新版浙江高考數(shù)學二輪復習教師用書:第1部分 重點強化專題 專題5 突破點12 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) Word版含答案
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1、 新版-□□新版數(shù)學高考復習資料□□-新版 1
2、 1 突破點12 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) (對應學生用書第44頁) [核心知識提煉] 提煉1圓錐曲線的定義 (1)橢圓:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)雙曲線:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|). (3)拋物線:|PF|=|PM|,點F不在直線l上,PM⊥
3、l于M(l為拋物線的準線). 提煉2 圓錐曲線的重要性質(zhì) (1)橢圓、雙曲線中a,b,c之間的關(guān)系 ①在橢圓中:a2=b2+c2;離心率為e==; ②在雙曲線中:c2=a2+b2;離心率為e==. (2)雙曲線的漸近線方程與焦點坐標 ①雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x;焦點坐標F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0); ②雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,焦點坐標F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c). (3)拋物線的焦點坐標與準線方程 ①拋物線y2=±2px(p>0)的焦點坐標為,準線方程為x=?; ②拋物線x2=±2py(p
4、>0)的焦點坐標為,準線方程為y=?. 提煉3弦長問題 (1)直線與圓錐曲線相交時的弦長 斜率為k的直線與圓錐曲線交于點A(x1,y1),B(x2,y2)時,|AB|=|x1-x2|=·或|AB|=|y1-y2|=. (2)拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論 設AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則①x1x2=,y1y2=-p2;②弦長|AB|=x1+x2+p=(α為弦AB的傾斜角);③+=;④以弦AB為直徑的圓與準線相切. [高考真題回訪] 回訪1 橢圓及其性質(zhì) 1.(20xx·浙江高考)橢圓+=1的離心率是( ) A
5、. B.
C. D.
B [∵橢圓方程為+=1,
∴a=3,c===.
∴e==.
故選B.]
2.(20xx·浙江高考)已知橢圓C1:+y2=1(m>1)與雙曲線C2:-y2=1(n>0)的焦點重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則( )
A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1
C.m
6、離心率e2=, ∴e1e2=· == ==>=1.] 3.(20xx·浙江高考)橢圓+=1(a>b>0)的右焦點F(c,0)關(guān)于直線y=x的對稱點Q在橢圓上,則橢圓的離心率是________. [設橢圓的另一個焦點為F1(-c,0),如圖,連接QF1,QF,設QF與直線y=x交于點M. 由題意知M為線段QF的中點,且OM⊥FQ. 又O為線段F1F的中點, ∴F1Q∥OM, ∴F1Q⊥QF,|F1Q|=2|OM|. 在Rt△MOF中,tan∠MOF==,|OF|=c, 可解得|OM|=,|MF|=, 故|QF|=2|MF|=,|QF1|=2|O
7、M|=. 由橢圓的定義得|QF|+|QF1|=+=2a, 整理得b=c,∴a==c, 故e==.] 4.(20xx·浙江高考)如圖12-1,設橢圓C:+=1(a>b>0),動直線l與橢圓C只有一個公共點P,且點P在第一象限. 圖12-1 (1)已知直線l的斜率為k,用a,b,k表示點P的坐標; (2)若過原點O的直線l1與l垂直,證明:點P到直線l1的距離的最大值為a-b. [解] (1)設直線l的方程為y=kx+m(k<0),由消去y,得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0. 2分 由于l與橢圓C只有一個公共點,故Δ=0,即b2-
8、m2+a2k2=0,解得點P的坐標為. 4分 又點P在第一象限, 故點P的坐標為. 6分 (2)證明:由于直線l1過原點O且與l垂直,故直線l1的方程為x+ky=0,所以點P到直線l1的距離 d=, 8分 整理,得d=. 10分 因為a2k2+≥2ab, 所以≤=a-b, 12分 當且僅當k2=時等號成立. 所以,點P到直線l1的距離的最大值為a-b. 15分 回訪2 雙曲線及其性質(zhì) 5.(20xx·浙江高考)設雙曲線x2-=1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2.若點P在雙曲線上,且△F1PF2為銳角三角形,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是_____
9、___. (2,8) [∵雙曲線x2-=1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P在雙曲線上,∴|F1F2|=4,||PF1|-|PF2||=2.若△F1PF2為銳角三角形,則由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-16>0,可化為(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|>16①.由||PF1|-|PF2||=2,得(|PF1|+|PF2|)2-4|PF1||PF2|=4.故2|PF1||PF2|=,代入不等式①可得(|PF1|+|PF2|)2>28,解得|PF1|+|PF2|>2.不妨設P在左支上,∵|PF1|2+16-|PF2|2>0,即(|PF1|+|PF2|)·(|PF1|
10、-|PF2|)>-16,又|PF1|-|PF2|=-2, ∴|PF1|+|PF2|<8.故2<|PF1|+|PF2|<8.] 6.(20xx·浙江高考)雙曲線-y2=1的焦距是________,漸近線方程是________. 2 y=±x [由雙曲線標準方程,知雙曲線焦點在x軸上,且a2=2,b2=1,∴c2=a2+b2=3,即c=,∴焦距2c=2,漸近線方程為y=±x,即y=±x.] 7.(20xx·浙江高考)設直線x-3y+m=0(m≠0)與雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點A,B.若點P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是________.
