新編與名師對話高三數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練:第四章 三角函數(shù) 解三角形 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練24 Word版含解析

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1、 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(二十四) [基礎(chǔ)鞏固] 一、選擇題 1.已知兩座燈塔A、B與C的距離都是a,燈塔A在C的北偏東20°,燈塔B在C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B的距離為(  ) A.a(chǎn) B.a C.a D.2a [解析] 如圖所示,由余弦定理可知,AB2=a2+a2-2a·a·cos120°=3a2得AB=a.故選B. [答案] B 2.如圖,設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測出AC的距離為50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為(  ) A.50 m B.50 m

2、 C.25 m D. m [解析] 由題意得∠B=180°-45°-105°=30°, 由正弦定理得=, ∴AB===50(m). [答案] A 3.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站北偏東40°,燈塔B在觀察站南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的(  ) A.北偏東10° B.北偏西10° C.南偏東10° D.南偏西10° [解析] 燈塔A、B的相對位置如圖所示,由已知得∠ACB=80°, ∠CAB=∠CBA=50°, 則α=60°-50°=10°,即北偏西10°. [答案] B 4.在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30

3、°,測得湖中之影的俯角為45°,則云距湖面的高度為(精確到0.1 m)(  ) A.2.7 m B.17.3 m C.37.3 m D.373 m [解析] 依題意畫出示意圖. 則= ∴CM=×10 ≈37.3. [答案] C 5.張曉華同學(xué)騎電動(dòng)自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛,在點(diǎn)A處望見電視塔S在電動(dòng)車的北偏東30°方向上,15 min后到點(diǎn)B處望見電視塔在電動(dòng)車的北偏東75°方向上,則電動(dòng)車在點(diǎn)B時(shí)與電視塔S的距離是(  ) A.2 km B.3 km C.3 km D.2 km [解析] 畫出示意圖如圖, 由條件知

4、AB=24×=6.在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,所以∠ASB=45°.由正弦定理知=,所以BS==3. [答案] B 6.在200米高的山頂上,測得山下一塔頂和塔底的俯角分別為30°,60°,則塔高為(  ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 [解析] 作出示意圖如右圖, 由已知,在Rt△OAC中,OA=200,∠OAC=30°,則OC=OA·tan∠OAC=200tan30°=. 在Rt△ABD中,AD=,∠BAD=30°, 則BD=AD·tan∠BAD=·tan30°=, ∴BC=CD-BD=200-=.

5、 [答案] A 二、填空題 7.一船以每小時(shí)15 km的速度向正東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向,行駛4 h后,船到B處,看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向,這時(shí)船與燈塔的距離為________km. [解析]  如圖所示,依題意有: AB=15×4=60,∠MAB=30°, ∠AMB=45°, 在△AMB中, 由正弦定理得=, 解得BM=30(km). [答案] 30 8.(20xx·廣東廣州市高三綜合測試)江岸邊有一炮臺(tái)高30 m,江中有兩條船,船與炮臺(tái)底部在同一水面上,由炮臺(tái)頂部測得俯角分別為45°和60°,而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角,則兩

6、條船相距________m. [解析] 如圖,由題意知,OA=30, ∠OAM=45°,∠OAN=30°, ∠MON=30°. 在Rt△AOM中,OM=OA· tan∠OAM=30·tan45°=30. 在Rt△AON中,ON=OA·tan∠OAN=30·tan30°=10. 在△MON中,由余弦定理得 MN= = ==10(m). [答案] 10 9.(20xx·山西大學(xué)附中檢測)如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時(shí)氣球的高是60 m,則河流的寬度BC等于________m. [解析] 如圖,∠ACD=30°,

7、 ∠ABD=75°,AD=60 m, 在Rt△ACD中,CD===60(m), 在Rt△ABD中,BD=== =60(2-)(m), ∴BC=CD-BD=60-60(2-)=120(-1)(m). [答案] 120(-1) 三、解答題 10.港口A北偏東30°方向的C處有一檢查站,港口正東方向的B處有一輪船,距離檢查站為31海里,該輪船從B處沿正西方向航行20海里后到達(dá)D處觀測站,已知觀測站與檢查站距離21海里,問此時(shí)輪船離港口A還有多遠(yuǎn)? [解] 在△BDC中,BC=31,BD=20,CD=21,由余弦定理知,cos∠CDB==-, ∴sin∠CDB=. ∴sin∠

