2015年高考數(shù)學(xué)(理科)真題分類匯編N單元選修4系列
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1、 數(shù) 學(xué) N單元 選修4系列 N1 選修4-1 幾何證明選講 15.N1[2015·廣東卷] (幾何證明選講選做題)如圖1-1,已知AB是圓O的直徑,AB=4,EC是圓O的切線,切點為C,BC=1.過圓心O作BC的平行線,分別交EC和AC于點D和點P,則OD=________. 圖1-1 15.8 [解析] 連接OC,因為AB是圓O的直徑,則∠ACB=,而BC∥OD,故CP⊥OD,由題知CD是圓O的切線,∴CP是Rt△ODC斜邊上的高,由射影定理知OC2=OP·OD,而OC=2,OP=BC=,∴OD===8.
2、 15.N1[2015·湖北卷] (選修4-1:幾何證明選講) 如圖1-4,PA是圓的切線,A為切點,PBC是圓的割線,且BC=3PB,則=________. 圖1-4 15. [解析] 由切割線定理知PA2=PB·PC,又BC=3PB,所以PA=2PB.由弦切角定理知∠PAB=∠PCA,又∠APC=∠BPA,所以△PAB∽△PCA,所以==. 21.N1[2015·江蘇卷] A.[選修4-1:幾何證明選講]如圖1-5,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點D. 求證:△ABD∽△AEB. 圖1-5 N2B.[選修4-2:矩
3、陣與變換]已知x,y∈R,向量α=是矩陣A=的屬于特征值-2的一個特征向量,求矩陣A以及它的另一個特征值. N3C.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρsin-4=0,求圓C的半徑. N4D.[選修4-5:不等式選講]解不等式x+|2x+3|≥2. 21.A.證明:因為AB=AC,所以∠ABD=∠C. 又因為∠C=∠E,所以∠ABD=∠E, 又∠BAE為公共角,所以△ABD∽△AEB. B.解:由已知,得Aα=-2α,即==,則即所以矩陣A=. 從而矩陣A的特征多項式f(λ)=(λ+2)(λ-1), 所以矩陣A的另一個特征值為1. C.解:以極坐標(biāo)
4、系的極點為平面直角坐標(biāo)系的原點O,以極軸為x軸的正半軸,建立直角坐標(biāo)系xOy. 圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρ-4=0,化簡得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0, 則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6, 所以圓C的半徑為. D.解:原不等式可化為或 解得x≤-5或x≥-. 綜上,原不等式的解集是. 22.N1[2015·全國卷Ⅱ] 選修4-1:幾何證明選講 如圖1-8,O為等腰三角形ABC內(nèi)一點,⊙O與△ABC的底邊BC交于M,N兩點,與底邊上的高AD交于點G,且與AB,AC分別相切于E,F(xiàn)兩點. (1)證明:EF
5、∥BC; (2)若AG等于⊙O的半徑,且AE=MN=2,求四邊形EBCF的面積. 圖1-8 22.解:(1)證明:由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分線.又因為⊙O分別與AB,AC相切于點E,F(xiàn),所以AE=AF,故AD⊥EF,從而EF∥BC. (2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分線.又EF為⊙O的弦,所以O(shè)在AD上. 連接OE,OM,則OE⊥AE. 由AG等于⊙O的半徑得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等邊三角形. 因為AE=2,所以AO=4,OE=2. 因為OM=OE=2,DM
6、=MN=,所以O(shè)D=1.于是AD=5,AB=. 所以四邊形EBCF的面積為××-×(2)2×=. 22.N1[2015·全國卷Ⅰ] 選修4-1:幾何證明選講 如圖1-7,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的切線,BC交⊙O于點E. (1)若D為AC的中點,證明:DE是⊙O的切線; (2)若OA=CE,求∠ACB的大?。? 圖1-7 22.解:(1)證明:連接AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB. 在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 連接OE,則∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=9
7、0°,即DE是⊙O的切線. (2)設(shè)CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=. 由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=,即x4+x2-12=0, 可得x=,所以∠ACB=60°. N2 選修4-2 矩陣 21.N1[2015·江蘇卷] A.[選修4-1:幾何證明選講]如圖1-5,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點D. 求證:△ABD∽△AEB. 圖1-5 N2B.[選修4-2:矩陣與變換]已知x,y∈R,向量α=是矩陣A=的屬于特征值-2的一個特征向量,求矩陣A以及它的另一個特征值. N3C.[選修4-4:
8、坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρsin-4=0,求圓C的半徑. N4D.[選修4-5:不等式選講]解不等式x+|2x+3|≥2. 21.A.證明:因為AB=AC,所以∠ABD=∠C. 又因為∠C=∠E,所以∠ABD=∠E, 又∠BAE為公共角,所以△ABD∽△AEB. B.解:由已知,得Aα=-2α,即==,則即所以矩陣A=. 從而矩陣A的特征多項式f(λ)=(λ+2)(λ-1), 所以矩陣A的另一個特征值為1. C.解:以極坐標(biāo)系的極點為平面直角坐標(biāo)系的原點O,以極軸為x軸的正半軸,建立直角坐標(biāo)系xOy. 圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρ-4=0,化簡得ρ2+
