新版【創(chuàng)新設計】高考數學北師大版一輪訓練：第9篇 步驟規(guī)范練統(tǒng)計與概率

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1、 1

2、 1 步驟規(guī)范練——統(tǒng)計與概率 (建議用時：90分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·石家莊調研)某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學生的健康情況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調查．這種抽樣方法是 (　　)． A．簡單隨機抽樣法 B．抽簽法 C．隨機數表法 D．分層抽樣法 解析　總體由差異明顯的幾部分組成、按比例抽樣，為分層抽

3、樣． 答案　D 2．(20xx·廣州月考)某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.20，0.30,0.10，則此射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為 (　　)． A．0.40 B．0.30　　C．0.60 D．0.90 解析　一次射擊不夠8環(huán)的概率為：1－0.2－0.3－0.1＝0.4. 答案　A 3．(20xx·湖北卷)容量為20的樣本數據，分組后的頻數如下表： 分組 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 頻數 2 3 4 5 4 2 則樣本數據落在區(qū)間[10,40)的頻率為

4、(　　)． A．0.35 B．0.45　　 C．0.55 D．0.65 解析　數據落在區(qū)間[10,40)內的頻數為9，樣本容量為20，所求頻率為＝0.45. 答案　B 4．(20xx·沈陽模擬)第十二屆全運會于8月31日在沈陽舉行，運動會期間從來自A大學的2名志愿者和來自B大學的4名志愿者中隨機抽取2人到體操比賽場館服務，至少有一名A大學志愿者的概率是 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　記2名來自A大學的志愿者為A1，A2,4名來自B大學的志愿者為B1，B2，B3，B4.從這6名志愿者中選出2名的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B

5、3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15種．其中至少有一名A大學志愿者的事件有9種．故所求概率為＝. 答案　C 5．(20xx·江西八校聯考)已知數據x1，x2，x3，…，xn分別是某省普通職工n(n≥3，n∈N*)個人的年收入，設這n個數據的中位數為x，平均數為y，方差為z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，則這n＋1個數據中，下列說法正確的是 (　　)． A．年收入平均數大大增大，中位數一定變大，方差可能不變 B．年收入平均數大大增

6、大，中位數可能不變，方差變大 C．年收入平均數大大增大，中位數可能不變，方差也不變 D．年收入平均數可能不變，中位數可能不變，方差可能不變 解析　由于世界首富的年收入xn＋1較大，故平均數一定會增大，差距會拉大，因此方差也會變大，選B. 答案　B 6．(20xx·萍鄉(xiāng)模擬)一個袋子中有5個大小相同的球，其中有3個黑球與2個紅球，如果從中任取兩個球，則恰好取到兩個同色球的概率是 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　基本事件有(黑1，黑2)， (黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(紅1，紅2)，(黑1，紅1)，(黑1，紅2)，(黑2，紅1)，(黑2，紅2)， (黑3，紅1)，

7、(黑3，紅2)，共10個，其中為同色球的有4個，故所求概率為＝. 答案　C 7．(20xx·江西九校聯考)在區(qū)間[－3,3]上，隨機地取兩個數x，y，則x－y＞2的概率是 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　取出的數對(x，y)組成平面區(qū)域{(x，y)|－3≤x≤3，－3≤y≤3}，其中x－y＞2表示的區(qū)域是圖中的陰影部分(如圖)，故所求的概率為＝. 答案　A 8．(20xx·陜西五校聯考)為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學從理工類專業(yè)的A班和文史類專業(yè)的B班各抽取20名同學參加環(huán)保知識測試．統(tǒng)計得到成績與專業(yè)的列聯表： 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 A班

8、 14 6 20 B班 7 13 20 總計 21 19 40 則下列說法正確的是 (　　)． A．有99%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關 B．有99%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)無關 C．有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關 D．有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)無關 解析　χ2＝≈4.9 123，因為4.9 123>3.841，所以有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關． 答案　C 9．(20xx·杭州二檢)用莖葉圖記錄甲、乙兩人在5次體能綜合測評中的成績(成績?yōu)閮晌徽麛?，若乙有一次不少于90分的成績未記錄，則甲的平均成

9、績超過乙的平均成績的概率為 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　顯然甲的平均成績是90分，乙的平均成績要低于90分，則乙的未記錄的成績不超過97分，90～97共有8個成績，故滿足要求的概率為＝. 答案　C 10．(20xx·南昌模擬)在區(qū)間[0，π]上隨機取一個數x，則事件“sin x＋cos x≥”發(fā)生的概率為 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　因為所以，即≤x≤.根據幾何概型的計算方法，所以所求的概率為P＝＝. 答案　B 二、填空題 11．(20xx·咸陽模擬)某個年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學生中抽取一

10、個容量為280的樣本，則此樣本中男生人數為________． 解析　設樣本中男生人數為n，則有＝，解得n＝160. 答案　160 12．(20xx·渭南模擬)統(tǒng)計某校1 000名學生的數學會考成績，得到樣本頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定不低于60分為及格，則及格人數是________名． 解析　[1－(0.005＋0.015)×10]×1 000＝800. 答案　800 13．(20xx·上饒模擬)假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料： 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 由

