2013-2017高考數(shù)學(xué)分類(lèi)匯編-文科 第三章導(dǎo)數(shù) 第2節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(3)

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1、 第三章 導(dǎo)數(shù) 第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 題型40 方程解(零點(diǎn))的個(gè)數(shù)問(wèn)題 1.（2014江蘇19（2））已知函數(shù)．若（實(shí)數(shù)是與無(wú)關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍恰好是 ，求的值． 1.解析 解法一：因，故， 由（1）得：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不滿(mǎn)足題意； 當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)， 則恒成立， 從而對(duì)恒成立， 構(gòu)造，則對(duì)恒成立， 故單調(diào)遞減，從而，故． 當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)， 則恒成立， 從而對(duì)恒成立， 構(gòu)造， 則， 令，則， 故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 則，從而，即． 綜上得． 解法二：因，故， 由（1）得：當(dāng)時(shí)

2、，單調(diào)遞增，不滿(mǎn)足題意； 當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)， 則只需保證， 又實(shí)數(shù)的解集為， 因此，，是方程的三個(gè)實(shí)數(shù)根， 易知該方程必有一根， 從而若時(shí)，則，驗(yàn)證知不為其根，故舍； 若時(shí)，則，驗(yàn)證知，是其根， 驗(yàn)證不等式，即， 即，其解集為，滿(mǎn)足題意； 若時(shí)，則，驗(yàn)證知不為其根，故舍． 綜上得． 解法三：因，故， 由（1）得： 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不滿(mǎn)足題意； 當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)， 則，從而， 根據(jù)的取值范圍可知：是方程的根，因此． 當(dāng)時(shí)，若，則根據(jù)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)， 則必有，即． 因此解得或或，符合題意． 綜上得． 評(píng)注 （2）的解法一將該

3、問(wèn)題轉(zhuǎn)化到恒成立解決；解法二將問(wèn)題統(tǒng)一歸類(lèi)轉(zhuǎn)化到不等式的解集，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到等式（方程）的根；解法三亦是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到不等式的解集問(wèn)題進(jìn)行解決． 2.（2015北京文19（2））設(shè)函數(shù). 證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn). 2. 解析 若存在零點(diǎn)，則即，解得. 又，， 且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn). 3.（2015廣東文21（3））設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)． 當(dāng)時(shí)，討論在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． 3.解析 由（2）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以. (i)當(dāng)時(shí)，，. 令=0，即. 因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以. 而在上單調(diào)遞增，. 所以在上，故與在無(wú)交點(diǎn). 當(dāng)

4、時(shí)，，即. 所以，所以.因?yàn)?，所? 故當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn). (ii)當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)， ，， 而在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，. 下面比較與的大小： 因?yàn)? ， 所以. 結(jié)合圖像可知當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn). 綜上，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)零點(diǎn). 4.（2015新課標(biāo)Ⅰ卷文21（1））設(shè)函數(shù).討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)； 4. 解析 由題意可得，. 顯然當(dāng)時(shí)，恒成立，無(wú)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，取， 則， 即單調(diào)遞增.令， 即. 畫(huà)出與的圖像，如圖所示. 由圖可知，必有零點(diǎn)， 所以導(dǎo)函數(shù)存在唯一零點(diǎn). 5.（2015山東文20(2)）設(shè)函數(shù)，. 已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)

5、平行.是否存在自然數(shù)，使得方程在內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； 5. 解析 時(shí)，方程在內(nèi)存在唯一的根. 設(shè)，當(dāng)時(shí)，. 又，所以存在，使. 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增. 所以時(shí)，方程在內(nèi)存在唯一的根. 6.（2015陜西文21（2））設(shè) 證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為），且. 6. 解析 因?yàn)椋?，所以? 內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，因此，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，由于， 所以，由此可得，故， 所以. 7.（2015四川文21（2））已知函數(shù)，其中. 求證：存在，使得恒成立，并且在區(qū)間內(nèi)有唯一解. 7. 解析

6、由，解得， 令. 則，，所以存在，使得. 令，其中. 由，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 故，即. 當(dāng)時(shí)，有，， 再由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增. 當(dāng)時(shí)，，所以； 當(dāng)時(shí)，，所以. 又當(dāng)時(shí)，， 故時(shí)，. 綜上所述，存在，使得恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解. 8.（2016北京文20）設(shè)函數(shù). （1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程； （2）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求的取值范圍； （3）求證：是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件. 8.解析 （1）由，得.因?yàn)?，，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為. （2）當(dāng)時(shí)，，所以. 令，得，解得或. 與在區(qū)間上的變化情況如下表所示.