11、 [雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x. 由得A, 由得B, 所以AB的中點C坐標為. 設直線l:x-3y+m=0(m≠0), 因為|PA|=|PB|,所以PC⊥l, 所以kPC=-3,化簡得a2=4b2. 在雙曲線中,c2=a2+b2=5b2,所以e==.] 回訪3 拋物線及其性質(zhì) 8.(20xx·浙江高考)如圖12-2,設拋物線y2=4x的焦點為F,不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A,B,C,其中點A,B在拋物線上,點C在y軸上,則△BCF與△ACF的面積之比是( ) 圖12-2 A. B. C. D. A [由圖形可知,△BCF與
12、△ACF有公共的頂點F,且A,B,C三點共線,易知△BCF與△ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點F(1,0),作準線l,則l的方程為x=-1.∵點A,B在拋物線上,過A,B分別作AK,BH與準線垂直,垂足分別為點K,H,且與y軸分別交于點N,M.由拋物線定義,得|BM|=|BF|-1,|AN|=|AF|-1.在△CAN中,BM∥AN,∴==.] 9.(20xx·浙江高考)若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10,則M點到y(tǒng)軸的距離是________. 9 [設點M的橫坐標為x,則點M到準線x=-1的距離為x+1,由拋物線的定義知x+1=10,∴x=9, ∴點M到y(tǒng)軸的
13、距離為9.] 10.(20xx·浙江高考)如圖12-3,設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|-1. (1)求p的值; (2)若直線AF交拋物線于另一點B,過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N,AN與x軸交于點M,求M的橫坐標的取值范圍. [解] (1)由題意可得,拋物線上點A到焦點F的距離等于點A到直線x=-1的距離, 2分 由拋物線的定義得=1,即p=2. 4分 (2)由(1)得,拋物線方程為y2=4x,F(xiàn)(1,0),可設A(t2,2t),t≠0,t≠±1. 因為AF不垂直于y軸,可設直線AF:x=sy+
14、1(s≠0), 由消去x得y2-4sy-4=0, 6分 故y1y2=-4,所以B. 7分 又直線AB的斜率為,故直線FN的斜率為-,從而得直線FN:y=-(x-1),直線BN:y=-,所以N. 8分 設M(m,0),由A,M,N三點共線得=, 于是m==2+, 11分 所以m<0或m>2. 經(jīng)檢驗,m<0或m>2滿足題意. 綜上,點M的橫坐標的取值范圍是(-∞,0)∪(2,+∞). 15分 (對應學生用書第46頁) 熱點題型1 圓錐曲線的定義、標準方程 題型分析:圓錐曲線的定義、標準方程是高考??純?nèi)容,主要以選擇、填空的形式考查,解題時分兩步走:
15、第一步,依定義定“型”,第二步,待定系數(shù)法求“值”.
【例1】 (1)已知方程-=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是( ) 【導學號:68334125】
A.(-1,3) B.(-1,)
C.(0,3) D.(0,)
(2)已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線為l,P是l上一點,Q是直線PF與C的一個交點,若=4,則|QF|=( )
A. B.3
C. D.2
(1)A (2)B [(1)若雙曲線的焦點在x軸上,則
又∵(m2+n)+(3m2-n)=4,∴m2=1,∴
∴-1 16、在y軸上,則雙曲線的標準方程為
-=1,即
即n>3m2且n<-m2,此時n不存在.故選A.
(2)如圖所示,因為=4,所以=,過點Q作QM⊥l垂足為M,則MQ∥x軸,
所以==,所以|MQ|=3,由拋物線定義知|QF|=|QM|=3.]
[方法指津]
求解圓錐曲線標準方程的方法是“先定型,后計算”
1.定型,就是指定類型,也就是確定圓錐曲線的焦點位置,從而設出標準方程.
