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1、
中難提分突破特訓(xùn)(六)
1．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其面積為S，且(b2＋c2－a2)＝4S.
(1)求角A的大??；
(2)若a＝，當(dāng)b＋2c取得最大值時(shí)，求cosB.
解 (1)由已知(b2＋c2－a2)＝4S＝2bcsinA，
由余弦定理得2bccosA＝2bcsinA，所以tanA＝，
因?yàn)锳∈(0，π)，故A＝.
(2)由正弦定理得＝＝，
即b＝2sinB，c＝2sinC，
因此b＋2c＝2sinB＋4sinC＝2＝4sinB＋2cosB＝2sin(B＋φ)，
其中φ∈，tanφ＝，則sinφ＝＝，
故b＋2c≤2，當(dāng)且僅當(dāng)B＋φ＝
2、，即B＝－φ時(shí)取等號(hào)，
故此時(shí)cosB＝sinφ＝.
2．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D為BB1的中點(diǎn)．
(1)若E為AB1上的一點(diǎn)，且DE與直線CD垂直，求的值；
(2)在(1)的條件下，設(shè)異面直線AB1與CD所成的角為45°，求直線DE與平面AB1C1所成角的正弦值．
解 (1)如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接CM，MD，有MD∥AB1，
因?yàn)锳C＝BC，所以CM⊥AB，
又因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1為直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ABB1A1，
又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ABB1A1＝AB，
所以CM⊥平面ABB1A1，
又因
3、為DE?平面ABB1A1，
所以CM⊥DE，
又因?yàn)镈E⊥CD，CD∩CM＝C，CD?平面CMD，CM?平面CMD，
所以DE⊥平面CMD，又因?yàn)镸D?平面CMD，
所以DE⊥MD，
因?yàn)镸D∥AB1，所以DE⊥AB1，
連接A1B，設(shè)A1B∩AB1＝O，因?yàn)锳BB1A1為正方形，
所以A1B⊥AB1，
又因?yàn)镈E?平面AA1B1B，A1B?平面AA1B1B，
所以DE∥A1B，
又因?yàn)镈為BB1的中點(diǎn)，所以E為OB1的中點(diǎn)，
所以＝.
(2)如圖，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以MA，MO，MC所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB＝2a，由題意可知∠C
4、DM＝45°，
所以AB1＝2a，
所以DM＝CM＝a，
所以A(a,0,0)，B1(－a,2a,0)，C1(0,2a，a)，D(－a，a,0)，E，
所以＝(－2a,2a,0)，＝(a,0，a)，
＝，
設(shè)平面AB1C1的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，
則即
得平面AB1C1的一個(gè)法向量為n＝(，，－1)．
所以cos〈，n〉＝＝＝.
所以直線DE與平面AB1C1所成角的正弦值為.
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：＋＝1(a>0，b>0)經(jīng)過點(diǎn)A，且點(diǎn)F(0，－1)為其一個(gè)焦點(diǎn)．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)橢圓E與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A1，A2，不在y軸上
5、的動(dòng)點(diǎn)P在直線y＝b2上運(yùn)動(dòng)，直線PA1，PA2與橢圓E的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，證明：直線MN通過一個(gè)定點(diǎn)，且△FMN的周長為定值．
解 (1)根據(jù)題意可得解得
∴橢圓E的方程為＋＝1.
(2)證明：不妨設(shè)A1(0,2)，A2(0，－2)．
P(x0,4)為直線y＝4上一點(diǎn)(x0≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
直線PA1的方程為y＝x＋2，直線PA2的方程為y＝x－2.
點(diǎn)M(x1，y1)，A1(0,2)的坐標(biāo)滿足方程組
可得
點(diǎn)N(x2，y2)，A2(0，－2)的坐標(biāo)滿足方程組可得
即M，N.
直線MN的方程為y－＝－，
即y＝－x＋1.
故直線MN
6、恒過定點(diǎn)B(0,1)．
又∵F(0，－1)，B(0,1)是橢圓E的焦點(diǎn)，
∴△FMN的周長＝|FM|＋|MB|＋|BN|＋|NF|＝4b＝8.
4．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，直線l：(t為參數(shù))．
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程，直線l的普通方程；
(2)設(shè)直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值．
解 (1)由ρsin2θ＝2acosθ(a>0)兩邊同乘以ρ得，
曲線C：y2＝2ax，由直線l：(t為參數(shù))，消去t，得直線l：x
7、－y＋2＝0.
(2)將代入y2＝2ax得，t2－2at＋8a＝0，
由Δ>0得a>4，
設(shè)M，N，
則t1＋t2＝2a，t1t2＝8a，
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，
∴|t1－t2|2＝|t1t2|，
∴(2a)2－4×8a＝8a，∴a＝5.
5．已知函數(shù)f(x)＝2|x＋a|＋|3x－b|.
(1)當(dāng)a＝1，b＝0時(shí)，求不等式f(x)≥3|x|＋1的解集；
(2)若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)的最小值為2，求3a＋b的值．
解 (1)當(dāng)a＝1，b＝0時(shí)，由f(x)≥3|x|＋1，得2|x＋1|≥1，
所以|x＋1|≥，解得x≤－或x≥－，
所以所求不等式的解集為∪.
(2)解法一：因?yàn)閒(x)＝2|x＋a|＋|3x－b|
＝
所以函數(shù)f(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，為f＝2＝2.
因?yàn)閍>0，b>0，所以3a＋b＝3.
解法二：f(x)＝2＋≥2＋，等號(hào)在－a≤x≤時(shí)成立，
因?yàn)楫?dāng)x＝時(shí)，的最小值為0，
所以f(x)＝2＋≥2，等號(hào)在x＝時(shí)成立，
所以f(x)的最小值為2，從而2＝2.
因?yàn)閍>0，b>0，所以3a＋b＝3.
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