7、 所以當(dāng)且時(shí)，存在，，， 使得. 由的單調(diào)性，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn). （3）證法一：分兩步證明. 必要性： 若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，那么的單調(diào)性必然變化次，因此其導(dǎo)函數(shù)必然有2個(gè)不同的零點(diǎn)，從而的判別式，即. 非充分性：取，則函數(shù)， 其導(dǎo)函數(shù).所以其極大值為，其極小值為， 因此函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn). 綜上所述，是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件. 證法二：分兩步證明. 必要性（反證法） 若，則恒成立，所以單調(diào)遞增，于是最多只有1個(gè)零點(diǎn)，與條件不符，所以. 以下證明同證法一. 9.（2016山東文15

8、）已知函數(shù)，其中，若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，則的取值范圍是________________. 9. 解析 因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸為，所以時(shí)單調(diào)遞增，只要大于的最小值時(shí)，關(guān)于的方程在時(shí)有一根；又在，時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使方程在時(shí)有兩個(gè)根，只需； 故只需即可，又，所以解得，即的取值范圍是. 10.（2016江蘇19）已知函數(shù). （1）設(shè)，. ①求方程的根； ②若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值； （2）若，，函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)，求的值. 10.解析 （1）①，由可得， 則，即，則，解得； ②由題意得恒成立，即恒成立. 令，則由，可得， 此時(shí)恒成立，即恒成立，

9、 因?yàn)闀r(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此實(shí)數(shù)的最大值為. （2），， 由，可得，令，則單調(diào)遞增， 而，因此時(shí). 因此時(shí)，，，則； 時(shí)，，，則. 則在遞減，遞增. 解法一：下證. ①若，則，于是， 又且， 因此連續(xù)函數(shù)在以與為端點(diǎn)的區(qū)間上存在零點(diǎn)，不妨記為. 由且可知，這與“是函數(shù)的唯一零點(diǎn)”相矛盾. ②若，仿照①可得到， 連續(xù)函數(shù)在以與為端點(diǎn)的區(qū)間上存在大于的零點(diǎn)，也相矛盾. ③綜合①②可知，即，即， 即，因此，則. 評(píng)注 解法二：（也可以作為研究對(duì)象）因此最小值為. ①若，時(shí)，，，則； 時(shí)，，，則； 因此且時(shí)，，因此在有零點(diǎn)， 且時(shí)，，因此在有零點(diǎn)，

10、 則至少有兩個(gè)零點(diǎn)，與條件矛盾； ②若，由函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)，最小值為， 可得，由，因此， 所以，即， 亦即，因此，則. 11.（2016全國(guó)乙文21）已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍. 11.解析 （1）由題意. ①當(dāng)，即時(shí)，恒成立.令，則， 所以的單調(diào)增區(qū)間為.同理可得的單調(diào)減區(qū)間為. ②當(dāng)，即時(shí)，令，則或. （?。┊?dāng)，即時(shí)，令，則或， 所以的單調(diào)增區(qū)間為和.同理的單調(diào)減區(qū)間為； （ⅱ）當(dāng)，即時(shí)， 當(dāng)時(shí)，，，所以.同理時(shí)，. 故的單調(diào)增區(qū)間為； （ⅲ）當(dāng)，即時(shí).令，則或， 所以的單調(diào)增區(qū)間為和，同理的單調(diào)減區(qū)間為.