11、資料可知y和x呈線性相關關系，由表中數據算出線性回歸方程＝x＋中的＝1.23，據此估計，使用年限為10年時的維修費用是________萬元． 解析　由題意知＝4，＝5，即回歸直線過點(4,5)，代入回歸直線方程得＝0.08，即回歸直線方程為＝1.23x＋0.08，所以當x＝10時，＝1.23×10＋0.08＝12.38(萬元)． 答案　12.38 14．(20xx·廣州二模)如圖所示，一個等腰直角三角形的直角邊長為2，分別以三個頂點為圓心，1為半徑在三角形內作圓弧，三段圓弧與斜邊圍成區(qū)域M(圖中白色部分)．若在此三角形內隨機取一點P，則點P落在區(qū)域M內的概率為________． 解

12、析　∵S扇形＝2××12×＋×π×12＝， ∴SM＝×2×2－S扇形＝2－， ∴所求概率為P＝＝1－. 答案　1－ 三、解答題 15．(20xx·廣東卷)從一批蘋果中，隨機抽取50個，其重量(單位：克)的頻數分布表如下： 分組(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 頻數(個) 5 10 20 15 (1)根據頻數分布表計算蘋果的重量在[90,95)的頻率； (2)用分層抽樣的方法從重量在[80,85)和[95,100)的蘋果中共抽取4個，其中重量在[80,85)的有幾個？ (3)在(2)中抽出的4個蘋果中，任取2個，求重量

13、在[80,85)和[95,100)中各有1個的概率． 解　(1)由題意知蘋果的樣本總數n＝50，在[90,95)的頻數是20，∴蘋果的重量在[90,95)的頻率是＝0.4. (2)設從重量在[80,85)的蘋果中抽取x個，則從重量在[95,100)的蘋果中抽取(4－x)個． ∵表格中[80,85)，[95,100)的頻數分別是5,15， ∴5∶15＝x∶(4－x)，解得x＝1. 即重量在[80,85)的有1個． (3)在(2)中抽出的4個蘋果中，重量在[80,85)中有1個，記為a，重量在[95,100)中有3個，記為b1，b2，b3，任取2個，有ab1，ab2，ab3，b1b2，

14、b1b3，b2b3共6種不同方法．記基本事件總數為n，則n＝6，其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1個的事件記為A，事件A包含的基本事件為ab1，ab2，ab3，共3個， 由古典概型的概率計算公式得P(A)＝＝. 16．(20xx·安徽卷)為調查甲、乙兩校高三年級學生某次聯考數學成績情況，用簡單隨機抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級學生，以他們的數學成績(百分制)作為樣本，樣本數據的莖葉圖如圖所示： (1)若甲校高三年級每位學生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級學生總人數，并估計甲校高三年級這次聯考數學成績的及格率(60分及60分以上為及格)； (2)設甲、乙兩

15、校高三年級學生這次聯考數學平均成績分別為1，2，估計1－2的值． 解　(1)設甲校高三年級學生總人數為n.由題意知，＝0.05，即n＝600. 樣本中甲校高三年級學生數學成績不及格人數為5，據此估計甲校高三年級此次聯考數學成績及格率為1－＝. (2)設甲、乙兩校樣本平均數分別為，，根據樣本莖葉圖可知，30(－)＝30－30 ＝(7－5)＋(50＋13－14)＋(－60＋24－17)＋(－70＋26－33)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15. 因此－＝0.5.故1－2的估計值為0.5分． 17．(20xx·陜西卷)有7位歌手(1至7號)參加一場歌唱比賽，由5

16、00名大眾評委現場投票決定歌手名次．根據年齡將大眾評委分為五組，各組的人數如下： 組別 A B C D E 人數 50 100 150 150 50 (1)為了調查評委對7位歌手的支持情況，現用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委，其中從B組抽取了6人，請將其余各組抽取的人數填入下表. 組別 A B C D E 人數 50 100 150 150 50 抽取人數 6 (2)在(1)中，若A，B兩組被抽到的評委中各有2人支持1號歌手，現從這兩組被抽到的評委中分別任選1人，求這2人都支持1號歌手的概率． 解　(1)由題設知，分層

17、抽樣的抽取比例為6%，所以各組抽取的人數如下表： 組別 A B C D E 人數 50 100 150 150 50 抽取人數 3 6 9 9 3 (2)記從A組抽到的3個評委為a1，a2，a3，其中a1，a2支持1號歌手；從B組抽到的6個評委為b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1號歌手．從{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有結果為： 由以上樹狀圖知所有結果共18種，其中2人都支持1號歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4種，故所求概率P＝＝. 18．(20xx·湖南卷)某超

18、市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示. 一次購物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件 及以上 顧客數/人 x 30 25 y 10 結算時間/(分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%. (1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值； (2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率) 解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45， 所以x＝1

19、5，y＝20. 該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數估計，其估計值為 ＝1.9(分鐘)． (2)記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，A1，A2，A3分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為1分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為1.5分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為2分鐘”．將頻率視為概率得 P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝. 因為A＝A1＋A2＋A3，且A1，A2，A3是互斥事件， 所以P(A)＝P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ＝＋＋＝. 故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為.