新版高考數(shù)學(xué)文復(fù)習(xí)檢測(cè)：第七章 立體幾何 課時(shí)作業(yè)43 Word版含答案

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2、 1 課時(shí)作業(yè)43　空間幾何體的表面積與體積 一、選擇題 1．如圖是某一幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積為(　　) A．4 B．8 C．16 D．20 解析：由三視圖知，此幾何體是一個(gè)三棱錐，底面為一邊長(zhǎng)為6，高為2的三角形，三棱錐的高為4，所以體積為V＝××6×2×4＝8.故選B. 答案：B 2．(20xx·黃岡中學(xué)月考)某空間組合體的三視圖如圖所

3、示，則該組合體的體積為(　　) A．48 B．56 C．64 D．72 解析：該組合體由兩個(gè)棱柱組成，上面的棱柱體積為2×4×5＝40，下面的棱柱體積為4×6×1＝24，故組合體的體積為64.故選C. 答案：C 3．以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于(　　) A．2π B．π C．2 D．1 解析：以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓柱的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為1.故側(cè)面積為2πr·l＝2π·1·1＝2π. 答案：A 4．如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底

4、面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為(　　) A. B. C. D. 解析：在△ABC中，BC邊上的高為，即棱錐A－BB1C1的高為，又S△BB1C1＝，所以VB1－ABC1＝VA－BB1C1＝××＝. 答案：A 5．(20xx·江西九江一模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1，粗線(xiàn)是一個(gè)棱錐的三視圖，則此棱錐的表面積為(　　) A．6＋4＋2 B．8＋4 C．6＋6 D．6＋2＋4 解析：直觀圖是四棱錐P－ABCD，如圖所示，S△PAB＝S△PAD＝S△PDC＝×2×2＝2，S△PBC＝×2×2×sin60°＝2，S四邊形ABCD＝2×2＝4，因此所求

5、棱錐的表面積為6＋4＋2.故選A. 答案：A 6．(20xx·河南洛陽(yáng)測(cè)試)已知點(diǎn)A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝，AC＝3，若三棱錐D－ABC體積的最大值為，則球O的表面積為(　　) A．36π B．16π C．12π D.π 解析：由題意可得，∠ABC＝，△ABC的外接圓半徑r＝，當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，VD－ABC＝S△ABC·h(h為點(diǎn)D到底面ABC的距離)?＝··h?h＝3，設(shè)R為球O的半徑，則(3－R)2＝R2－r2?R＝2.故球O的表面積為4π·22＝16π. 答案：B 二、填空題 7．(20xx·北京卷)某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的

6、體積為_(kāi)_______． 解析：通過(guò)俯視圖可知該四棱柱的底面為等腰梯形，則四棱柱的底面積S＝＝，通過(guò)側(cè)(左)視圖可知四棱柱的高h(yuǎn)＝1，所以該四棱柱的體積V＝Sh＝. 答案： 8．(20xx·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是________cm2，體積是________cm3. 解析： 將三視圖還原成直觀圖如圖所示，它由2個(gè)長(zhǎng)方體組合而成，其體積V＝2×2×2×4＝32 cm3，表面積為6×2×4＋6×2×2＝72 cm2. 答案：32　72 9．一個(gè)圓錐過(guò)軸的截面為等邊三角形，它的頂點(diǎn)和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的

7、體積的比值為_(kāi)_______． 解析：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2a， 則V圓錐＝·πa2·a＝πa3； 又R2＝a2＋(a－R)2，所以R＝a， 故V球＝·3＝a3， 則其體積比為. 答案： 三、解答題 10．一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m) (1)試畫(huà)出它的直觀圖； (2)求它的表面積和體積． 解：解：(1)直觀圖如圖所示． (2)由三視圖可知該幾何體是長(zhǎng)方體被截去一個(gè)三棱柱，且該幾何體的體積是以A1A，A1D1，A1B1為棱的長(zhǎng)方體的體積的， 在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，則四邊形AA1EB是正方形，AA1＝BE＝1， 在

8、Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1， 所以BB1＝. 所以幾何體的表面積S＝S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形AA1D1D＝1＋2×1＋2××(1＋2)×1＋1×＋1＝(7＋)(m2)． 所以幾何體的體積V＝×1×2×1＝(m3)． 所以該幾何體的表面積為(7＋)m2，體積為m3. 11．(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)． (Ⅰ)證明MN∥平面PAB； (Ⅱ)求四面體N－BC

9、M的體積． 解：(Ⅰ)由已知得AM＝AD＝2. 取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC的中點(diǎn)知TN∥BC，TN＝BC＝2. 又AD∥BC，故TN綊AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT. 因?yàn)锳T?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB. (Ⅱ)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為PA. 取BC的中點(diǎn)E，連接AE，由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝. 由AM∥BC得M到BC的距離為，故S△BCM＝×4×＝2. 所以四面體N－BCM的體積 VN－BCM＝×S△BCM×＝. 1．(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ)在

10、封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π B. C．6π D. 解析：由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個(gè)側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過(guò)直三棱柱的高，所以這個(gè)球放不進(jìn)去，則球可與上下底面相切，此時(shí)球的半徑R＝，該球的體積最大，Vmax＝πR3＝×＝. 答案：B 2．(20xx·云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三適應(yīng)性考試)已知三棱錐O－ABC的頂點(diǎn)A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，∠AOB＝120°，當(dāng)△AOC與△BOC的面積之和最大時(shí)，三棱錐O

11、－ABC的體積為(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)球O的半徑為R， 因?yàn)镾△AOC＋S△BOC＝R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)，所以當(dāng)∠AOC＝∠BOC＝90°時(shí)， S△AOC＋S△BOC取得最大值，此時(shí)OA⊥OC. OB⊥OC，OB∩OA＝O， 所以O(shè)C⊥平面AOB， 所以VO－ABC＝VC－OAB＝OC·OA·OBsin∠AOB＝R3sin∠AOB＝，故選B. 答案：B 3．(20xx·浙江卷)如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若平面ABC外的點(diǎn)P和線(xiàn)段AC上的點(diǎn)D，滿(mǎn)足PD＝DA，PB＝BA，則四面體PBCD的體積的最大值

12、是________． 解析：由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，可得AC＝2，要求四面體PBCD的體積，關(guān)鍵是尋找底面三角形BCD的面積S△BCD和點(diǎn)P到平面BCD的距離h.易知h≤2. 設(shè)AD＝x，則DP＝x，DC＝2－x，S△DBC＝×(2－x)×2×sin30°＝，其中x∈(0,2)，且h≤x，所以VP－BCD＝×S△BCD×h＝×h≤·x≤()2＝，當(dāng)且僅當(dāng)2－x＝x，即x＝時(shí)取等號(hào)．故四面體PBCD的體積的最大值是. 答案： 4．(20xx·江蘇卷)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C

13、1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍． (1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？ (2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6 m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？ 解：(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8. 因?yàn)锳1B1＝AB＝6， 所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積V錐＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)． 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)． 所以倉(cāng)庫(kù)的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)． (2)設(shè)A1B1＝a m，PO1＝h m，則00，V是單調(diào)遞增函數(shù)； 當(dāng)2