2.計算,即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2或p.另外,當焦點位置無法確定時,拋物線常設為y2=2ax或x2=2ay(a≠0),橢圓常設mx2+ny2=1(m>0,n>0),雙曲線常設為mx2 17、-ny2=1(mn>0).
[變式訓練1] (1)經(jīng)過點(2,1),且漸近線與圓x2+(y-2)2=1相切的雙曲線的標準方程為( )
A.-=1 B.-y2=1
C.-=1 D.-=1
(2)(20xx·金華十校第一學期調(diào)研)已知拋物線C:y2=2px(p>0),O為坐標原點,F(xiàn)為其焦點,準線與x軸交點為E,P為拋物線上任意一點,則( )
圖12-4
A.有最小值 B.有最小值1
C.無最小值 D.最小值與p有關(guān)
(1)A (2)A [(1)設雙曲線的漸近線方程為y=kx,即kx-y=0,由題意知=1,解得k=±,則雙曲線的焦點在x軸上,設雙曲線方程為-=1 18、,
則有解得故選A.
(2)過點P作PF′垂直于準線交準線于F′.設P,故|PF′|=+,|EF′|=y(tǒng),因為=≤1,此時有最小值,故選A.]
熱點題型2 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
題型分析:圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點和熱點,其中求圓錐曲線的離心率是最熱門的考點之一,建立關(guān)于a,c的方程或不等式是求解的關(guān)鍵.
【例2】 (1)已知O為坐標原點,F(xiàn)是橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點,A,B分別為C的左、右頂點.P為C上一點,且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為( )
A. B.
C. 19、 D.
(2)(20xx·杭州第二次質(zhì)檢)設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點A,B在拋物線上,且∠AFB=120°,弦AB的中點M在準線l上的射影為M1,則的最大值為________.
(1)A (2) [(1)如圖所示,由題意得A(-a,0),B(a,0),F(xiàn)(-c,0).由PF⊥x軸得P.
設E(0,m),又PF∥OE,得=,
則|MF|=. ①
又由OE∥MF,得=,
則|MF|=. ②
由①②得a-c=(a+c),即a=3c,所以e==.
故選A.
(2)如圖所示,由拋物線的定義以及梯形的中位線定理得|MM1|=,在△ABF中, 20、由余弦定理得|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF|·|BF|cos =|AF|2+|BF|2+|AF|·|BF|=(|AF|+|BF|)2-|AF|·|BF|≥(|AF|+|BF|)2-2=3|MM1|2,當且僅當|AF|=|BF|時,等號成立,故取得最大值.]
[方法指津]
1.求橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的方法
求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍,關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關(guān)系或不等關(guān)系,然后把b用a,c代換,求的值.
2.雙曲線的漸近線的求法及用法
(1)求法:把雙曲線標準方程等號右邊的1改為零,分解因式可得.
(2)用法:①可得或的值.
21、 ②利用漸近線方程設所求雙曲線的方程.
[變式訓練2] (1)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線E:-=1的左,右焦點,點M在E上,MF1與x軸垂直,sin∠MF2F1=,則E的離心率為( )
A. B.
C. D.2
(2)(名師押題)已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過點F2的直線與橢圓交于A,B兩點,若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形,則橢圓的離心率為( ) 【導學號:68334126】
A. B.2-
C.-2 D.-
(1)A (2)D [(1)法一:如圖,因為MF1與x軸垂直,所以|MF1|=.又sin∠MF2 22、F1=,所以=,
即|MF2|=3|MF1|.由雙曲線的定義得2a=|MF2|-|MF1|=2|MF1|=,所以b2=a2,所以c2=b2+a2=2a2,所以離心率e==.
法二:如圖,因為MF1⊥x軸,所以|MF1|=.
在Rt△MF1F2中,由sin∠MF2F1=得
tan∠MF2F1=.
所以=,即=,即=,
整理得c2-ac-a2=0,
兩邊同除以a2得e2-e-1=0.
解得e=(負值舍去).
(2)設|F1F2|=2c,|AF1|=m,
若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形,
∴|AB|=|AF1|=m,|BF1|=m.
由橢圓的定義可知△F1AB的周長為4a,
∴4a=2m+m,m=2(2-)a.
∴|AF2|=2a-m=(2-2)a.
∵|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,
∴4(2-)2a2+4(-1)2a2=4c2,
∴e2=9-6,e=-.]
精品數(shù)學高考復習資料
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