9、2ρsin θ-2ρcos θ-4=0, 則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6, 所以圓C的半徑為. D.解:原不等式可化為或 解得x≤-5或x≥-. 綜上,原不等式的解集是. 21.N2、N3、N4[2015·福建卷] (1)選修4-2:矩陣與變換 已知矩陣A=),B=)). (i)求A的逆矩陣A-1; (ii)求矩陣C,使得AC=B. (2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸非負(fù)半軸為極軸
10、)中,直線l的方程為ρsin=m(m∈R). (i)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程; (ii)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2,求m的值. (3)選修4-5:不等式選講 已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4. (i)求a+b+c的值; (ii)求a2+b2+c2的最小值. 21.解:(1)(i)因為|A|=2×3-1×4=2, 所以A-1=)) =)). (ii)由AC=B得(A-1A)C=A-1B,故 C=A-1B =)))) =,),-3))). (2)(i)消去參數(shù)t,得到圓C的普通方程為(x-1)2+(y+2)
11、2=9. 由ρsin=m,得 ρsin θ-ρcos θ-m=0. 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+m=0. (ii)依題意,圓心C到直線l的距離等于2, 即=2,解得m=-3±2. (3)(i)因為f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c, 當(dāng)且僅當(dāng)-a≤x≤b時,等號成立, 又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b, 所以f(x)的最小值為a+b+c. 又已知f(x)的最小值為4, 所以a+b+c=4. (ii)由(i)知a+b+c=4,由柯西不等式得 (4+9+1)≥=(a+b+c)2=16, 即a2+b2+c2≥
12、, 當(dāng)且僅當(dāng)==,即a=,b=,c=時等號成立. 故a2+b2+c2的最小值為. N3 選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程 12.N3[2015·安徽卷] 在極坐標(biāo)系中,圓ρ=8sin θ上的點到直線θ=(ρ∈R)距離的最大值是________. 12.6 [解析] 依題意得圓的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-8y=0,即x2+(y-4)2=16,直線的直角坐標(biāo)方程為x-y=0,故圓心到直線的距離d==2,因此圓上的點到直線的最大距離為d+r=6. 14.N3[2015·廣東卷] (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsin=,點A的極坐標(biāo)為A,則點A到直線l的距離為
13、________. 14. [解析] 直線l的極坐標(biāo)方程2ρsin=化為直角坐標(biāo)方程為x-y+1=0,A在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為,即A(2,-2),故點A到直線的距離為=. 16.N3[2015·湖北卷] (選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程) 在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),l與C相交于A,B兩點,則|AB|=________. 16.2 [解析] 將直線l的極坐標(biāo)方程ρ(sin θ-3cos θ)=0化為直角坐標(biāo)方程為3x-y=0,將曲線C的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為
14、普通方程為y2-x2=4.聯(lián)立 解得或 不妨設(shè)點A,B,所以==2. 21.N1[2015·江蘇卷] A.[選修4-1:幾何證明選講]如圖1-5,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點D. 求證:△ABD∽△AEB. 圖1-5 N2B.[選修4-2:矩陣與變換]已知x,y∈R,向量α=是矩陣A=的屬于特征值-2的一個特征向量,求矩陣A以及它的另一個特征值. N3C.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρsin-4=0,求圓C的半徑. N4D.[選修4-5:不等式選講]解不等式x+|2x+3|≥2. 21.A.證明:因為A
15、B=AC,所以∠ABD=∠C. 又因為∠C=∠E,所以∠ABD=∠E, 又∠BAE為公共角,所以△ABD∽△AEB. B.解:由已知,得Aα=-2α,即==,則即所以矩陣A=. 從而矩陣A的特征多項式f(λ)=(λ+2)(λ-1), 所以矩陣A的另一個特征值為1. C.解:以極坐標(biāo)系的極點為平面直角坐標(biāo)系的原點O,以極軸為x軸的正半軸,建立直角坐標(biāo)系xOy. 圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρ-4=0,化簡得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0, 則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6, 所以圓C的半徑為. D.解:原不