11、 綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為. （2）解法一（直接討論法）：易見(jiàn)，如（1）中討論，下面先研究（?。áⅲá＃┤N情況. ①當(dāng)時(shí)，由單調(diào)性可知，，故不滿(mǎn)足題意； ②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，顯然不滿(mǎn)足題意； ③當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性，可知， 且，故不滿(mǎn)足題意； 下面研究， 當(dāng)時(shí)，，令，則，因此只有個(gè)零點(diǎn)，故舍去； 當(dāng)時(shí)，，，所以在上有個(gè)零點(diǎn)； （i）當(dāng)時(shí)，由，而， 所以在上有個(gè)零點(diǎn)； （i i）當(dāng)時(shí)，由，而， 所以在上有個(gè)零點(diǎn)； 可見(jiàn)當(dāng)時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn).所

12、以所求的取值范圍為. 解法二（分離參數(shù)法）：顯然不是的零點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，由，得. 設(shè)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)， 對(duì)求導(dǎo)得， 所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. ①當(dāng)時(shí)，若，，直線(xiàn)與圖像沒(méi)有交點(diǎn)， 若，單調(diào)遞減，直線(xiàn)與圖像不可能有兩個(gè)交點(diǎn)， 故不滿(mǎn)足條件； ②若時(shí)，取 ，則， 而，結(jié)合在單調(diào)遞減， 可知在區(qū)間上直線(xiàn)與圖像有一個(gè)交點(diǎn)， 取，， 則，， 結(jié)合在單調(diào)遞增，可知在區(qū)間上直線(xiàn)與圖像有一個(gè)交點(diǎn)， 綜上所述，時(shí)直線(xiàn)與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). 評(píng)注 此題與2015年文科卷第（1）問(wèn)基本一致，都是對(duì)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的研究，基本形成分離與不分離兩種解答方案，但不

13、管是否分離，都涉及到零點(diǎn)的取值問(wèn)題. 【1】②④可放一起研究，當(dāng)或，由題意，，故不滿(mǎn)足題意. 【2】用分離參數(shù)的方法很多時(shí)候只能初步感知結(jié)論，不能替代論證. 很多資料上在論證完的單調(diào)性后直接書(shū)寫(xiě)如下過(guò)程， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，令，則，所以時(shí)，；時(shí)，. 綜上所述：時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). 這里論述時(shí)是不完備的，這里涉及到極限的知識(shí)，僅僅用是不夠的，可能會(huì)有值的趨向性，因此這種解析不完備是會(huì)扣除步驟分. 【3】考試院提供的參考答案與去年提供的參考相仿： （i）設(shè)，則由（1）可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 又，，取滿(mǎn)足且， 則，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). （ii）設(shè)，則，令，則，因此只有

14、個(gè)零點(diǎn)，故舍去； （iii）設(shè)，若，則由（1）知，在上單調(diào)遞增， 又當(dāng)時(shí)，，故不存在兩個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，則由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 又當(dāng)時(shí)，，故不存在兩個(gè)零點(diǎn). 綜上，的取值范圍為. 12.（2017全國(guó)3文12）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（ ）. A． B． C． D．1 12.解析 (對(duì)稱(chēng)性解法) 因?yàn)殛P(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以要有唯一零點(diǎn)，只有，由此解得.故選C. 評(píng)注 難度中偏上，主要考查函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)的零點(diǎn)結(jié)論，本題的難點(diǎn)在于對(duì)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性不夠了解，一般學(xué)生很難看出后面函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，導(dǎo)致做題缺乏思路.本題與2016年的高考全國(guó)卷2文科數(shù)

15、學(xué)的選擇壓軸題（第12題）類(lèi)似，都是圍繞函數(shù)的性質(zhì)來(lái)考查，需要學(xué)生有較強(qiáng)的基本功底并具有較強(qiáng)的運(yùn)用能力. 13.（2017江蘇14）設(shè)是定義在且周期為的函數(shù)，在區(qū)間上， ．其中集合，則方程的解的個(gè)數(shù)是 ． 13.解析 由題意，所以只需要研究?jī)?nèi)的根的情況． 在此范圍內(nèi)，且時(shí)，設(shè)，且互質(zhì)， 若，則由，可設(shè)，且互質(zhì). 從而，則，此時(shí)左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此， 于是不可能與內(nèi)的部分對(duì)應(yīng)相等，所以只需要考慮與每個(gè)周期內(nèi)部分的交點(diǎn). 如圖所示，通過(guò)函數(shù)的草圖分析，圖中交點(diǎn)除外，其它交點(diǎn)均為的部分． 且當(dāng)時(shí)，，所以在附近只有一個(gè)交點(diǎn)， 因而方程解的