8、ACD=sin=sin∠CDBcos-cos∠CDBsin =. 在△ACD中,由正弦定理知=?AD=×21÷=15. ∴此時(shí)輪船距港口還有15海里. [能力提升] 11.(20xx·山西太原模擬)某登山隊(duì)在山腳A處測得山頂B的仰角為45°,沿傾斜角為30°的斜坡前進(jìn)1000 m后到達(dá)D處,又測得山頂?shù)难鼋菫?0 °,則山的高度BC為(  ) A.500(+1)m B.500 m C.500(+1)m D.1000 m [解析]  過點(diǎn)D作DE∥AC交BC于E,因?yàn)椤螪AC=30°,故∠ADE=150°.于是∠ADB=360°-150°-60°=150°.又∠BAD

9、=45°-30°=15°,故∠ABD=15°,由正弦定理,得AB===500(+)(m) 所以在Rt△ABC中,BC=ABsin45°=500(+1)(m). [答案] A 12.某人在C點(diǎn)測得某塔在南偏西80°,塔頂仰角為45°,此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10米到D,測得塔頂A的仰角為30°,則塔高為(  ) A.15米 B.5米 C.10米 D.12米 [解析] 如圖,設(shè)塔高為h, 在Rt△AOC中,∠ACO=45°,則OC=OA=h. 在Rt△AOD中,∠ADO=30°, 則OD=h, 在△OCD中,∠OCD=120°, CD=10, 由余弦定理得

10、:OD2=OC2+CD2-2OC·CDcos∠OCD, 即(h)2=h2+102-2h×10×cos120°, ∴h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍). [答案] C 13.甲船在A處觀察乙船,乙船在它的北偏東60°的方向,兩船相距a海里,乙船正向北行駛,若甲船是乙船速度的倍,則甲船應(yīng)取方向________才能追上乙船;追上時(shí)甲船行駛了________海里. [解析] 如圖所示,設(shè)到C點(diǎn)甲船追上乙船,乙到C地用的時(shí)間為t,乙船速度為v, 則BC=tv,AC=tv,B=120°, 由正弦定理知=, ∴=, ∴sin∠CAB=,∴∠CAB=30°,∴∠ACB=3

11、0°, ∴BC=AB=a, ∴AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos120° =a2+a2-2a2·=3a2,∴AC=a. [答案] 北偏東30° a 14. (20xx·廣東省五校協(xié)作體高三一診)如圖所示,在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD,為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ,在山坡的A處測得∠DAC=15°,沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處,又測得∠DBC=45°,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ=________. [解析] 由∠DAC=15°,∠DBC=45°可得∠BDA=30°,∠DBA=135°,∠BDC=90°-(15°+θ)-30°=45°-θ

12、,由內(nèi)角和定理可得∠DCB=180°-(45°-θ)-45°=90°+θ,根據(jù)正弦定理可得=,即DB=100sin15°=100×sin(45°-30°)=25(-1),又=,即=,得到cosθ=-1. [答案]?。? 15.海島B上有一座高為10米的塔,塔頂有一個(gè)觀測站A,上午11時(shí)測得一游船位于島北偏東15°方向上,且俯角為30°的C處,一分鐘后測得該游船位于島北偏西75°方向上,且俯角為45°的D處.(假設(shè)游船勻速行駛) (1)求該船行駛的速度(單位:米/分鐘); (2)又經(jīng)過一段時(shí)間后,游船到達(dá)海島B的正西方向E處,問此時(shí)游船距離海島B多遠(yuǎn)? [解] (1)在Rt△ABC

13、中,∠BAC=60°,AB=10, 則BC=10米; 在Rt△ABD中,∠BAD=45°,AB=10,則BD=10米; 在△BCD中,∠DBC=75°+15°=90°, 則CD= =20米. 所以速度v==20米/分鐘. (2)在Rt△BCD中,∠BCD=30°, 又因?yàn)椤螪BE=15°,所以∠CBE=105°,所以∠CEB=45°. 在△BCE中,由正弦定理可知=, 所以EB==5米. [延伸拓展]  (20xx·江西宜春段考)某工廠實(shí)施煤改電工程防治霧霾,欲拆除高為AB的煙囪,測繪人員取與煙囪底部B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)C,D,測得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=40米,并在點(diǎn)C處的正上方E處觀測頂部A的仰角為30°,且CE=1米,則煙囪高AB=________米. [解析] ∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=45°, 在△CBD中,根據(jù)正弦定理得BC==20, ∴AB=1+tan30°·CB=1+20(米). [答案] 1+20

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