16、等式可化為或 解得x≤-5或x≥-. 綜上,原不等式的解集是. 23.N3[2015·全國卷Ⅱ] 選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t≠0),其中0≤α<π.在以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ. (1)求C2與C3交點的直角坐標(biāo); (2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值. 23.解:(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0. 聯(lián)立解得或 所以C2與C3交點的直角坐標(biāo)為(0,0)和. (2)
17、曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π. 因此A的極坐標(biāo)為(2sin α,α), B的極坐標(biāo)為(2cos α,α), 所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4sin. 故當(dāng)α=時,|AB|取得最大值,最大值為4. 23.N3[2015·全國卷Ⅰ] 選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程; (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R),設(shè)C2與C3的交點為M,N,求△C2MN的面積. 23.解
18、:(1)因為x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ=-2,C2的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. (2)將θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=. 又C2的半徑為1,所以△C2MN的面積為. 11.N3[2015·北京卷] 在極坐標(biāo)系中,點到直線ρ(cos θ+sin θ)=6的距離為________. 11.1 [解析] 利用公式把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)(1,),把直線方程ρ(cos θ+sin θ)=6轉(zhuǎn)化為x+y-6=0.利用點到直線
19、的距離公式可知,d==1. 21.N2、N3、N4[2015·福建卷] (1)選修4-2:矩陣與變換 已知矩陣A=),B=)). (i)求A的逆矩陣A-1; (ii)求矩陣C,使得AC=B. (2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸非負(fù)半軸為極軸)中,直線l的方程為ρsin=m(m∈R). (i)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程; (ii)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2,求m的值. (3)選修4-5:不等式選講 已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)
20、f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4. (i)求a+b+c的值; (ii)求a2+b2+c2的最小值. 21.解:(1)(i)因為|A|=2×3-1×4=2, 所以A-1=)) =)). (ii)由AC=B得(A-1A)C=A-1B,故 C=A-1B =)))) =,),-3))). (2)(i)消去參數(shù)t,得到圓C的普通方程為(x-1)2+(y+2)2=9. 由ρsin=m,得 ρsin θ-ρcos θ-m=0. 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+m=0. (ii)依題意,圓心C到直線l的距離等于2, 即=2,解得m=-3±2. (3)(i)因為
21、f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c, 當(dāng)且僅當(dāng)-a≤x≤b時,等號成立, 又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b, 所以f(x)的最小值為a+b+c. 又已知f(x)的最小值為4, 所以a+b+c=4. (ii)由(i)知a+b+c=4,由柯西不等式得 (4+9+1)≥=(a+b+c)2=16, 即a2+b2+c2≥, 當(dāng)且僅當(dāng)==,即a=,b=,c=時等號成立. 故a2+b2+c2的最小值為. N4 選修4-5 不等式選講 5.A2、N4、D3[2015·湖北卷] 設(shè)a1,a2,…,an∈R,n≥3.若p:a
22、1,a2,…,an成等比數(shù)列;q:(a+a+…+a)(a+a+…+a)=(a1a2+a2a3+…+an-1an)2,則( ) A.p是q的充分條件,但不是q的必要條件 B.p是q的必要條件,但不是q的充分條件 C.p是q的充分必要條件 D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件 5.A [解析] 當(dāng)p成立,即a1,a2,…,an成等比數(shù)列時,==…=,滿足柯西不等式(a+a+…+a)(a+a+…+a)≥(a1a2+a2a3+…+an-1an)2等號成立的條件,故(a+a+…+a)(a+a+…+a)=(a1a2+a2a3+…+ an-1an)2,即q成立;但當(dāng)q成立時,不一定非要a