16、個(gè)數(shù)為個(gè)．故填． 題型41 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 1.（2015福建文22（2））已知函數(shù)． 求證：當(dāng)時(shí)，； 1. 分析 構(gòu)造函數(shù)，．欲證明，只需證明的最大值小于等于即可. 解析 令，．則有， 當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減， 故當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，． 2.（2015湖北文21）設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). (1)求，的解析式，并證明：當(dāng)時(shí)，，； (2)設(shè)，，證明：當(dāng)時(shí)，. 2. 解析 (1)由，的奇偶性及條件 ① 得

17、 ② 聯(lián)立式①式②解得，. 當(dāng)時(shí)，，，故. ③ 又由基本不等式，有，即. ④ (2)由(1)得 ， ⑤ ， ⑥ 當(dāng)時(shí)，等價(jià)于， ⑦ 等價(jià)于 ⑧ 設(shè)函數(shù) ，由式⑤式⑥， 有 當(dāng)時(shí)， （a）若，由式③式④，得，故在上為增函數(shù)， 從而，即，故式⑦成立. （b）若，由③④，得，故在上為減函數(shù)， 從而，即，故式⑧成立. 綜合式⑦式⑧，得.

18、 3.（2015新課標(biāo)Ⅰ卷文21（2））設(shè)函數(shù). 求證：當(dāng)時(shí)，. 3. 解析 由（1）可知有唯一零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為， 由圖可知，則當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增. 所以在處取得極小值，即. 又，解得.① ①兩邊分別取自然對(duì)數(shù)，得，即. 所以 （當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）. 4.（2015天津文20） 已知函數(shù)其中，且. （2）設(shè)曲線(xiàn)與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有； （3）若方程（為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，，且， 求證：. 4. 分析（2） ，，證明在 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有；

19、 （3）設(shè)方程 的根為，可得，由在上單調(diào)遞減，得，所以 .設(shè)曲線(xiàn)在原點(diǎn)處的切線(xiàn)為，方程的根為，可得，由在上單調(diào)遞增， 且，可得，所以. 解析（2）設(shè) ，則 ，且，得， 曲線(xiàn) 在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為 ，即， 令 ，即 .則. 由于在 單調(diào)遞減，故在 單調(diào)遞減， 又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，， 所以當(dāng)時(shí)，. 所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)， ，對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有. （3）由（2）知，設(shè)方程的根為， 可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減， 又由（2）知，所以 . 設(shè)曲線(xiàn)在原點(diǎn)處的切線(xiàn)為， 可得，對(duì)任意的，有，即. 設(shè)方程 的根為，可得， 因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且， 因此，所以.

20、 5.（2017全國(guó)3文21）已知函數(shù)． （1）討論 的單調(diào)性； （2）當(dāng)時(shí)，證明． 5.解析 (1)， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減. （2）當(dāng)時(shí)，， 要證，即證. 令，，. 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 所以，即. 評(píng)注 本題難度中偏上，第（1）問(wèn)考查導(dǎo)函數(shù)含參的函數(shù)單調(diào)性的討論，第（2）問(wèn)屬于構(gòu)造函數(shù)證明不等式類(lèi)問(wèn)題，有一定難度. 題型42 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 1. (2013重慶文20）某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形儲(chǔ)水池（不計(jì)厚度）.設(shè)該儲(chǔ)水池的底 面半徑為米，高為米，體積為立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本

21、 為元/平方米.底面的建造成本為元/平方米，該儲(chǔ)水池的總建造成本為元（ 為圓周率） （1）將表示成的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域； （2）討論函數(shù)的單調(diào)性，并確定和為何值時(shí)該儲(chǔ)水池的體積最大. 1.分析 根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值. 解析 （1）因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為（元），底面的總成本為元，所以蓄水池的總成本為元. 又根據(jù)題意，所以，從而 . 因?yàn)椋钟煽傻?，故函?shù)的定義域?yàn)? （2）因?yàn)椋? 令，解得（因?yàn)椴辉诙x域內(nèi)，舍去）. 當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)； 由此可知，在處取得最大值，此時(shí). 即當(dāng)，時(shí)，該蓄水池的體積最大.