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1、
中難提分突破特訓(xùn)(二)
1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－2kn(k∈N*)，Sn的最小值為－9.
(1)確定k的值，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝(－1)n·an，求數(shù)列{bn}的前2n＋1項(xiàng)和T2n＋1.
解 (1)由已知得Sn＝n2－2kn＝(n－k)2－k2，
因?yàn)閗∈N*，當(dāng)n＝k時(shí)，(Sn)min＝－k2＝－9，
故k＝3.所以Sn＝n2－6n.
因?yàn)镾n－1＝(n－1)2－6(n－1)(n≥2)，
所以an＝Sn－Sn－1＝(n2－6n)－[(n－1)2－6(n－1)]，
得an＝2n－7(n≥2)．
當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝－5＝a1，綜
2、上，an＝2n－7.
(2)依題意，bn＝(－1)n·an＝(－1)n(2n－7)，
所以T2n＋1＝5－3＋1＋1－3＋5＋…＋(－1)2n(4n－7)＋
2．已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x，y的幾組數(shù)據(jù)如下表所示：
x
2
4
6
8
10
y
3
6
7
10
12
(1)請(qǐng)根據(jù)上表數(shù)據(jù)在網(wǎng)格紙中繪制散點(diǎn)圖；
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋，并估計(jì)當(dāng)x＝20時(shí)，y的值；
(3)將表格中的數(shù)據(jù)看作5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則從這5個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)抽取3個(gè)點(diǎn)，記落在直線2x－y－4＝0右下方的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列以及期望
3、．
參考公式：＝，＝－ .
解 (1)散點(diǎn)圖如圖所示．
(2)依題意，＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
＝×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，
＝4＋16＋36＋64＋100＝220，
iyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，
＝＝＝＝1.1，
∴＝7.6－1.1×6＝1，
∴線性回歸方程為＝1.1x＋1，故當(dāng)x＝20時(shí)，＝23.
(3)可以判斷，落在直線2x－y－4＝0右下方的點(diǎn)滿足2x－y－4>0，
故符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值為1,2,3，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，
P(ξ＝3)＝
4、＝，故ξ的分布列為
ξ
1
2
3
P
故E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝＝.
3．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD⊥AB，DC＝2AD＝2AB＝2，AA1＝4，點(diǎn)M為C1D1的中點(diǎn)．
(1)求證：平面AB1D1∥平面BDM；
(2)求直線CD1與平面AB1D1所成角的正弦值．
解 (1)證明：由題意得，DD1∥BB1，DD1＝BB1，
故四邊形DD1B1B為平行四邊形，所以D1B1∥DB，
由D1B1?平面AB1D1，DB?平面AB1D1，故DB∥平面AB1D1，
由題意可知AB∥DC，D1C1∥DC，所
5、以，AB∥D1C1.
因?yàn)镸為D1C1的中點(diǎn)，所以D1M＝AB＝1，
所以四邊形ABMD1為平行四邊形，所以BM∥AD1，
由AD1?平面AB1D1，BM?平面AB1D1，
所以BM∥平面AB1D1，
又由于BM，BD相交于點(diǎn)B，BM，BD?平面BDM，
所以平面BDM∥平面AB1D1.
(2)由題意，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D，D，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)D1(0,0,4)，C(0,2,0)，A(1,0,0)，B1(1,1,4)，
＝(－1,0,4)，＝(0,1,4)，
設(shè)平面AB1D1的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，
有即
令z＝1
6、，則n＝(4，－4,1)，＝(0，－2,4)，
令θ為直線CD1與平面AB1D1所成的角，
則sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝.
4．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(θ為參數(shù))，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ－2cosθ＝0.
(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；
(2)若曲線C1上有一動(dòng)點(diǎn)M，曲線C2上有一動(dòng)點(diǎn)N，求|MN|的最小值．
解 (1)由ρ－2cosθ＝0，得ρ2－2ρcosθ＝0.
∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，∴x2＋y2－2x＝0，
即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1.
(2)由(1)可知，圓C2的圓心為C2(1
7、,0)，半徑為1.
設(shè)曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)M(3cosθ，2sinθ)，
由動(dòng)點(diǎn)N在圓C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.
∵|MC2|＝
＝，
∴當(dāng)cosθ＝時(shí)，|MC2|min＝，
∴|MN|min＝|MC2|min－1＝－1.
5．已知不等式|2x－3|0時(shí)，|2x－3|
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