23、1,a2,…,an成等比數(shù)列,如:當(dāng)a1=1,a2=a3=…=an=0時,q成立,但不滿足a1,a2,…,an成等比數(shù)列.所以p是q的充分條件,但不是q的必要條件.故選A. 21.N1[2015·江蘇卷] A.[選修4-1:幾何證明選講]如圖1-5,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點D. 求證:△ABD∽△AEB. 圖1-5 N2B.[選修4-2:矩陣與變換]已知x,y∈R,向量α=是矩陣A=的屬于特征值-2的一個特征向量,求矩陣A以及它的另一個特征值. N3C.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρsin-4=0,求圓C的
24、半徑. N4D.[選修4-5:不等式選講]解不等式x+|2x+3|≥2. 21.A.證明:因為AB=AC,所以∠ABD=∠C. 又因為∠C=∠E,所以∠ABD=∠E, 又∠BAE為公共角,所以△ABD∽△AEB. B.解:由已知,得Aα=-2α,即==,則即所以矩陣A=. 從而矩陣A的特征多項式f(λ)=(λ+2)(λ-1), 所以矩陣A的另一個特征值為1. C.解:以極坐標(biāo)系的極點為平面直角坐標(biāo)系的原點O,以極軸為x軸的正半軸,建立直角坐標(biāo)系xOy. 圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρ-4=0,化簡得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0, 則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y
25、2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6, 所以圓C的半徑為. D.解:原不等式可化為或 解得x≤-5或x≥-. 綜上,原不等式的解集是. 24.N4[2015·全國卷Ⅱ] 選修4-5:不等式選講 設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明: (1)若ab>cd,則+>+; (2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件. 24.證明:(1)(+)2=a+b+2, (+)2=c+d+2, 由題設(shè)a+b=c+d,ab>cd, 得(+)2>(+)2, 因此+>+. (2)(i)若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,即 (a+
26、b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因為a+b=c+d,所以ab>cd. 由(1)得+>+. (ii)若+>+, 則(+)2>(+)2, 即a+b+2>c+d+2. 因為a+b=c+d,所以ab>cd.于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2, 因此|a-b|<|c-d|. 綜上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件. 24.N4[2015·全國卷Ⅰ] 選修4-5:不等式選講 已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)>1的解集; (2)若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于
27、6,求a的取值范圍.
24.解:(1)當(dāng)a=1時,f(x)>1化為|x+1|-2|x-1|-1>0.
當(dāng)x≤-1時,不等式化為x-4>0,無解;
當(dāng)-1
28、矩陣與變換 已知矩陣A=),B=)). (i)求A的逆矩陣A-1; (ii)求矩陣C,使得AC=B. (2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸非負(fù)半軸為極軸)中,直線l的方程為ρsin=m(m∈R). (i)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程; (ii)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2,求m的值. (3)選修4-5:不等式選講 已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4. (i)求a+b+c的值; (ii)求
29、a2+b2+c2的最小值. 21.解:(1)(i)因為|A|=2×3-1×4=2, 所以A-1=)) =)). (ii)由AC=B得(A-1A)C=A-1B,故 C=A-1B =)))) =,),-3))). (2)(i)消去參數(shù)t,得到圓C的普通方程為(x-1)2+(y+2)2=9. 由ρsin=m,得 ρsin θ-ρcos θ-m=0. 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+m=0. (ii)依題意,圓心C到直線l的距離等于2, 即=2,解得m=-3±2. (3)(i)因為f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c, 當(dāng)且僅當(dāng)-a≤x≤b時,等號成立, 又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b, 所以f(x)的最小值為a+b+c. 又已知f(x)的最小值為4, 所以a+b+c=4. (ii)由(i)知a+b+c=4,由柯西不等式得 (4+9+1)≥=(a+b+c)2=16, 即a2+b2+c2≥, 當(dāng)且僅當(dāng)==,即a=,b=,c=時等號成立. 故a2+b2+c2的最小值為. N5 優(yōu)選法與試驗設(shè)計
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