)(20xx·山東高考)設數列{an}的前n項和為Sn，已知2Sn＝3n＋3.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若數列{bn}滿足anbn＝log3an，求數列{bn}的前n項和Tn.
[解] (1)an＝
(2)Tn＝－×.
20．(本小題滿分12分)(20xx·全國卷Ⅰ)Sn為數列{an}的前n項和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn＝，求數列{bn
10、}的前n項和．
[解] (1)an＝2n＋1.
(2){bn}的前n項和Tn＝.
21．(本小題滿分12分)已知等差數列{an}的前3項和為6，前8項和為－4.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求數列{bn}的前n項和Sn.
[解] (1)an＝4－n.
(2)Sn＝
22．(本小題滿分12分)(20xx·石家莊模擬)在數列{an}中，a1＝，其前n項和為Sn，并且Sn＝an＋1－(n∈N＋)．
(1)求an，Sn；
(2)設bn＝log2(2Sn＋1)－2，數列{cn}滿足cn·bn＋3·bn＋4＝1＋(n＋1)(
11、n＋2)·2bn，數列{cn}的前n項和為Tn，求使4Tn＞2n＋1－成立的最小正整數n的值．
[解] (1)由Sn＝an＋1－，得Sn－1＝an－(n≥2)，兩式作差得：an＝an＋1－an，即2an＝an＋1(n≥2)，所以＝2(n≥2)，
因為a1＝S1＝a2－，所以a2＝1，
所以＝2，所以數列{an}是首項為，公比為2的等比數列，則an＝·2n－1＝2n－2，Sn＝an＋1－＝2n－1－.
(2)bn＝log2(2Sn＋1)－2＝log22n－2＝n－2，
所以cn·bn＋3·bn＋4
＝1＋(n＋1)(n＋2)·2bn，
即cn(n＋1)(n＋2)
＝1＋(n＋1)(n＋2)·2n－2，
cn＝＋2n－2＝－＋2n－2，
Tn＝＋＋…＋＋(2－1＋20＋…＋2n－2)
＝－＋＝－－＋2n－1＝2n－1－.
由4Tn＞2n＋1－，得
4＞2n＋1－，
即＜，n＞2 014.
所以使4Tn＞2n＋1－成立的最小正整數n的值為2 015.
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