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1、
中難提分突破特訓(xùn)(一)
1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足＝.
(1)求角A的大小；
(2)若D為BC邊上一點(diǎn)，且CD＝2DB，b＝3，AD＝，求a.
解 (1)由已知，得(2c－b)cosA＝acosB，
由正弦定理，得(2sinC－sinB)cosA＝sinAcosB，
整理，得2sinCcosA－sinBcosA＝sinAcosB，
即2sinCcosA＝sin(A＋B)＝sinC.
又sinC≠0，所以cosA＝，
因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝.
(2)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，
又CD＝2DB，∠BAC＝，
所以E
2、D＝AC＝1，∠DEA＝.
由余弦定理可知，
AD2＝AE2＋ED2－2AE·EDcos，
解得AE＝4，則AB＝6.
又AC＝3，∠BAC＝，
所以在△ABC中，由余弦定理，得a＝BC＝3.
2．已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝1，AD＝.現(xiàn)將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線BD折起，使AC＝a，得到一個(gè)四面體A－BCD，如圖所示．
(1)試問(wèn)：在折疊的過(guò)程中，異面直線AB與CD，AD與BC能否垂直？若能垂直，求出相應(yīng)的a值；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)當(dāng)四面體A－BCD的體積最大時(shí)，求二面角A－CD－B的余弦值．
解 (1)若AB⊥CD，由AB⊥AD，AD∩CD＝D，得
AB⊥平面AC
3、D，所以AB⊥AC.
所以AB2＋a2＝BC2，即12＋a2＝()2，所以a＝1.
若AD⊥BC，由AD⊥AB，AB∩BC＝B，得
AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC，
所以AD2＋a2＝CD2，即()2＋a2＝12，
所以a2＝－1，無(wú)解，故AD⊥BC不成立．
(2)要使四面體A－BCD的體積最大，
因?yàn)椤鰾CD的面積為定值，
所以只需三棱錐A－BCD的高最大即可，
此時(shí)平面ABD⊥平面BCD，
過(guò)點(diǎn)A作AO⊥BD于點(diǎn)O，則AO⊥平面BCD，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖)，則易知A，C，D，
顯然，平面BCD的一個(gè)法向量為＝.
設(shè)平面ACD的
4、法向量為n＝(x，y，z)．
因?yàn)椋剑剑?
所以令y＝，得n＝(1，，2)．
觀察可知二面角A－CD－B為銳二面角，
故二面角A－CD－B的余弦值為
|cos〈，n〉|＝＝.
3．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)，A(3,0)的距離的比為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)B(－2,1)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN長(zhǎng)度的最小值；
(3)已知圓Q的圓心為Q(t，t)(t>0)，且圓Q與x軸相切，若圓Q與曲線C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解 (1)由題意，設(shè)P(x，y)，
則|AP|＝2|OP|，即|AP|2＝4|OP|2，
所以(x－3)2＋y
5、2＝4(x2＋y2)，
整理得(x＋1)2＋y2＝4.
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知軌跡C是以C(－1,0)為圓心，以2為半徑的圓．
又因?yàn)?－2＋1)2＋12<4，所以點(diǎn)B在圓內(nèi)，
所以當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，BC⊥MN，
所以圓心C到直線MN的距離為
|BC|＝＝，
此時(shí)，線段MN的長(zhǎng)為
|MN|＝2＝2×＝2，
所以，線段MN長(zhǎng)度的最小值為2.
(3)因?yàn)辄c(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t，t)(t>0)，且圓Q與x軸相切，所以圓Q的半徑為t，
所以圓Q的方程為(x－t)2＋(y－t)2＝t2.
因?yàn)閳AQ與圓C有公共點(diǎn)，
又圓Q與圓C的兩
6、圓心距離為
|CQ|＝＝，
所以|2－t|≤|CQ|≤2＋t，
即(2－t)2≤2t2＋2t＋1≤(2＋t)2，解得－3＋2≤t≤3.
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是[－3＋2，3]．
4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線C2的普通方程為y＝x.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
(1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程；
(2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)，求＋.
解 (1)由曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，
得曲線C1的普通方程為(x－3)2＋(y－3)2＝4，
所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為(ρcosθ－3)2＋(ρsinθ－
7、3)2＝4，
即ρ2－6ρcosθ－6ρsinθ＋14＝0.
因?yàn)橹本€C2過(guò)原點(diǎn)，且傾斜角為，
所以直線C2的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)．
(2)設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，
由
得ρ2－(3＋3)ρ＋14＝0，
所以ρ1＋ρ2＝3＋3，ρ1ρ2＝14，
又ρ1>0，ρ2>0，
所以＋＝＝＝.
5．設(shè)f(x)＝|x|＋2|x－a|(a>0)．
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，解不等式f(x)≤4；
(2)若f(x)≥4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解 (1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x|＋2|x－1|，
當(dāng)x<0時(shí)，由2－3x≤4，得－≤x<0；
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，由2－x≤4，得0≤x≤1；
當(dāng)x>1時(shí)，由3x－2≤4，得1
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